湖南省永州市2019届高三数学第三次模拟考试试题文含解析.doc

湖南省永州市2019届高三数学第三次模拟考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的概念可直接得出结果.【详解】因为合，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2.一支由学生组成的校乐团有男同学人，女同学人，若用分层抽样的方法从该乐团的全体同学中抽取人参加某项活动，则抽取到的男同学人数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由男女生总数以及抽取的人数确定抽样比，由男生总人数乘以抽样比即可得出结果.【详解】用分层抽样的方法从校乐团中抽取人，所得抽样比为，因此抽取到的男同学人数为人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，熟记概念即可，属于常考题型.3.设为虚部单位，复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】由（1i）z2i，得z，|z|故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题4.已知向量，若，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直得到关于的方程，求解得到结果.【详解】由题意： 本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.5.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由渐近线过点，得到与关系，进而可求出结果.【详解】因为双曲线的一条渐近线经过点，所以，即，即，所以.故选C【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.6.正方体被切去一个角后得到的几何体如图所示，其侧视图（由左往右看）是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据侧视图是从左往右看到的图形即可得出结果.【详解】从左往右看，是正方形从左上角有一条斜线.故选A【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图即可，属于基础题型.7.已知满足对，且时，则值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据得到函数周期，进而可将化为，代入，即可得出结果.【详解】因为满足对，所以函数的最小正周期为，又时，因此.故选C【点睛】本题主要考查函数周期性的应用，熟记函数周期性的概念即可，属于基础题型.8.已知圆锥的体积为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的母线长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为；根据圆锥的体积，以及母线与底面所成的角为，即可列出方程组，求出结果.【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，由圆锥的体积为，母线与底面所成的角为，可得，解得，故选D【点睛】本题主要考查圆锥的有关计算，熟记圆锥的体积公式等即可，属于常考题型.9.将函数图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，所得函数的一个对称中心可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由题意得到变换后的函数解析式，再结合余弦函数的对称中心即可求出结果.【详解】将函数图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，所得函数解析式为，所以其对称中心为（）.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换以及三角函数的性质，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.10.已知是数列的前项和，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由得到数列是等差数列，再根据，即可求出结果.【详解】因为是数列的前项和，且，所以，因此数列是公差为的等差数列，又，所以，因此.故选D【点睛】本题主要考查等差数列的性质、以及等差数列的前项和，熟记等差数列的性质以及前项和公式即可，属于常考题型.11.如图，在边长为的正六边形内任取一点，则点到正六边形六个顶点的距离都大于的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出正六边形的面积，再求出到正六边形一个顶点的距离小于等于的图形面积，利用面积比即可求出结果.【详解】因为正六边形的边长为2，所以其面积为；又到正六边形顶点的距离小于等于1的图像面积为，所以点到正六边形六个顶点的距离都大于的概率为.故选A.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.12.已知函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，将不等式化为，再由函数的单调得到，求解即可得出结果.【详解】因为函数，所以，因此函数为奇函数，所以化为，又在上恒成立，因此函数恒为增函数，所以，即，解得.故选A【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、以及单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念以及利用导数研究函数的单调性的方法即可，属于常考题型.二、填空题。13.已知函数，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先由题意得到函数的单调性，进而可求函数的最小值.【详解】因为函数是单调递减函数，所以时，函数.故答案为【点睛】本题主要考查函数的最值问题，熟记基本初等函数的单调性即可，属于基础题型.14.若满足，则的取值范围为_【答案】1，2【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，通过平移直线找到在轴截距的最大和最小值，从而得到的取值范围.【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：令，则，可知的取值范围即为直线在轴截距的取值范围由平移可知如图：当直线经过点时，截距最小；当与重合时，截距最大，本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的范围类问题的求解，关键是能够通过平移找到截距取得最值时所经过的可行域中的点.15.从圆外一点向这个圆作两条切线，切点分别为，则_【答案】【解析】【分析】由题意作出图像，记圆的圆心为，根据题意得到，得到，根据题意求出，再由二倍角公式即可求出结果.【详解】先由题意作出图像如下图：记圆的圆心为，由题意，易得，所以，因此；因为，所以，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，熟记二倍角公式即可，属于常考题型.16.已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为上一点，且轴，过点的直线与直线交于，若直线与线段交于点，且，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】由题意作出图像，先由是椭圆的左焦点，得到的坐标，求出的长度，根据，表示出的长度，再由，表示出的长度，列出等式，求解即可得出结果.【详解】由题意，作出图像如下：因为是椭圆的左焦点，所以，又轴，所以，因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，直线与线段交于点，且，所以，由题意易得，所以，因此，整理得,所以离心率为.故答案为【点睛】本题主要考查椭圆离心率，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别为，已知，（1）求；（2）如图，为边上一点，且，求的面积【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）先由得，求出，根据余弦定理即可求出结果；（2）先由（1）得到，求出，进而得到，再由面积公式即可得出结果.【详解】解：（1）由得，又，所以.由余弦定理得，所以，. （2）由（1）得，即.在中， 所以，.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理以及三角形面积公式即可，属于常考题型.18.如图，在菱形中，与交于点.以为折痕，将折起，使点到达点位置. 若，求证：平面平面；若，求三棱锥的体积.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，进而可得面面垂直；（2）先由题意证明平面，再由三棱锥的体积公式即可得出结果.【详解】解：（1）因为，四边形为菱形，所以为正三角形，, 因为 ，所以 ,所以平面，平面，所以，平面平面.（2）由于，所以平面，在中，所以， 【点睛】本题主要考查面面垂直的判定以及三棱锥的体积，熟记判定定理以及棱锥的体积公式即可，属于常考题型.19.某花卉种植研究基地对一种植物在室内进行分批培植实验，以便推广种植.现按种温度分批进行试验（除温度外，其它生长环境相同，且温度控制在以上），且每批种植总株数均为.试验后得到下表的统计图：请在答题卡上所给的坐标系中画出关于的散点图，并估计环境温度在时，推广种植植物死亡的概率；请根据散点图，判断与哪个回归模型适合作为与回归方程类型（不需说明理由），并根据你的选择求出回归方程（结果精确到）若植物投入推广种植中，要求每株中死亡的株数不超过株，那么种植最高温度应控制为多少（结果保留整数）参考数据：附回归直线方程中斜率与截距的最小二乘估计分别是：温度 1614128死亡株树y11985【答案】(1)见解析；(2) (3)【解析】【分析】（1）根据题中数据描点，即可得出散点图；由频率估计概率，即可得出环境温度在时，推广种植植物死亡的概率；（2）根据题中数据得到，即可得出结果；（3）根据（2）中结果，得到，求解即可得出结果.【详解】解：（1）散点图如下温度在实际种植时植物A死亡的概率为：. （2）适合作为与的回归方程类型.因为， 所以回归直线方程为：. （3）由得，故种植最高温度应控制在.【点睛】本题主要考查散点图、线性回归方程，熟记最小二乘法求，的估计值即可，属于常考题型.20.已知直线是经过点且与抛物线相切的直线.求直线的方程；如图，已知点是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，求证：直线与平行.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）先由题意可得直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，根据判别式为0，即可求出斜率，得到直线方程；（2）先由题意得到，两直线的斜率互为相反数，设直线的方程为 ，与抛物线方程联立得到点坐标，同理得到点坐标，进而计算，即可得出结论成立.【详解】解：（1）显然直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：与联立，消去整理得，令，即，解得，所以，直线的方程为. （2）由题意知，两直线的斜率互为相反数， 设直线的方程为 ，与联立，消去整理得，则， 从而，将换成，得， ，所以，直线与平行.【点睛】本题主要考查直线与抛物线综合，通常需要联立直线与抛物线方程，结合判别式、斜率公式等求解，属于常考题型.21.已知函数讨论函数的单调性；当时，求函数在区间上的零点个数.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）先对函数求导，分别讨论，即可得出结果；（2）先由（1）得时，函数的最大值，分别讨论，即可结合题中条件求出结果.【详解】解：（1） ， ， 当时， 当时，当时，；当时，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）得， 当，即时，函数在内有无零点； 当，即时，函数在内有唯一零点，又，所以函数在内有一个零点； 当，即时，由于，若，即时，由函数单调性知使得，使得,故此时函数内有两个零点； 若，即时，且，由函数的单调性可知在内有唯一的零点，在内没有零点，从而在内只有一个零点综上所述，当时，函数在内有无零点；当时，函数在内有一个零点；当时，函数在内有两个零点【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.22.修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.写出当时的直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；已知点，直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围.【答案】(1) 直线普通方程为，曲线的直角坐标方程为 (2) 【解析】【分析】（1）代入，消去得到的普通方程；再根据极坐标和直角坐标互化的方法得到的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入的直角坐标方程中，利用的几何意义求解出，根据可求得所求范围.【详解】（1）当时，直线的普通方程为曲线的直角坐标方程为（2）将直线的参数方程,代入整理得：由参数的几何意义，有，所以又所以的取值范围是【点睛】本题考查极坐标和直角坐标互化、参数方程化普通方程、与参数方程有关的距离类问题，解题关键是能够明确直线参数方程中参数的几何意义，利用韦达定理将所求距离问题进行转化.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.当时，求不等式的解集；若，的最小值为，求的最小值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）通过分类讨论得到解析式，求解不等式得到结果；（2）根据绝对值三角不等式可得，再利用基本不等式求得最小值.【详解】（1）当，时，可得的解集为（2）因为，又最小值为所以，又， 所以当且仅当，时取等号故的最小值为【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用、利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够构造出符合积为定值的两数之和的形式，从而利用基本不等式求得结果.- 20 -