多元函数的极限与连续性.ppt
关于多元函数的极限与连续性2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系1现在学习的是第1页，共22页2009年4月22.1 多元函数的概念多元函数的概念引例引例:圆柱体的体积圆柱体的体积 一定质量的理想气体一定质量的理想气体，其体积其体积V与压强与压强p均均 与气体所受的温度与气体所受的温度T(绝对温度绝对温度)有关有关，其关系其关系 式为式为：p=RT/V R-气体常数气体常数 (V0,T0oK)现在学习的是第2页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系3 函数函数(或映射或映射)是两个集合之间的一种确定的对是两个集合之间的一种确定的对 应关系应关系.R 到到 R 的映射是一元函数；的映射是一元函数；R2 到到 R 的映的映 射则是二元函数，射则是二元函数，R3 到到 R 的映射则是三元函数，的映射则是三元函数，.,Rn 到到 R 的映射则是的映射则是n元元(数量值）函数数量值）函数.三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式一个变量依赖于二个或二个以上变量的情形！一个变量依赖于二个或二个以上变量的情形！温度是时空的函数温度是时空的函数：T=T(x,y,z,t)现在学习的是第3页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系4n 元（数量值）函数定义元（数量值）函数定义See P.11定义定义2.1现在学习的是第4页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系5对于后一种被称为对于后一种被称为“点函数点函数”的写法的写法,它可使多元它可使多元 函数与一元函数在形式上尽量保持一致函数与一元函数在形式上尽量保持一致,以便仿照以便仿照 一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题;同同时时,还还可把二元函数的很多可把二元函数的很多论论断推广到断推广到 元函数中来元函数中来.-点函数形式点函数形式 现在学习的是第5页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系6例例1 求下列函数的定义域求下列函数的定义域 现在学习的是第6页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系7xyoxyo现在学习的是第7页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系8xyoxyo现在学习的是第8页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系9二元函数二元函数 z=f(x,y)的图象的图象 当把当把 和它所和它所对应对应的的 一起一起组组成成 三维数组三维数组(x,y,z)时时,三维点集三维点集 便是二元函数便是二元函数 f 的图象的图象,通常该图象是一空间曲面通常该图象是一空间曲面.现在学习的是第9页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系10例例2它的图象是过原点的马鞍面它的图象是过原点的马鞍面.现在学习的是第10页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系11例例2(2)例例2(3)例例2(4)现在学习的是第11页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系12 若二元函数的若二元函数的值域值域 是有界数集是有界数集,则则称函数称函数 在在 D上为一有界函数上为一有界函数(如例如例2(2)中的函数中的函数).否则否则,若若 是无界数集是无界数集,则则称函数称函数在在 D上为一无界上为一无界 函数函数(如例如例2(1)、(3)、(4)中的函数中的函数).与一元函数类似地与一元函数类似地,设设 则有则有 现在学习的是第12页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系13另一种图示法另一种图示法等高等高(值）线（值）线（See P12)现在学习的是第13页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系14现在学习的是第14页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系15例例3 设函数设函数(此函数在以后还有特殊用处此函数在以后还有特殊用处)试用等高线法讨论曲面试用等高线法讨论曲面 的形状的形状.解解 用用 为一系列常数为一系列常数)去截曲面去截曲面 得等高线方程得等高线方程 现在学习的是第15页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系16当当 时时,得得 平面上的四条直线平面上的四条直线 当当 时时,由等高由等高线线的直角坐的直角坐标标方程方程难难以看出它以看出它 的形状的形状.若把它化为极坐标方程若把它化为极坐标方程,即令即令得到得到如下一如下一页图页图 所示所示,为为所所对应对应的一的一 族等高线族等高线.现在学习的是第16页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系17现在学习的是第17页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系18由此便可想象曲面的大致形状如图由此便可想象曲面的大致形状如图 所示所示,坐标原点是曲面的一个鞍点坐标原点是曲面的一个鞍点,四道四道“山谷山谷”与四道与四道 “山脊山脊”在鞍在鞍 点处相汇点处相汇.现在学习的是第18页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系19设设 A为为 Rn 中的点集中的点集,称映射：称映射：为定义在为定义在A上的一个上的一个n元向量值函数元向量值函数，也记作，也记作其中其中是自变量，是自变量，.有有See P.14定义定义2.2或或现在学习的是第19页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系20现在学习的是第20页，共22页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系21现在学习的是第21页，共22页2009年4月感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第22页，共22页
