2021年2021年不定积分的典型例题.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 1計算解法 1x21 dxx41x 41( x 22 x1)( x 22 x1).而 ( x 22x1)( x 22 x1)2(x 21)所以x 21 dxx 411 1 (2x211dx2x1dx1x 22x1dx)dx) 12(x1d (2 ) 21222x1)(x2 ) 21221d2x1)2(2x1) 212(2x1) 211 arctan(2x1) 2arctan(2x1)c.解法 2x214dxx( x222 x1)22xdx1( x2 x1)( x2 x1)dxx22x12x dxx4112解法 3arctan( 2x1)x211arctanx22211xc.d ( x1 )x当 x0、dxx41dx21xx221xx2d (x1 ) x( x1 ) 22x11arctan 2x 21x21c2xlimarctan、x022x221x21limarctan、x022x22第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -由拼接法可有21arctan x1c、x02x14dxx121arctan 22 x220x212 x22x0.cx0例 2. 求x3( x1) 22( x2dx.1)解 将被积函数化为简洁的部分分式x3( x1)22( x21)Ax1(xB1)2CxDx21(*)两边同乘以 ( x1)2 ，约去 x1 的因子后令 x1 得3B(1)21 .(1)212两边同乘以 ( x1)2 ，对 x 求导，再令 x1 ，施以上运算后，右端得A、 而左端为limd x32(x1) 2x1 dxd(x1)2 ( x2x321)3x2 ( x21)2x( x32)lim2lim22x1 dxx1x1(x1)622.4A2.在 分 解 式 （ * ） 中 令 x0、 得 2ABD 、 所 以D1 . 分解式（ * ）两边同乘以 x ，再令 x、 得 21AC 、Cx321.故有ABCxD22dx( x1) (x1)2x1(x1)dx2x12 ln x112(x1)12 ln( x21)1 arctanxc.2例 3.求(x4x 1) 2 ( x4x2 )dx.2解 令 ux 、 再用部分分式，則第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -( x 4x 1) (x 4x2 )dx12(u 2du1)( u 2u )(u 211) (u 2u)A Buu1CuDu 21、 两边 乘以u、 再令 u0、 得 A1. 两 边 乘 以 u1、 再 令 u1、 得B 1 .2两边乘以u、1再令u、得10AB4C、Cx422 dx. 令 u1、D. 21du22( x1) (xx )2(u1 u11)( uu )111 2u2(u1)2u 212 du1 ln u21 ln u141 ln( u 21)81 arctan uc 41 ln x2211 ln( x21)4x81 ln( x41)811 arctan x2c48 ln ( x21) 2 ( x41)x15arctan x24x8c.1x811例 4(x811) 2 dx1(x811)2x7 dx8d ( x81)( x81)2dx88x81( x81)2例 5. 求1 ln( x8811)cos x18( x81)c.dx.1解 令tan xcos xt 、 就sin x1cos xdx21cos xsin x第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -211t21t211t2t22 dx1t(1t22 )(1t)dt1t21t2(1t1 )dtt1ln t11t 211 ln( t 21)2xarctan tcln(12例 6x2sin x2x)c.21dx1x421( x2x2 dx21 )2( 1 )2d( x 21 )1u2(1) 2 du21 uu2( 1 2)1 ln(uu2( 1 ) 242162分部积分1 x(2x28221)x211 ln x8222)cx21c.例 7(x1) 2dxx分项432xx 23例 83(x 25212x 25x2c.1x2 )dx11x4 dx1121x211x2dx1 ln 1x1 arctan xc.41例 9xdxx21x1 dx11例 10xxdx1x1dx1 x2 x1x341xc.3第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -dxdxd(x )421sin xtan(41cos(x) 2x)c. 2cos2 (x ) 42例 11x 1dxtdtarcsintcxx211t 2arcsin 1c、xarcsin 1c、 x例 12 求( xx xa)(b11.x)dx、其中 ab.解 由配方得( xa)( bx)R2(xab )2 、其中 Rba， 令22xuab 、 就有原式2uR2u2 dut1Rsin tR2cos2 R2tdt R2R21cos2t dt 2R2 (2sin 2t)c4tsin t costc 221 (b4a) 2 arcsin 2x(ab)ba2x( ab) 4(xa)(bx)c.例 13 求 Icos cos x3xsindx、 Jxsin cos x3xsindx、x解IJ(11 sin 2 x)dx2x1 cos 2 xc.4(cosxIJsin x)(11 sin 2x)2 dxcos xsin x(cos2 xsin2x)(11 sin 2 x)2 dx(cosxsin x) 2第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -(11 sin 2x) cos2 x21sin 2xdx1 sin 2x 41 ln(sin 2x1)c.4解上面的联立方程可得出I 、 J .例 14 运算 I11x3dx.I1dx1x31xxdx1x311xx2 dxx1x3dx、 令 Jx1x3dx.可求出IJ231IJ3 arctan 23x13 dx3( xx1) )c、2x2x23dx1x1x1x21dx1x13 dxxln( x1)ln( x31)c、3从而可解出I .( 略)例 15arcsin 21x dx xarcsin 21x d ( x1) x分部积分（x1）arcsin 2x1x1 dx x(1x) arcsin 2x1x2 xc.例 16 求I解 令dx.xx2x1t 21t 2t1x 2x1xt 、x12t、 dx2(12t )2dt、2I2tt1 dt2 133dtt(12t )2t2(2t1)2(2t1) 22 ln xx2x133 ln22x1c.2x2x12(2x2x12x1)例 17 设f ( x)有一个原函数sinxx 、 求xf ( x)dx.第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解 用分部积分法有xf (x)dxxdf(x)xf (x)f ( x) dx(*)f ( x)dxsin xc1xf (x)f ( x) dx sin xxc1 x cos xx2sin x .代入（ * ）有xf ( x)dxcos xsin x xsin x xc1，即xf( x )dxcos x2 sin xc. x例 18 求12sin xcos x dx.5 sin x2 cos x解5 sin x2 cos x5cos x2 sinx. 被积函数的分子为cos x、sinx 的线性组合，故有12 sin xcos xA(5sin x2 cos x)B (5 sin x2 cos x)(5A于为2 B) sin x(5 B2 A) cos x、A2、 B1.12 sin x 5sin xcosx dx 2 cosx2(5 sin x2 cos x) 5sin x(5 sin x2 cos x2 cosx) dx2xln 5 sin x2 cos xc.例 19 求sinxdx .解sin3xdx2sin 2 xd (cos x)2cos x tdt23sinx3111cos1xdtt1 ln 24cos xc.例 204t2t24dxdx2cos x12 cos2 x(1cos2 x2) cos2 xd (tan x)d(tan x)dt12cos2 x3tan2 x3t 21 arctantc 331arctan tan xc. 33例 21第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -66 x2x tdxx3 x23 x326x9 3 x18 6 x18ln(16 x )c.例 22253xx5 xxtx 1dx15xx1ln5xx15x2 arctanc.x1例 23dxx sin t1 arctan xln x1x2 c.2x1x2t2例 241x2 dx x3x tan tt2dx1x22x2e x t1 ln21x2 x1c、例 25e2 x3ex2例 26arcsin xdx分部积分x arcsin x1x2c.xxx例 27 例 28eex dxee(ex )dxeec.cos2xdx1sin x cos xd (1 1sin x cosx) sin x cosxln 1sin x cosxc(妙用“ 1”）例 29.( x2x) ex (x3 x1)e xdx.( x2x)ee ( x23x1)e3原式(x2x)ex d( x2x)ex 例 30.2( x233x)ex 2c.第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -arctan 12x dx1 (arctan 1 )c.(arctan 1)11x例 31.222xsin 2xdx222x1xacosxbsinx1d (a 2cos2 xb 2 sin 2 x)b 2a 2a 2 cos2 xb 2 sin 2 x2b 2a 2a 2 cos2 xb 2 sin 2 xc.例 32.( a 2 cos2 xb2 sin 2 x)1(b 2ln xa 2 ) sin 2 x.1ln(xlnx2 dxx)x2( xln xdxx )21( xln xxd (x )2ln x)xx例 33.x211cln xxx11x2xln xc.d ( x1)xdxdx22xx411xx11arctanxc22(x1 )22x1arctan 2x212 xc.( x0)当x0、 利用原函数的连续性.例 34xdxx sin t121x2lnc.22( x1)1x2221x2第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 35xdxtan t121x2c.33x(1x2 ) 21x例 36x2a 24x a sect1dx23x2a 2c.x例 37a 03axdxxsin tcostdtcostcos2 t2dt11x21cost1cos t例 3811x2xxx 1arcsin xc.2dxtt(1 )dtx( x72)(1 72t)t例 391 ln 2x714dx31 ln xc. 2dx3(1xx 1 12 tx2 ) 2tdt 3( x31 )222(2 x3 241) c.2例 40(1t 2 ) 2431xxx 2 exdxx2 ex1( x2 ex ) dxx2 exc.( x2) 2x2x2x2例 41dxx9 dx1 ln x1 ln( x102) c.x(2x10 )x10 (2x10 )220例 42(1x7 )dx(1x7 ) x6 dxln x2 ln1x 7c.x(1例 43x7 )x 7 (2x10 )7第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -x2 nxn1 dx1xnxn 11xndx1(1n11xn)d ( xn )1 (xnnln xn1 )c.例 442x311100 dx. （令 x1、dx12 du、）( x1)uu2x3(x1x 1dx1u1)100133 ( x11) 99349( x1)98例 45dxx3 xx t 6（先约分，分子加一减一）例 46例 47x( xx1) dx. 分子分母同乘（x1x） x11sin xdxsin 2 x2例 48cos2 x22 sinx cos 2xdx 2dx sin 3 xsin2x sin3cos2 xdxxcsc xdxcot 2x csc xdxcscxdxcot xd (cscx)分部积分1 cscx2cot x1c.2 cot x cscx例 49sin xdxsinx(1sinx)d1例 501sin xdxcos2 x1 sin xcos x1sin xcos xsin x(1cos x)2 sinx cos x2 cos2 x2 cos2x (1tan x)211sin x2dxcos x2ln 122tan xc.2第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -xx例 51xsin xdx1cosxx2sincos222 cos2 x（分项分部积分）2x tan xc.2例 52 求f (ln x)dxf (ln x)d(ln x)xf (ln x)d( f (ln x)2ff (ln x)(ln x)c.f (ln x)例 53 求max(x 3 、x 2 、1) dx .解 令 f(x )max(x3 、 x 2 、1)x3、x1x2 、x11、x11 x44c1、 x1max( x 3 、 x 2 、1)dx13xc2 、 x1.3xc3 、 x1利用原函数的连续性，有lim ( 1 x4c )lim ( x1c3 );x14x113lim ( xc3 )lim (xc2 )、x1x13从而解出 c3c、 c13c、c 42 c、321 x4344c 、 x1故max( x3、 x2 、1)dx1 x3233xc、c 、 x1. x1第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - 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