功和能机械能守恒课件.ppt

关于功和能机械能守恒现在学习的是第1页，共35页一、力的功一、力的功 1.恒力的功恒力的功力对物体做功：力对物体做功：力力 对质点做功：对质点做功：如果恒力如果恒力 F 作用在物体上，使物体运动了一段位移作用在物体上，使物体运动了一段位移 如果如果 与位移与位移 有一定夹角有一定夹角 时：时：现在学习的是第2页，共35页变变力力 推动质点运动（位移推动质点运动（位移 ）做功？）做功？2.变力的功变力的功方法：将曲线分割成许多小段。方法：将曲线分割成许多小段。每段位移为：每段位移为：每段质点受力近似看成恒力：每段质点受力近似看成恒力：每段恒力做功为：每段恒力做功为：将每段功相加，得力做功的近似值：将每段功相加，得力做功的近似值：取：取：令令 ，得到：，得到：变变力做的功等于力力做的功等于力沿曲线的沿曲线的线积分线积分！现在学习的是第3页，共35页.功是过程量，与力和路径有关。功是过程量，与力和路径有关。.功为标量，没有方向，但有正负。功为标量，没有方向，但有正负。功的微分形式（功的微分形式（元功元功）：）：说明说明.力与力与参照系无关，但位移与参照系有关，参照系无关，但位移与参照系有关，故故力做功力做功 与参照系有关。与参照系有关。.合力的功等于各分力的功的代数和。合力的功等于各分力的功的代数和。现在学习的是第4页，共35页.直角坐标系直角坐标系.自然坐标系自然坐标系元功：元功：ab的功：的功：元功：元功：ab的功：的功：.平均功率：平均功率：瞬时功率：瞬时功率：瞬时功率等于力与物体速度的标积瞬时功率等于力与物体速度的标积!现在学习的是第5页，共35页例：一人从例：一人从10m深的水井把深的水井把10kg的水匀速提上来，由于桶的水匀速提上来，由于桶 漏水，每升高漏水，每升高1m漏漏0.2kg，问把水提到井口需做功多，问把水提到井口需做功多 少？（不计桶重）少？（不计桶重）解：建立如右图所示的坐标系。解：建立如右图所示的坐标系。则力做的功：则力做的功：质点质量的变化：质点质量的变化：m=10-0.2y（kg）拉力：拉力：F=mg=(10-0.2y)g（N）现在学习的是第6页，共35页yo例：劲度系数为例：劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，下端挂一质量为的轻弹簧竖直放置，下端挂一质量为m的的 小球。开始时使弹簧为原长而小球刚好与地面接触，小球。开始时使弹簧为原长而小球刚好与地面接触，今将弹簧上端缓慢提起至小球刚能脱离地面为止，求今将弹簧上端缓慢提起至小球刚能脱离地面为止，求 此过程中外力做功。此过程中外力做功。解：以手开始提的位置为原点建立竖直向上的解：以手开始提的位置为原点建立竖直向上的坐标系坐标系oy。拉力做功为拉力做功为：得得：小球脱离地面时提升距离小球脱离地面时提升距离h为：为：现在学习的是第7页，共35页解：解：沿沿x轴由轴由(0,0)(2,0)，此时，此时y=0，dy=0，则：，则：例：质点所受力例：质点所受力 ，求质点由，求质点由(0,0)(2,4)点的过程中力做功：点的过程中力做功：先沿先沿x轴由轴由(0,0)(2,0)点，再平行点，再平行 y轴由轴由(2,0)(2,4)点；点；沿连接沿连接(0,0)、(2,4)的直线；的直线；沿沿 抛物线抛物线y=x2由由(0,0)(2,4)点。点。（单位为国际单位）（单位为国际单位）由原点至由原点至(2,4)的直线方程为的直线方程为y=2x，则：，则：因因y=x2，则：，则：由由(2,0)(2,4)：现在学习的是第8页，共35页解：解：小球在力小球在力 的作用下作圆周运动。的作用下作圆周运动。在自然坐标系中：在自然坐标系中：例：小球在水平变力例：小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在所有位置上作用下缓慢移动，即在所有位置上 均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。角。求：求：的功，的功，重力的功。重力的功。ml现在学习的是第9页，共35页BA二、质点的动能定理二、质点的动能定理在在ab过程总功：过程总功：对物体做功对物体做功速度变化速度变化外力作用外力作用 功与速度变化的功与速度变化的联系？联系？动能定理：外力对质点做的功等于质点动能的增量。动能定理：外力对质点做的功等于质点动能的增量。在自然坐标系中在自然坐标系中现在学习的是第10页，共35页区别：功为过程量，动能是状态量。区别：功为过程量，动能是状态量。.动动能定理提供了一种能定理提供了一种计计算功的算功的简简便方法。便方法。.功与动能跟参考系有关，具有相对性。功与动能跟参考系有关，具有相对性。说明：说明：.功与动能的区别和联系：功与动能的区别和联系：联系：功是动能变化的量度。联系：功是动能变化的量度。.动能定理适用于惯性系。动能定理适用于惯性系。.动能定理的微分形式：动能定理的微分形式：功率：功率：现在学习的是第11页，共35页解：解：以钉为对象，以钉为对象，以木板上界面为原点建立如图以木板上界面为原点建立如图oy坐标系。坐标系。例：用铁锤钉钉子，设木板对钉子的阻力与钉子进入深度例：用铁锤钉钉子，设木板对钉子的阻力与钉子进入深度 成正比。第一次击打钉子钉入的深度为成正比。第一次击打钉子钉入的深度为1.0cm，第二次，第二次 击打力度与第一次相同。问第二次钉子进木板的深度？击打力度与第一次相同。问第二次钉子进木板的深度？钉钉所受阻力所受阻力为为：f=-ky（k为为比例系数）比例系数）锤两次击打力度相同，对钉做功相同：锤两次击打力度相同，对钉做功相同：阻力阻力对钉对钉做功：做功：设第二次钉钉子的深度为设第二次钉钉子的深度为h，对两过程应用动能定理：，对两过程应用动能定理：现在学习的是第12页，共35页 k为正常数，为正常数，为质点的位矢。该质点从为质点的位矢。该质点从 处被释处被释 放，由静止开始运动，求它到达无穷远时的速率。放，由静止开始运动，求它到达无穷远时的速率。例：一个质量为例：一个质量为m的质点，仅受到力的质点，仅受到力 作用，式中作用，式中解：设无穷远处质点的速率为解：设无穷远处质点的速率为V，根据动能定理，有：，根据动能定理，有：现在学习的是第13页，共35页例：如图，初始时按住质量为例：如图，初始时按住质量为M的绳子，使之静止垂在桌的绳子，使之静止垂在桌 外的长度为外的长度为b，绳子总长度为，绳子总长度为L。当松手后绳子下滑，。当松手后绳子下滑，求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率。求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率。由动能定理得：由动能定理得：解：方法解：方法1动能定理。以桌面为原点动能定理。以桌面为原点建立建立oy坐标系。设坐标系。设t时刻绳下垂长为时刻绳下垂长为y，该段绳的质量为该段绳的质量为m，绳速为，绳速为v，绳全部离，绳全部离开桌面时的速率为开桌面时的速率为vL。下滑过程重力做功：下滑过程重力做功：而：而：重力所做元功：重力所做元功：现在学习的是第14页，共35页方法方法2牛顿定律牛顿定律由牛顿定律得：由牛顿定律得：现在学习的是第15页，共35页M三、三、保守力做功与势能保守力做功与势能 万有引力、重力、弹性力等做功表达式？万有引力、重力、弹性力等做功表达式？1.万有引力做功万有引力做功以以M处为原点处为原点o，t时刻引力做元功为：时刻引力做元功为：AB引力做功：引力做功：AB 物体由物体由 。o有心力有心力现在学习的是第16页，共35页力做功不满足上式：力做功不满足上式：非保守力（非保守力（耗散力耗散力）只与始末位只与始末位置有关，与置有关，与路径无关！路径无关！重力功：重力功：引力功：引力功：弹力功：弹力功：保守力保守力：势能函数势能函数保守力做功等于保守力做功等于势势能增量的能增量的负值负值！现在学习的是第17页，共35页令令 ，则：，则：处势能等于保守力从该处沿任意路径到零势能点处势能等于保守力从该处沿任意路径到零势能点 做的功！做的功！要人为选取要人为选取零势能点，零势能点，势函数势函数才能唯一地表示才能唯一地表示各点各点势能势能！将将r1改写成改写成r0，r2改写为改写为r，则任意位置，则任意位置r处的势能为：处的势能为：重力势能（地面为零势能点）：重力势能（地面为零势能点）：弹弹性性势势能（能（弹弹簧原簧原长为长为零零势势能点）：能点）：引力势能（无穷远为零势能点）：引力势能（无穷远为零势能点）：现在学习的是第18页，共35页在保守力场中，质点的动能与势能可以相互转化。在保守力场中，质点的动能与势能可以相互转化。保守力作正功时（保守力作正功时（A0）：）：保守力作负功时（保守力作负功时（A0）：）：AB过程保守力做功过程保守力做功2.物体在某一位置的势能只有相对意义，随零势能点位置物体在某一位置的势能只有相对意义，随零势能点位置 的不同而不同。两个位置的势能之差有绝对意义。的不同而不同。两个位置的势能之差有绝对意义。1.势能是属于以保守力相互作用的物体系统共有的能量，势能是属于以保守力相互作用的物体系统共有的能量，是相互作用能。是相互作用能。3.保守力做功与势能关系的微分形式：保守力做功与势能关系的微分形式：说明：说明：现在学习的是第19页，共35页例：质量为例：质量为m的物体处在距地面的物体处在距地面 2R 处。求地面为零势能点处。求地面为零势能点 时的势能。（时的势能。（R为地球半径）为地球半径）得：得：距地面距地面 2R 处的势能：处的势能：另法另法：以无穷远为零势能点的引力势能：以无穷远为零势能点的引力势能：取取Ep(R)=0，得：，得：解：由解：由 ，引力势：，引力势：现在学习的是第20页，共35页以弹簧原长为零势能点的弹性势能：以弹簧原长为零势能点的弹性势能：解：以平衡位置为原点解：以平衡位置为原点o 建立建立ox坐标系坐标系，设平衡时弹簧伸长量设为，设平衡时弹簧伸长量设为x0。有：。有：例：如图，劲度系数为例：如图，劲度系数为k的轻弹簧下挂质量为的轻弹簧下挂质量为m的物体。求的物体。求 势能零点位于平衡位置势能零点位于平衡位置o处时系统的势能。处时系统的势能。xmo ox0Px则则x处的系统总势能：处的系统总势能：取取Ep(x0)=0，得：，得：现在学习的是第21页，共35页四、四、保守力与势能的关系保守力与势能的关系功与势能的微分关系：功与势能的微分关系：在直角坐标系：在直角坐标系：梯度算符：梯度算符：现在学习的是第22页，共35页1.质点在轨道上任一位置时，曲线显示出质点在轨道上任一位置时，曲线显示出 系统所具有的势能值；系统所具有的势能值；2.势能曲线上任一位置处的斜率的负值，即为质点在该处势能曲线上任一位置处的斜率的负值，即为质点在该处 所受的保守力；所受的保守力；如：一保守系统的质点沿如：一保守系统的质点沿x方向作一维运动，则有：方向作一维运动，则有：3.势能曲线有极值时，即曲线斜率为零处，其受力为零；势能曲线有极值时，即曲线斜率为零处，其受力为零；4.受力为零的位置称为受力为零的位置称为平衡位置平衡位置。势能曲线有极大值的位置点是势能曲线有极大值的位置点是不稳定平衡位置不稳定平衡位置；势能曲线有极小值的位置点是势能曲线有极小值的位置点是稳定平衡位置稳定平衡位置。势能曲线势能曲线*弹性势能：弹性势能：弹性势能曲线弹性势能曲线现在学习的是第23页，共35页 五、质点系动能定理五、质点系动能定理n个质点组成的个质点组成的质点系质点系 mi，各质点速度为各质点速度为 质点系的动能：质点系的动能：第第i质点受力为：质点受力为：外力外力 第第i质点应用动能定理有质点应用动能定理有：内力内力 总外力功总外力功总内力功总内力功总动能增量总动能增量质点系的动能定理质点系的动能定理注意：注意：先求每个质先求每个质点的功，再求总功点的功，再求总功。不能先求合力再不能先求合力再求功求功。因各质点的元位移因各质点的元位移不同，不能作为公不同，不能作为公因子提到求和符号因子提到求和符号之外。之外。现在学习的是第24页，共35页即：一般内力做功总和即：一般内力做功总和 注意：注意：一对内力所做功之和一对内力所做功之和等于力与相对位移的标积，等于力与相对位移的标积，不一定等于零。不一定等于零。一对内力有：一对内力有：两质点间元功之和为：两质点间元功之和为：相对位移相对位移现在学习的是第25页，共35页即有：即有：将内力做功分为保守内力做功与非保守内力做功，即：将内力做功分为保守内力做功与非保守内力做功，即：非保守内力功非保守内力功保守内力功保守内力功六、质点系的功能原理六、质点系的功能原理既然：既然：系统的机械能系统的机械能:表明：表明：系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力 的功之和。的功之和。质点系的功能原理质点系的功能原理现在学习的是第26页，共35页七、机械能守恒定律七、机械能守恒定律 能量转换与守恒定律能量转换与守恒定律对于功能原理：对于功能原理：若：若：则：则：系统的机械能守恒系统的机械能守恒或：或：孤立系统中非保守内力不做功时，系统的动能与势能孤立系统中非保守内力不做功时，系统的动能与势能 可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互交换，但可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互交换，但 系统的总机械能为恒量。系统的总机械能为恒量。非保守内力做功会使系统的机械能发生变化！非保守内力做功会使系统的机械能发生变化！孤立系统中机械能增加或减少时，孤立系统中机械能增加或减少时，就有等量的非机械能就有等量的非机械能减少或增加，从而保持系统的总能量（机械能与非机械之减少或增加，从而保持系统的总能量（机械能与非机械之和）不变。和）不变。四、能量转换和守恒定律四、能量转换和守恒定律对于孤立系统：对于孤立系统：则功能原理为：则功能原理为：能量转换和守恒定律能量转换和守恒定律现在学习的是第27页，共35页摩擦内力做功：摩擦内力做功：例：如图，质量为例：如图，质量为M的卡车载质量为的卡车载质量为m的木箱以速率的木箱以速率v沿平沿平 直路面行驶，因故紧急刹车车轮立即停止转动，卡车滑直路面行驶，因故紧急刹车车轮立即停止转动，卡车滑 行距离行距离L后静止，木箱相对卡车滑行了后静止，木箱相对卡车滑行了l 距离。已知木箱距离。已知木箱 与卡车、车轮与地面间的摩擦系数分别为与卡车、车轮与地面间的摩擦系数分别为 1、2。求求L 和和l。解：视卡车与木箱看作质点系。解：视卡车与木箱看作质点系。据质点系动能定理，有：据质点系动能定理，有：外力外力F做功：做功：对木箱应用动能定理：对木箱应用动能定理：现在学习的是第28页，共35页例：如例：如图图，质质量量为为M的滑的滑块块置于斜面底端置于斜面底端A处处，斜面，斜面倾倾角角 高度高度为为h。今有。今有质质量量为为m的子的子弹弹以速度以速度v0水平射入水平射入滑滑块块 并留在其中，且使并留在其中，且使滑滑块块沿斜面滑沿斜面滑动动，摩擦系数，摩擦系数为为 。求。求 滑滑块块滑出滑出顶顶端端时时的速度大小。的速度大小。解：解：子弹与滑块撞击过程沿斜面的动量守恒，设滑块得到的子弹与滑块撞击过程沿斜面的动量守恒，设滑块得到的初速度为初速度为v1有：有：令滑块滑出顶端时的速度为令滑块滑出顶端时的速度为v2，取取A点为重力势能零点，由功点为重力势能零点，由功能原理有：能原理有：联立上式得：联立上式得：现在学习的是第29页，共35页例：打例：打桩桩机机锤锤的的质质量量m，将，将长长L、质质量量M、半径、半径r的的桩桩打入地下，打入地下，其其侧侧面面单单位面位面积积受泥土阻力受泥土阻力为为k。求：。求：桩桩由于自重下沉深度由于自重下沉深度h1；在在桩稳桩稳定后，将定后，将锤锤升至距升至距桩顶桩顶端端h处让处让其自由下落其自由下落击桩击桩，若，若锤锤与与桩发桩发生完全非生完全非弹弹性碰撞，第一性碰撞，第一锤锤使使桩桩下沉深度下沉深度h2；若若桩桩已下沉已下沉 l 时时，锤锤再一次下落再一次下落击桩击桩后反后反弹弹起起h，此，此时时已非完全非已非完全非弹弹性碰撞，性碰撞，桩桩的下的下沉沉深度深度h3。解：解：取桩和地球为系统，取桩和地球为系统，桩初始位置的质心为势能零点桩初始位置的质心为势能零点，由功能原理：由功能原理：桩下沉距离：桩下沉距离：锤与桩发生完全非弹性碰撞后桩的速率设为锤与桩发生完全非弹性碰撞后桩的速率设为v，由动量守恒，由动量守恒定律有：定律有：锤下落的末速设为锤下落的末速设为v0：现在学习的是第30页，共35页联立上式得桩再次下沉的深度：联立上式得桩再次下沉的深度：第一锤能使桩下沉深度设为第一锤能使桩下沉深度设为h2，下沉过程由功能原理：，下沉过程由功能原理：联立上式得桩下沉深度：联立上式得桩下沉深度：再次击桩时的碰撞是一般非弹性的，碰后锤的速率再次击桩时的碰撞是一般非弹性的，碰后锤的速率v1为：为：对桩下沉过程中再次应用功能原理，得：对桩下沉过程中再次应用功能原理，得：桩的速率设桩的速率设v，由动量守恒有：由动量守恒有：现在学习的是第31页，共35页例：如图，质量例：如图，质量m长长 l 的绳放在水平桌面上，绳与桌面间摩的绳放在水平桌面上，绳与桌面间摩 擦系数为擦系数为。求：。求：绳下垂段绳下垂段 l0 至少多长时，绳开始下至少多长时，绳开始下 滑；滑；当绳全部离开桌面时绳的速率当绳全部离开桌面时绳的速率v。解：解：绳绳下垂部分的重力大于桌面的下垂部分的重力大于桌面的静摩擦力静摩擦力，绳开始下滑绳开始下滑：当下垂绳长为当下垂绳长为y时，桌面对绳的摩擦力为：时，桌面对绳的摩擦力为：以桌面为重力势能零点，由功能原理有：以桌面为重力势能零点，由功能原理有：摩擦力做功：摩擦力做功：现在学习的是第32页，共35页解：取解：取AB弹簧弹簧+地球地球为系统。为系统。弹簧原长为弹簧原长为l，取，取原长时原长时A位置为原点建立位置为原点建立ox系，此处为重力与弹力势系，此处为重力与弹力势能零点。能零点。A的平衡位置为的平衡位置为x0。例：如图，用弹簧连接质量分别为例：如图，用弹簧连接质量分别为m1和和m2的木板的木板A和和B。求。求 对对A至少需施加多大的压力至少需施加多大的压力F，才能因突然撤去它使，才能因突然撤去它使 跳起过程中提拉起跳起过程中提拉起B？初态初态初态：初态：末态：末态：因机械能守恒：因机械能守恒：平衡平衡末态末态现在学习的是第33页，共35页例：计算第二宇宙速度例：计算第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度v。脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。由机械能守恒：由机械能守恒：得：得：现在学习的是第34页，共35页感谢大家观看26.09.2022现在学习的是第35页，共35页