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第三章矩阵的初等变换与线性方第三章矩阵的初等变换与线性方程组程组本讲稿第一页，共九十一页 本章先引进矩阵的初等变换，建立本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念,并利用初等变换讨论矩并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质然后利用矩阵的秩讨论线阵的秩的性质然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法方程组的方法本讲稿第二页，共九十一页第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换(Elementary Operations of Matrix)一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换 三、小结三、小结 本讲稿第三页，共九十一页引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程本讲稿第四页，共九十一页解解本讲稿第五页，共九十一页用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：本讲稿第六页，共九十一页于是解得于是解得（2）本讲稿第七页，共九十一页小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）本讲稿第八页，共九十一页3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换换本讲稿第九页，共九十一页因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组方程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换(augmented matrix)本讲稿第十页，共九十一页定义定义1二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(Elementary row operations)本讲稿第十一页，共九十一页定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等初等变换变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换本讲稿第十二页，共九十一页本讲稿第十三页，共九十一页等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价本讲稿第十四页，共九十一页用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：本讲稿第十五页，共九十一页本讲稿第十六页，共九十一页本讲稿第十七页，共九十一页本讲稿第十八页，共九十一页特点：特点：（1）、可划出一）、可划出一条阶梯线，线的条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零；（2）、每个台）、每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元(row echelon form)本讲稿第十九页，共九十一页注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形形(Row echelon form and reduced row echelon form)(reduced row echelon form)本讲稿第二十页，共九十一页例如，例如，本讲稿第二十一页，共九十一页特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最是这个等价类中最简单的矩阵简单的矩阵.本讲稿第二十二页，共九十一页行变换行变换本讲稿第二十三页，共九十一页定理定理1 设设 与与 为为 矩阵，那么矩阵，那么（1）的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使使（2）的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使使（3）的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ,使使本讲稿第二十四页，共九十一页推论：方阵可逆的充分必要条件是推论：方阵可逆的充分必要条件是 ，即，即并可验证并可验证1-=AXEAX本讲稿第二十五页，共九十一页利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：本讲稿第二十六页，共九十一页 解解例例本讲稿第二十七页，共九十一页本讲稿第二十八页，共九十一页即即初等行变换初等行变换本讲稿第二十九页，共九十一页例例解解本讲稿第三十页，共九十一页本讲稿第三十一页，共九十一页本讲稿第三十二页，共九十一页例例3 3 求解矩阵方程求解矩阵方程，其中，其中解：解：本讲稿第三十三页，共九十一页例例4 4 设设 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 ，求求 ，并求一个可逆矩阵，并求一个可逆矩阵 ，使，使本讲稿第三十四页，共九十一页三、小结三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换初等变换本讲稿第三十五页，共九十一页4.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:本讲稿第三十六页，共九十一页第二节第二节 矩阵的秩矩阵的秩(Rank of a matrix)一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法 三、小结三、小结 本讲稿第三十七页，共九十一页一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念矩阵的秩矩阵的秩本讲稿第三十八页，共九十一页简单结论简单结论:1、本讲稿第三十九页，共九十一页(nonsingular matrix)(singular matrix)4、2、3、本讲稿第四十页，共九十一页例例1解解本讲稿第四十一页，共九十一页例例2解解本讲稿第四十二页，共九十一页例例3 3解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，本讲稿第四十三页，共九十一页另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此方法简单此方法简单！本讲稿第四十四页，共九十一页问题：问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？经过初等变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法推论推论 若可逆矩阵若可逆矩阵 使使 则则 本讲稿第四十五页，共九十一页初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4解解本讲稿第四十六页，共九十一页本讲稿第四十七页，共九十一页本讲稿第四十八页，共九十一页本讲稿第四十九页，共九十一页由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知本讲稿第五十页，共九十一页本讲稿第五十一页，共九十一页则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.本讲稿第五十二页，共九十一页例例5 5解解分析：分析：本讲稿第五十三页，共九十一页本讲稿第五十四页，共九十一页本讲稿第五十五页，共九十一页例例6 设设 已知已知 ，求，求 与与 的值。的值。本讲稿第五十六页，共九十一页矩阵秩的的性质：矩阵秩的的性质：1、2、本讲稿第五十七页，共九十一页证明：证明：例例7 设设A为为n阶矩阵，证明阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)本讲稿第五十八页，共九十一页例例8 证明：若证明：若 且且 ，则，则 本讲稿第五十九页，共九十一页四、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);本讲稿第六十页，共九十一页思考题思考题本讲稿第六十一页，共九十一页第三节第三节 线性方程组的解线性方程组的解(solution of linear equations)一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法 三、小结、思考题三、小结、思考题 本讲稿第六十二页，共九十一页一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件问题：问题：(coefficient matrix)(augmented matrix)（3）线性方程组（线性方程组（3）如果有解，就称它是相容的，）如果有解，就称它是相容的，如果无解，就称它不相容。如果无解，就称它不相容。本讲稿第六十三页，共九十一页证明：证明：只需证条件的充分性即可。只需证条件的充分性即可。本讲稿第六十四页，共九十一页故方程有惟一解。故方程有惟一解。本讲稿第六十五页，共九十一页本讲稿第六十六页，共九十一页（*）解（解（*）称为线性方程组（）称为线性方程组（3）的通解。）的通解。由于参数由于参数可取任意值，故方程组（可取任意值，故方程组（3）有无限）有无限多个解。多个解。本讲稿第六十七页，共九十一页定理定理4 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充有非零解的充分必要条件是分必要条件是R(A)n.定理定理5 线性方程组线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b).定理定理6 矩阵方程矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B).定理定理7 设设AB=C，则则 本讲稿第六十八页，共九十一页小结小结有唯一解有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；本讲稿第六十九页，共九十一页例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法本讲稿第七十页，共九十一页即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组本讲稿第七十一页，共九十一页由此即得由此即得本讲稿第七十二页，共九十一页例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故方程组无解故方程组无解本讲稿第七十三页，共九十一页例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换本讲稿第七十四页，共九十一页故方程组有解，且有故方程组有解，且有本讲稿第七十五页，共九十一页所以方程组的通解为所以方程组的通解为本讲稿第七十六页，共九十一页例例 解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为本讲稿第七十七页，共九十一页本讲稿第七十八页，共九十一页由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组由此得通解：由此得通解：本讲稿第七十九页，共九十一页例例 设有线性方程组设有线性方程组解解本讲稿第八十页，共九十一页本讲稿第八十一页，共九十一页其通解为其通解为本讲稿第八十二页，共九十一页这时又分两种情形：这时又分两种情形：本讲稿第八十三页，共九十一页本讲稿第八十四页，共九十一页()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结本讲稿第八十五页，共九十一页思考题思考题本讲稿第八十六页，共九十一页思考题解答思考题解答解解本讲稿第八十七页，共九十一页本讲稿第八十八页，共九十一页本讲稿第八十九页，共九十一页故原方程组的通解为故原方程组的通解为本讲稿第九十页，共九十一页作作 业业P78：习题三习题三 1(1)(3),4P78：习题三习题三 10,12 P78：习题三习题三 13(1)(3),14(1)(3),18 本讲稿第九十一页，共九十一页