2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角恒等变形练习理北师大版.doc

4.3 三角恒等变形核心考点·精准研析 考点一三角函数式的化简求值  1.(2020·阜阳模拟)若sin(-)sin -cos(-)cos = ,且为第二象限角,则tan =()A.7B. C.-7 D.- 2.(2019·全国卷)已知 ,2sin 2=cos 2+1,则sin =()A. B. C. D. 3.化简: =. 【解析】1.选B.因为sin(-)sin -cos(-)cos = ,即-cos(-+)=-cos = ,所以cos =- .又因为为第二象限角,所以tan =- ,所以tan = = .2.选B.由2sin 2=cos 2+1得4sin cos =2cos2,即2sin =cos ,结合sin2+cos2=1,解得sin = .3.原式= = = =1.答案:1 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.【一题多解】倍角降次解T3,原式= = = = =1.三角形法解T2,因为 ,所以sin >0,cos >0,由2sin 2=cos 2+1得4sin cos =2cos2,即2sin =cos ,tan = ,画直角三角形如图,不妨设角对边为1,邻边为2,则斜边为 ,sin = . 考点二条件求值问题  命题精解读1.考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.2.怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.学霸好方法条件求值的四个必备结论(1)降幂公式:cos2= ,sin2= .(2)升幂公式:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2.(3)公式变形:tan ±tan =tan(±)(1tan tan ).(4)辅助角公式:asin x+bcos x= sin(x+) 其中sin = ,cos = 给角求值【典例】(2019·沈阳四校联考)化简: - =.【解析】 - = = = =4.答案:4 给角求值如何求解?提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简. 给值求值【典例】1.(2018·全国卷)已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=. 2.(2018·全国卷)已知tan = ,则tan =.【解析】1.由sin +cos =1与cos +sin =0分别平方相加得sin2+2sin cos +cos2+cos2+2cos sin +sin2 =1,即2+2sin cos +2cos sin =1,所以sin(+)=- .答案:- 2.因为tan =tan = ,所以 = ,解得tan = .答案: 给值求值问题如何求解?提示:(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 给值求角【典例】(2020·长春模拟)已知sin = ,sin(-)=- ,均为锐角,则角值是.【解析】因为,均为锐角,所以- <-< .又sin(-)=- ,所以cos(-)= .又sin = ,所以cos = ,sin =sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)= × - × = ,所以= .答案: 如何选取合适的三角函数求角?提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是 ,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,),选余弦函数较好;若角的范围为 ,选正弦函数较好.(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角. 1.(2020·滁州模拟)若锐角,满足tan +tan = - tan tan ,则+=. 【解析】由已知可得 = ,即tan(+)= .又因为+(0,),所以+= .答案: 2.(2019·福州模拟)已知A,B均为钝角,sin2 +cos = ,且sin B= ,则A+B=()A. B. C. D. 【解析】选C.因为sin2 +cos = ,所以 + cos A- sin A= ,即 - sin A= ,解得sin A= .因为A为钝角,所以cos A=- =- =- .由sin B= ,且B为钝角,得cos B=- =- =- .所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= × - × = .又A,B都为钝角,即A,B ,所以A+B(,2),所以A+B= .3.(2020·佛山模拟)已知cos = ,(-,0),则cos =()A.- B.- C. D. 【解析】选A.因为cos = ,(-,0),所以sin =- =- ,所以cos =cos cos +sin sin = × + × =- . 1.(2019·贵阳模拟)sin415°-cos415°=()A. B.- C. D.- 【解析】选D.sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°)=sin215°-cos215°=-cos 30°=- .2.定义运算 =ad-bc.若cos = , = ,0<<< ,则=. 【解析】由已知得sin cos -cos sin =sin(-)= .又0<<< ,所以0<-< ,所以cos(-)= = ,而cos = ,所以sin = ,于是sin =sin-(-)=sin cos(-)-cossin(-)= × - × = ,所以= .答案: 考点三三角恒等变换的综合应用  【典例】1.如图,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心,BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PMOA,垂足为M,PNOC,垂足为N,求四边形OMPN的周长的最小值.【解析】连接BP,设CBP=,其中0< ,则PM=1-sin ,PN=2-cos ,则周长C=6-2(sin +cos )=6-2 sin ,因为0< ,所以 + < ,故当+ = ,即= 时,周长C有最小值6-2 .2.(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin x,xR.(1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值.(2)求函数y= + 的值域.【解题导思】序号联想解题(1)看到“f(x+)是偶函数”,想到偶函数的性质,即f(-x+)=f(x+)(2)看到“求函数y= + 的值域”,想到先化简y= + 【解析】(1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+),即sin xcos +cos xsin =-sin xcos +cos xsin ,故2sin xcos =0,所以cos =0.又0,2),因此= 或 .(2)y= + =sin2 +sin2 = + =1- =1- cos .因此,函数的值域是 . 1.三角函数应用题的处理方法(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后得出结论并回答问题.2.三角恒等变换在研究三角函数图像和性质中的应用(1)图像变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin +b或余弦型函数y=Acos(x+)+b的形式,再进行图像变换.(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(x+)+b或y=Acos(x+)+b的形式;利用公式T= (>0)求周期;根据自变量的范围确定x+的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(x+)+b或y=Acos(x+)+b的单调区间. 1. 如图是半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设SOP=,求为何值时矩形的面积最大,并求出最大值.【解析】因为SOP=,所以PS=sin ,SR=2cos ,故S矩形PQRS=SR·PS=2cos ·sin =sin 2,故当= 时,矩形的面积有最大值1.2.(2020·合肥模拟)已知函数f(x)=sin2x-sin2 ,xR.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.【解析】(1)由已知得f(x)= - = - cos 2x= sin 2x- cos 2x= sin .所以f(x)的最小正周期T= =.(2)由(1)知f(x)= sin .因为- x ,所以- 2x- ,所以当2x- =- ,即x=- 时,f(x)有最小值- ;当2x- = ,即x= 时,f(x)有最大值 .所以f(x)在 上的最大值为 ,最小值为- .- 11 -