代数特征值问题讲稿.ppt

代数特征值问题第一页，讲稿共四十三页哦 第八章第八章 代数特征值问题代数特征值问题第一节第一节 特征值的估计和数值稳定性特征值的估计和数值稳定性第二节第二节 幂法和反幂法幂法和反幂法第三节第三节 求矩阵全部特征值的求矩阵全部特征值的QR方法方法第二页，讲稿共四十三页哦 定理定理1 1 设 为 的特征值,，则 （1）为 的特征值（为常数 );（2）为 的特征值，即 （3）为 的特征值；第一节第一节 特征值的估计和数值稳定性特征值的估计和数值稳定性第三页，讲稿共四十三页哦 定理定理2 2 （1）设 可对角化，即存在非奇异矩阵 使的充要条件是 具有 个线性无关的特征向量.（2）如果 有 个 不同的特征值则对应的特征向量 线性无关.第四页，讲稿共四十三页哦 而 的列向量 为 的对应于 的特征向量.定理定理3 3 设 为对称矩阵，则：（1）的特征值均为实数；（2）有 个线性无关的特征向量；（3）存在一个正交矩阵 使 且 为 特征值，第五页，讲稿共四十三页哦记 称为矩阵 的瑞利瑞利（Rayleigh）商商.定理定理4 4 设 为对称矩阵（其特征值次序记为 则 证明证明 只证 1.由于 为实对称矩阵，可将 对应的特征向量 正交规范化，则有 （1.3）第六页，讲稿共四十三页哦 设 为 中任一向量，则有展开式 于是 从而1成立.结论1说明瑞利商必位于 和 之间.第七页，讲稿共四十三页哦 8.1.2 特征值估计与扰动特征值估计与扰动 称复平面上以 为圆心，以 为半径的所有圆盘为 的格什戈林（Gerschgorin）圆盘.定义定义1 1 设 .令 (1)(2)集合 .第八页，讲稿共四十三页哦 定理定理5 5 （格什戈林圆盘定理）（1）设 ，则 的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中（1.4）或者说，的特征值都在复平面上 个圆盘的并集中.（2）如果 有 个圆盘组成一个连通的并集 ，且 与余下 个圆盘是分离的，则 内恰包含 的 个特征值.特别地，如果 的一个圆盘 是与其他圆盘分离的(即孤立圆盘)，则 中精确地包含 的一个特征值.第九页，讲稿共四十三页哦 证明证明 只就(1)给出证明.设 为 的特征值，即 记 考虑 的第 个方程，即或 于是 第十页，讲稿共四十三页哦即 这说明，的每一个特征值必位于 的一个圆盘中，并且相应的特征值 一定位于第 个圆盘中.其中 是对应特征向量 绝对值最大的分量的下标.第十一页，讲稿共四十三页哦 利用相似矩阵性质，有时可以获得 的特征值进一步的估计，即适当选取非奇异对角阵 并做相似变换 .适当选取 可使某些圆盘半径及连通性发生变化.第十二页，讲稿共四十三页哦 例例1 1 估计矩阵 特征值的范围.解解 的3个圆盘为 由定理5，可知 的3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于 是孤立圆盘，所以 内恰好包含 的一个特征值（为实特征值），即第十三页，讲稿共四十三页哦 的其他两个特征值 包含在 的并集中.现选取对角阵 做相似变换 的3个圆盘为 第十四页，讲稿共四十三页哦 这样，3个圆盘都成为了孤立圆盘，每一个圆盘都包含 的一个特征值（为实特征值）且有估计 第十五页，讲稿共四十三页哦 下面讨论当 有扰动时产生的特征值扰动，即 有微小变化时特征值的敏感性.定理定理6 6 （Bauer-Fike定理）设 是 的一个特征值，且 则有其中 为矩阵 的范数，证明证明 只要考虑 .这时 非奇异，设 是 对应于 的特征向量，由 左乘 可得（1.5）第十六页，讲稿共四十三页哦 是非零向量.上式两边取范数有而对角矩阵 的范数为所以有这就得到（1.5）式.这时总有 中的一个 取到 值.第十七页，讲稿共四十三页哦 由定理6可知 是特征值扰动的放大系数，但将 对角化的相似变换矩阵 不是唯一的，所以取 的下确界（1.6）称为特征值问题的条件数.只要 不很大，矩阵微小扰动只带来特征值的微小扰动.但是 难以计算，有时只对一个 ，用 代替 .第十八页，讲稿共四十三页哦 特征值问题的条件数和解线性方程组的条件数是两个不同的概念，对于一个矩阵 ，两者可能一大一小.关于计算矩阵 的特征值问题，当 时，还可以按行列式展开的方法求特征方程的根.但当 较大时，如果按展开行列式的方法，首先求出 的系数，再求 的根，工作量就很大，用这种方法求特征值是不切实际的,需要研究求 的特征值及特征向量的数值方法.第十九页，讲稿共四十三页哦 第二节第二节 幂法和反幂法幂法和反幂法一、幂法一、幂法 求矩阵的按模最大的特征值（主特征值）与相应的特征向求矩阵的按模最大的特征值（主特征值）与相应的特征向量。它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。量。它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。第二十页，讲稿共四十三页哦 第二十一页，讲稿共四十三页哦第二十二页，讲稿共四十三页哦第二十三页，讲稿共四十三页哦是归一化的向量，所以第二十四页，讲稿共四十三页哦第二十五页，讲稿共四十三页哦第二十六页，讲稿共四十三页哦第二十七页，讲稿共四十三页哦两种特殊情况两种特殊情况第二十八页，讲稿共四十三页哦第二十九页，讲稿共四十三页哦幂法小结幂法小结第三十页，讲稿共四十三页哦二、幂法的加速 因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值 ,当比值接近于当比值接近于1时，幂法收敛很慢。幂法时，幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍两种加速有多种，介绍两种。第三十一页，讲稿共四十三页哦第三十二页，讲稿共四十三页哦第三十三页，讲稿共四十三页哦第三十四页，讲稿共四十三页哦第三十五页，讲稿共四十三页哦第三十六页，讲稿共四十三页哦第三十七页，讲稿共四十三页哦三、反幂法三、反幂法 反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。的方法。第三十八页，讲稿共四十三页哦第三十九页，讲稿共四十三页哦第四十页，讲稿共四十三页哦反幂法的一个应用反幂法的一个应用第四十一页，讲稿共四十三页哦第四十二页，讲稿共四十三页哦第四十三页，讲稿共四十三页哦