江苏省2013届高考数学二轮复习 专题7 三角恒等变换与解三角形.doc

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题7 三角恒等变换与解三角形回顾20082012年的考题，在填空题中主要考查了三角公式的运用、正、余弦定理的运用.在解答题中有2008、2011年主要考查了三角化简求值，2009年考查了向量与三角化简的综合问题，2012年考查角的恒等变换及正、余弦定理.在近五年的应用题考查中，有两年考查了与三角函数有关的应用题.,在近四年的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，但作为三角化简的基本功还是要掌握的.预测在2013年的高考题中：(1)填空题依然是考查简单的三角函数化简、解三角形，随着题目设置的顺序，难度不一.(2)在解答题中，三角函数的化简、三角函数的性质与解三角形和平面向量的交汇问题仍是考查的重点.1(2012·南京名校4月阶段性考试)若3，tan()2，则tan(2)_.解析：由题意得3.所以tan 2.又tan()2，所以tan()2.所以(2)tan().答案：2.sin 10°(tan15°tan 5°)_.解析：原式sin 10°2cos 10°cos 30°.答案：3在锐角ABC中，BC1，B2A，则的值等于_，AC的取值范围为_解析：设A，则B2.由正弦定理得，12.由锐角ABC得0°<2<90°0°<<45°，又0°<180°3<90°30°<<60°，故30°<<45°<cos <，AC2cos (，)答案：2(，)4(2012·西安名校三检)在ABC中，已知a，b，c分别为A，B，C所对的边，S为ABC的面积若向量p(4，a2b2c2)，q(，S)，满足pq，则C_.解析：由pq4S(a2b2c2)0，又4S4×absinC(a2b2c2)，可得sinC×cos C，即tan C，故C.答案：5在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2AC)，sin B，则cos 2(BC)_.解析：A为最小角，2ACAAC<ABC180°.cos(2AC)，sin(2AC).C为最大角，B为锐角又sin B，故cos B.即sin(AC)，cos(AC).cos(BC)cos Acos(2AC)(AC)，cos 2(BC)2cos2(BC)1.答案：已知<<<，cos()，sin().(1)用，表示2；(2)求sin 2，cos 2的值解(1)2()()(2)因为<<<，所以0<<，<<.又因为cos()，sin()，所以sin()，cos().所以sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()××，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()××.三角函数式的化简、求值，常从角的差异入手，寻求条件与结论之间的关系，通过三角恒等变换消除差异，使问题获解已知sin，则sinsin2的值为_解析：sinsin2sin sin2sinsin2.答案：(2012·南通第一次调研)在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若2sin Acos Csin B，求的值；(2)若sin(2AB)3sin B，求的值解(1)由正弦定理得.从而2sin Acos Csin B可化为2acos Cb.由余弦定理得2a×b.整理得ac，即1.(2)在斜三角形ABC中，ABC，所以sin(2AB)3sin B可化为sin(AC)3sin(AC)，即sin(AC)3sin(AC)故sin Acos Ccos Asin C3(sin Acos Ccos Asin C)整理得4sin Acos C2cos Asin C，因为ABC是斜三角形，所以cos Acos C0，所以.解三角形常用的工具是正弦定理和余弦定理，要熟悉它们的使用的条件，合理选用解三角形常与三角恒等变换、三角求值综合考查，要注意三角形中角的限制条件在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1，则角A的大小为_解析：由1，得，即cos A，故A.答案：(2012·安徽高考)设ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是_若ab>c2，则C<；若ab>2c，则C<；若a3b3c3，则C<；若(ab)c<2ab，则C>；若(a2b2)c2<2a2b2，则C>.解析ab>c2cos C>C<；ab>2ccos C>C<；当C时，c2a2b2c3a2cb2c>a3b3与a3b3c3矛盾；取ab2，c1满足(ab)c<2ab得C<；取ab2，c1满足(a2b2)c2<2a2b2得C<.答案利用正、余弦定理可实现三角形中的边角转化，常用方法是：化边为角结合内角和定理求解；化角为边结合勾股定理、三边关系求解在ABC中，sin A，判断这个三角形的形状解：应用正弦定理、余弦定理，可得a，所以b(a2b2)c(a2c2)bc(bc)所以(bc)a2(b3c3)bc(bc)所以a2b2bcc2bc.所以a2b2c2.所以ABC是直角三角形(1)在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解如角的变形：15°45°30°60°45°，()，2()().特别地，与为互余角，它们之间可以互相转化，在三角变形中使用频率高(2)两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解1(2012·连云港调研)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A_.解析：由sin C2sin B，得c2b.又a2b2bc，所以cos A，所以A.答案：2设，cos，sin，则sin()_.解析：，又cos，sin.，sin，cos.sin()sincoscos·cossin·sin××.即sin().答案：3已知sin ，tan()，则tan(2)_.解析：sin ，cos .则tan .由tan()，可得tan ，tan 2.tan(2).答案：4.如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则ABC的边长是_解析：因为l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，所以过A作l2的垂线，交l2、l3分别于点D、E，如图，则BADBACCAE，即BAD60°CAE，记正三角形ABC的边长为a，两边取余弦得cos 60°·cos CAEsin 60°sin CAE，即××整理得，1，解之得，a.答案：5已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值是_解析：tan tan()，tan(2)1.tan ，2.2.答案：6在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B30°，ABC的面积为，那么b_.解析：2bac，a2c2(ac)22ac4b22ac.在ABC中，B30°，ABC的面积，所以acsin B，即ac6，于是a2c24b212，由余弦定理得cos B，即，解得b242，于是b1.答案：17ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C，sin(BA)cos C则B_.解析：因为tan C，即，所以sin Ccos Asin Ccos Bcos Csin Acos Csin B，即sin Ccos Acos Csin Acos Csin Bsin Ccos B，得sin(CA)sin(BC)，所以CABC或CA(BC)(不成立)即2CAB，得C，所以BA.又因为sin(BA)cos C，则BA或BA(舍去)，得A，B.答案：8已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB2，BC6，CDDA4，则四边形ABCD的面积为_解析：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积SSABDSCDB·AB·ADsin A·BC·CD·sin C.AC180°，sin Asin C.故S(AB·ADBC·CD)sin A(2×46×4)·sin A16sin A.由余弦定理，在ABD中，BD2AB2AD22AB·AD·cos A2016cos A，在CDB中，BD2CB2CD22CB·CD·cos C5248cos C，2016cos A5248cos Ccos Ccos A，64cos A32，cos A.又0°<A<180°，A120°，故S16sin 120°8.答案：89在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，则ADAB_.解析：按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设BAP，DPA，BDP2，再设ABa，ADx，DPx.在ABC中，APB180°ABPBAP120°，由正弦定理知：.BP.在PBD中，所以BP，从而，x.0°60°，60°60°2180°.当60°290°，即15°时，sin(60°2)1，此时x取得最小值(23)a，即AD最小，ADDB23.答案：2310(2012·江苏高考)设为锐角，若cos，则sin的值为_解析：因为为锐角，cos，所以sin，sin 2，cos 2，所以sinsin×.答案：11已知ABC的三个内角A、B、C满足AC2B.，求cos的值解：由题设条件知B60°，AC120°设，则AC2，可得A60°，C60°，所以，依题设条件有，又cos B，2.整理得4cos22cos30，即(2cos )(2cos 3)0.2cos 30，2cos 0.从而得cos.12.(2012·苏锡调研)如图，在四边形ABCD中，已知AB13，AC10，AD5，CD，·50.(1)求cos BAC的值；(2)求sin CAD的值；(3)求BAD的面积解：(1)因为·| | |cos BAC，所以cos BAC.(2)在ADC中，AC10，AD5，CD，由余弦定理得cosCAD.因为CAD(0，)，所以sin CAD .(3)由(1)知，cos BAC.因为BAC(0，)，所以sin BAC .从而sin BADsin(BACCAD)sin BAC·cos CADcos BACsin CAD××.所以SBADAB·AD·sin BAD×13×5×28.- 12 -