2016高考数学大一轮复习2.7函数的图象教师用书理苏教版.doc

§2.7函数的图象1描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象2图象变换(1)平移变换(2)对称变换yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yax (a>0且a1)ylogax(a>0且a1)yf(x)y|f(x)|.yf(x)yf(|x|)(3)伸缩变换yf(x) yf(ax)yf(x)yaf(x)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同(×)(2)函数yaf(x)与yf(ax)(a>0且a1)的图象相同(×)(3)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称(×)(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()(5)将函数yf(x)的图象向右平移1个单位得到函数yf(x1)的图象(×)(6)不论a(a>0且a1)取何值，函数yloga2|x1|的图象恒过定点(2,0)(×)1函数y1的图象是_答案解析将y的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y1的图象由图知正确2(2013·北京改编)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)的解析式为_答案f(x)ex1解析与yex图象关于y轴对称的函数为yex.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得yex的图象f(x)的图象由yex的图象向左平移一个单位得到f(x)e(x1)ex1.3如图，定义在1，)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_答案f(x)解析当x1,0时，设ykxb，由图象得解得yx1.当x>0时，设ya(x2)21，由图象得0a(42)21，解得a，y(x2)21.综上可知f(x)4已知函数f(x)的图象与直线yx恰有三个公共点，则实数m的取值范围是_答案1,2)解析令x24x2x，解得x1或x2，所以三个解必须为1，2和2，所以有1m<2.题型一作函数的图象例1分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1; (4)y.解(1)y图象如图.(2)将y2x的图象向左平移2个单位，图象如图.(3)y图象如图.(4)因y1，先作出y的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y的图象，如图.思维升华(1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如yx(m>0)的函数是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程作出下列函数的图象(1)y|x2|·(x1)；(2)y.解(1)当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x2(x)2；当x<2，即x2<0时，y(x2)(x1)x2x2(x)2.y这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)(2)y1，该函数图象可由函数y向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如下图所示题型二识图与辨图例2函数yax2bx与y(ab0，|a|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是_(填序号)(2)已知f(x)则下列函数的图象正确的为_(填序号)答案(1)(2)解析(1)函数yax2bx的两个零点是0，.对于，由抛物线的图象知，(0,1)，|(0,1)函数y不是增函数，错误；对于，由抛物线的图象知a<0且<1，b<0且>1，|>1，函数ylog|x应为增函数，错误；对于，由抛物线的图象知a>0，(1,0)，|(0,1)，满足y为减函数(2)先在坐标平面内画出函数yf(x)的图象，再将函数yf(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到yf(x1)的图象，因此正确；作函数yf(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到yf(x)的图象，因此正确；yf(x)的值域是0,2，因此y|f(x)|的图象与yf(x)的图象重合，正确；yf(|x|)的定义域是1,1，且是一个偶函数，当0<x1时，yf(|x|)，相应这部分图象不是一条线段，因此不正确综上所述，正确思维升华函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象函数yxsin x在，上的图象是下列图象中的_(2)已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为_答案(1)(2)解析(1)容易判断函数yxsin x为偶函数，可排除.当0<x<时，yxsin x>0，当x时，y0，可排除，所以符合条件的应为.(2)方法一由yf(x)的图象知，f(x)当x0,2时，2x0,2，所以f(2x)故yf(2x)图象应为.方法二当x0时，f(2x)f(2)1；当x1时，f(2x)f(1)1.观察各图象，可知正确题型三函数图象的应用例3已知函数f(x)|x24x3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根思维点拨可利用图象直观得到函数单调性；方程解的个数可转化为函数图象交点个数解f(x)作出函数图象如图(1)由图象可知，函数的增区间为1,2，3，)；函数的减区间为(，1，2,3(2)在同一坐标系中作出yf(x)和ym的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)由图知0<m<1，Mm|0<m<1思维升华(1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解数形结合是常用的思想方法(2)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质(1)方程x2|x|a1有四个不同的实数解，则a的取值范围是_(2)当0<x时，4x<logax，则a的取值范围是_答案(1)(1，)(2)(，1)解析(1)方程解的个数可转化为函数yx2|x|的图象与直线y1a交点的个数，如图：易知<1a<0，1<a<.(2)0<x，1<4x2，logax>4x>1，0<a<1.令f(x)4x，g(x)logax，当x时，f()2.(如图)令g()loga2，即a.又g(x)logax，x0(0,1)，a1，a2(0,1)且a1<a2时， >，要使当0<x时，4x<logax成立，需<a<1.高考中的函数图象及应用问题一、已知函数解析式确定函数图象典例：函数yf(x)的图象如图所示，则函数y的图象大致是_思维点拨根据函数的定义域、值域、单调性和特征点确定函数图象解析由函数yf(x)的图象知，当x(0,2)时，f(x)1，所以 f(x)0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以yf(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数结合4个图象知，正确答案温馨提醒(1)确定函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想(2)对于给出图象的题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除二、函数图象的变换问题典例：若函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x1)的图象大致为_思维点拨从yf(x)的图象可先得到yf(x)的图象，再得yf(x1)的图象解析要想由yf(x)的图象得到yf(x1)的图象，需要先将yf(x)的图象关于x轴对称得到yf(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到yf(x1)的图象，根据上述步骤可知正确答案温馨提醒(1)对图象的变换问题，从f(x)到f(axb)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定三、图象应用典例：已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_思维点拨先作函数y的图象，然后利用函数ykx2图象恒过点(0，2)以及与y图象恰有两个交点确定k的范围解析根据绝对值的意义，y在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点答案(0,1)(1,4)温馨提醒(1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质(2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图方法与技巧1列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y的图象2合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况失误与防范1函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f(2x)的图象到f(2x1)的图象是向右平移个单位，其中是把x变成x.2当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.A组专项基础训练(时间：40分钟)1函数y5x与函数y的图象关于_x轴对称； y轴对称；原点对称； 直线yx对称答案解析y5x，可将函数y5x中的x，y分别换成x，y得到，故两者图象关于原点对称2若loga2<0(a>0，且a1)，则函数f(x)loga(x1)的图象大致是_答案解析loga2<0，0<a<1，由f(x)loga(x1)单调性可知错误，再由定义域知图正确，图错误3设定义在1,7上的函数yf(x)的图象如图所示，则关于函数y的单调区间表述正确的是_在1,1上单调递增；在(0,1上单调递减，在1,3)上单调递增；在5,7上单调递增；在3,5上单调递增答案解析由题图可知，f(0)f(3)f(6)0，所以函数y在x0，x3，x6时无定义，故错误，正确4使log2(x)<x1成立的x的取值范围是_答案(1,0)解析在同一坐标系内作出ylog2(x)，yx1的图象，知满足条件的x(1,0)5(2014·山东改编)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_答案(，1)解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)6已知f(x)()x，若f(x)的图象关于直线x1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为_答案g(x)3x2解析设g(x)上的任意一点A(x，y)，则该点关于直线x1的对称点为B(2x，y)，而该点在f(x)的图象上y()2x3x2，即g(x)3x2.7用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为_答案6解析f(x)min2x，x2,10x(x0)的图象如图令x210x，得x4.当x4时，f(x)取最大值，f(4)6.8已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_答案(0,1)解析画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)k有两个不同的实根，也即函数yf(x)的图象与yk有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)9已知函数f(x).(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间解(1)f(x)1，函数f(x)的图象是由反比例函数y的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示(2)由图象可以看出，函数f(x)有两个单调递增区间：(，1)，(1，)10已知函数f(x)2x，当m取何值时方程|f(x)2|m有一个解，两个解？解令F(x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出F(x)的图象如图所示由图象看出，当m0或m2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解B组专项能力提升(时间：20分钟)1函数ye|ln x|x1|的图象大致是_答案解析函数的定义域为(0，)当0<x<1时，yeln x1x1x；当x1时，yeln x1xx1x1，故正确2函数y的图象与函数y2sin x (2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于_答案8解析令1xt，则x1t.由2x4，知21t4，所以3t3.又y2sin x2sin (1t)2sin t.在同一坐标系下作出y和y2sin t的图象由图可知两函数图象在3,3上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1t2t80.也就是1x11x21x80，因此x1x2x88.3 (2014·天津)已知函数f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_答案(0,1)(9，)解析设y1f(x)|x23x|，y2a|x1|，在同一直角坐标系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的图象如图所示由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y1|x23x|与y2a|x1|的图象有4个不同的交点，所以，(3<x<0)有两组不同解消去y得x2(3a)xa0有两个不等实根x1，x2，(3a)24a>0，即a210a9>0，又x1x2a3<0，x1·x2a>0，0<a<1.(x>1)有两组不同解消去y得x2(3a)xa0有两不等实根x3，x4，a210a9>0，又x3x4a3>2，a>9.综上可知，0<a<1或a>9.4设函数yf(x1)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，在区间(，0)是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x1)f(x)0的解集为_答案(，0(1,2解析yf(x1)向右平移1个单位得到yf(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x1，过定点(2,0)，且函数在(，1)上递减，在(1，)上递增，则f(x)的大致图象如图所示不等式(x1)f(x)0可化为或由图可知符合条件的解集为(，0(1,25已知函数f(x)x|mx|(xR)，且f(4)0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)若方程f(x)a只有一个实数根，求a的取值范围解(1)f(4)0，4|m4|0，即m4.(2)f(x)x|x4|f(x)的图象如图所示(3)f(x)的减区间是2,4(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线ya只有一个交点，方程f(x)a只有一个实数根，即a的取值范围是(，0)(4，)16