2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十九曲线与方程含轨迹问题理北师大版.doc

核心素养测评五十九 曲线与方程（含轨迹问题）(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.动圆M经过双曲线x2-=1的左焦点且与直线x=2相切,则圆心M的轨迹方程是()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4x D.y2=-4x【解析】选B.双曲线x2-=1的左焦点为F(-2,0),动圆M经过点F且与直线x=2相切,则圆心M到点F的距离和到直线x=2的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线,其方程为y2=-8x.2.在平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=1+2(O为原点),其中1,2R,且1+2=1,则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线【解析】选A.设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3),因为=1+2,所以又因为1+2=1,所以化简得x+2y-5=0表示一条直线.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是()A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0【解析】选D.设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得Q点的轨迹方程为2x-y+5=0.4.在ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.如表给出了一些条件及方程:条件方程ABC周长为10C1:y2=25ABC面积为10C2:x2+y2=4(y0)ABC中,A=90°C3:+=1(y0)则满足条件,的轨迹方程依次为()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C2【解析】选A.ABC的周长为10,即|AB|+|AC|+|BC|=10,又|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6>|BC|,此时动点A的轨迹为椭圆,与C3对应;ABC的面积为10,所以|BC|·|y|=10即|y|=5与C1对应;因为A=90°,所以·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2+y2-4=0与C2对应.5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等,则动点P所在曲线的形状为 ()【解析】选C.由已知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离,根据抛物线的定义可知,动点P的轨迹是以B为焦点,以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分.二、填空题(每小题5分,共15分)6.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A、B,APB=60°,则动点P 的轨迹方程为_. 【解析】设P(x,y),x2+y2=1的圆心为O,因为APB=60°,OP平分APB,所以OPB=30°,因为|OB|=1,OBP为直角,所以|OP|=2,所以x2+y2=4.答案:x2+y2=47.在平面直角坐标系中,动点P和点M(-2,0),N(2,0)满足|+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为_. 【解析】把已知等式|+·=0用坐标表示,得4+4(x-2)=0,化简变形得y2=-8x.答案:y2=-8x8.若直线y=k(x+2)+4与曲线y=有两个交点,则实数k的取值范围是_. 【解析】直线y=k(x+2)+4,当x=-2时,y=4,可得此直线恒过A(-2,4),曲线y=为圆心在坐标原点,半径为2的半圆,根据题意作出相应的图形,如图所示:当直线y=k(x+2)+4与半圆相切(切点在第一象限)时,圆心到直线的距离d=r,所以=2,即4k2+16k+16=4+4k2,解得:k=-,当直线y=k(x+2)+4过点C时,将x=2,y=0代入直线方程得:4k+4=0,解得:k=-1,则直线与曲线有2个交点时k的取值范围为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.在平面直角坐标系中,已知A1(-,0),A2(,0),P(x,y),M(x,1),N(x,-2),若实数使得2·=·(O为坐标原点).求P点的轨迹方程,并讨论P点的轨迹类型.【解析】=(x,1),=(x,-2),=(x+,y),=(x-,y).因为2·=·,所以(x2-2)2=x2-2+y2,整理得(1-2)x2+y2=2(1-2).当=±1时,方程为y=0,轨迹为一条直线;当=0时,方程为x2+y2=2,轨迹为圆;当(-1,0)(0,1)时,方程为+=1,轨迹为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆;当(-,-1)(1,+)时,方程为-=1,轨迹为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线.10.(2020·成都模拟)已知长度为4的线段AB的两个端点A,B分别在x轴和y轴上运动,动点P满足=3,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)设不经过点H(0,1)的直线y=2x+t与曲线C相交于两点M,N.若直线HM与HN的斜率之和为1,求实数t的值.【解析】(1)设P(x,y),A(m,0),B(0,n),因为=3,所以(x,y-n)=3(m-x,-y)=(3m-3x,-3y),即 ,所以 ,因为|AB|=4,所以m2+n2=16,所以x2+16y2=16,所以曲线C的方程为:+y2=1;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由 ,消去y得,37x2+36tx+9(t2-1)=0,由=(36t)2-4×37×9(t2-1)>0,可得-<t<,又直线y=2x+t不经过点H(0,1),且直线HM与HN的斜率存在,所以t±1,又x1+x2=-,x1x2=,所以kHM+kHN=+=4-=1,解得t=3,故t的值为3.(15分钟35分)1.(5分)方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲线是()A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线【解析】选D.原方程可化为 或-1=0,即2x+3y-1=0(x3)或x=4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.【变式备选】|y|-1=表示的曲线是()A.抛物线B.一个圆C.两个圆D.两个半圆【解析】选D.原方程|y|-1=等价于 得 或所以原方程表示(x-1)2+(y-1)2=1(y1)和(x-1)2+(y+1)2=1(y-1)两个半圆.2.(5分)已知点Q在椭圆C:+=1上,点P满足=+(其中O为坐标原点,F1为椭圆C的左焦点),则点P的轨迹为()A.圆 B.抛物线C.双曲线D.椭圆【解析】选D.因为点P满足=(+),所以P是线段QF1的中点,由于F1为椭圆C:+=1的左焦点,则F1(-,0),设P(x,y),则Q(2x+,2y).由点Q在椭圆C:+=1上,得点P的轨迹方程为+=1,可知点P的轨迹为椭圆.3.(5分)直线y=kx交曲线y=于P,Q两点,O为原点,若=,则k的值为()A.B.C. D.【解析】选D.由y=得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1.所以曲线y=表示一个半径为1的半圆,设圆心为M(2,0),如图所示,过M作PQ的垂线MN,垂足为N,则N为PQ的中点,设|NQ|=m,因为|OP|=|PQ|,所以|ON|=3m,则|MN|2=|MQ|2-|NQ|2=1-m2,又|MN|2=|OM|2-|ON|2=4-9m2,所以1-m2=4-9m2,解得m=,所以|ON|=3m=,|MN|=,所以k=tanMON=.4.(10分)如图,P是圆x2+y2=4上的动点,点P在x轴上的射影是点D,点M满足=.(1)求动点M的轨迹C的方程,并说明轨迹是什么图形.(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.【解析】(1)设M(x,y),则D(x,0),由=知P(x,2y),因为点P在圆x2+y2=4上,所以x2+4y2=4,故动点M的轨迹C的方程为+y2=1,且轨迹C为椭圆.(2)设E(x,y),由题意知l的斜率存在,设ly=k(x-3),代入+y2=1得:(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.所以y1+y2=k(x1-3)+k(x2-3)=k(x1+x2)-6k=-6k=.因为四边形OAEB为平行四边形,所以=+=(x1+x2,y1+y2)=又=(x,y),所以消去k得x2+4y2-6x=0,由(*)中=(-24k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)>0得k2<,所以0<x<,所以顶点E的轨迹方程为x2+4y2-6x=0.5.(10分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足= .(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【解析】(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由= ,得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在椭圆C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1,得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以·=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1.方程(x2-y2-1)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分) ()【解析】选B.原方程等价于 或x-y-1=0,前者表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分,后者为直线x-y-1=0,这两部分合起来即为所求B.2.方程|y|-1=所表示的曲线的长度是 ()A.6B.2C.2+4D.6+12【解析】选B.方程|y|-1=,可得|y|-10,即有y1或y-1,即有(x-2)2+(|y|-1)2=3,作出方程|y|-1=所表示的曲线,如图可得曲线为两个半圆,半径均为,可得表示曲线的长度为2.- 10 -