2021年2021年【优化方案】2021年高考数学二轮复习第一部分专题五第3讲圆锥曲线中的热点问题专题强化精练提能理综述.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -第一部分专题五解析几何第 3 讲圆锥曲线中的热点问题专题强化精练提能理22 y的两个焦点，过Fi 作垂直于x 轴的直线与双曲线相1. 已知 F1、 F2 为双曲线 X2 4 = 1 交，)其中一个交点为P、 就|PF a | =（A. 6B. 4D. 1解析：选 A.由题意知 | P 冋一 | PF | = 2a、 由双曲线方程可以求出| PFF = | PF | = 4、a = 1，所以 4 + 2 = 6. 故 选 A.22X上的一点， Fi、F2 为 C2. （ 2021 .高考全国卷I ）已知 Mx o、yo）为双曲线C: 2 y = 1的两个焦点 .如MF . MF v 0、 就 y 的取值范畴为（ ）3A.B.3，.336，6C.2、233D.22 .3勺3 ，A 卷解析：选A. 由题意知a= 2 、b= 1 、c = -. 3 、 所 以 R（ 一3 、0） 、H （ 3 、0） 、 所以 MF=（ ：二 3 X；、 y；） 、MF = （ .3 x ；、 y；） .由于MF- MF v 0、 所以 （ 3 X0 ）（ 3 X；）+ y0< 0 、即 X；一 3+ y；< 0.2X；222由于点 Mx ；、y；）在双曲线上，所以 y0 = 1、 即 X 0= 2 + 2y； 、所以 2+ 2y0 3+ y0< 0、 所以一彳 <；彳 .应选 A.2 2y x3. 已知双曲线g孑=1（a >0 、b>0 ）的两个焦点分别为Fi.F2、 以线段 FiH 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为2 2y xA- = 1(4 、3)，就此双曲线的方程为2 2y xBZ =1 432 29162 2D.Ly x =1y xC. =1169解析：选 A. 由题意可知 所以a2 + b2 = c2= 25. 又点（ 4 、3）在 y= bx 上、由解得a= 3 、b= 4 、2 234c= . 32 + 42= 5、a 3故 b= 4. 所以双曲线的方程为蒼 16 = 1，应选 A.2x4. （ 2021 .河南省洛阳市统考）已知点 F 为双曲线孑一2y b 2 =1（ a>0 、b >0）的左焦点，点E为该双曲线的右顶点，过三角F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于eA、 B 两点，如 ABE 为锐角形，就该双曲线的离心率A. （ 1 、+ ）的取值范畴为 （）1B. （ 1 、2）第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -C. (2 、1+ 2)D. (1 、 1+ 2)b 2 解析：选 B. 如厶 ABE 为锐角三角形，只需/AEF <45 、 在 Rt AFE 中 ， | AF = 、I FE a22222b2=a+ c、 贝 U < a+ c. b < a + ac . 2 a -c + ac >0. e e- 2<0. 1< e<2 、 又 e>1 、 所以1< e<2 、a5. 已知圆过点 M- . 2、.nA. 3C. 2 n应选 B.2 2=P 的半径等于椭圆x+9i 的长轴长，圆心为抛物线1) 的直线 I 将 o P 分成两段弧，就劣弧长度的最小值为B 空3D. 4 n2 2 2 2y2= 4 2 x 的焦点，经解析：选 D. 椭圆 7 = 1 的标准方程为秒+ ; =1、 其长轴长为49946; 抛物线 y2= 4 2 x 的而 | MP = ( 2 r 2) +( 1 0) = 3 v 6、 明显当过点 M 的直线 f 被圆所截得的弦长最小时，弧长度也最小，此 时 MPL I.焦点坐标为 ( 2、 0)，所以圆 P 的圆心为 P(. 2、0) ，半径 r = 6.故点 M 在圆 P 内.2第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -对应劣弧所对的圆心角最小，从而劣设直线 I 被圆 P 所截得的弦所对的圆心角为0 、0 .(0 、n 、 就有 COS 10 n2 n2所以2 =3，即0 = 丁.2n所以此时劣弧的长度为r 0 = 6 = 4n . 应选D.32y6. (2021 .济宁模拟 ) 已知点 Fi.F2 为双曲线 72 - 合=1( a>0 、b>0) 的左.右焦点，如双曲线左支上存在点P 与点 F2 关于直线y = bx 对称，就该双曲线的离心率为(B.D. 5C. 2解析：选 D.如下列图，点P 与点F2 关于直线 y= 对称，所以 |op =|OF | =|OF | = c、a所 以 PF 丄 PR 、tan /PFF 2= b、 又 | FiR| = 2c、 所以| PR| = 2b、|PF | = 2a 、 又由于点P 在 双 a线 y2 = 4 5 x 的焦点，就该双曲线的标准方程为3第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -C. (2 、1+ 2)D. (1 、 1+ 2)解析：由题意可知双曲线的半焦距c = 5、2 2x y设双曲线线的距离为半径尹 b2 = 1(a >，b>0) 的一条渐近线方程为kx y= 0、 依据圆心 (1 、0) 到该直i 一5、又 a2 + b2 = (5)2 、就 a2 = 4、b2 = 1、2x所以双曲线的标准方程为一 y2= 1.42答案： X y2 = i2 2i4& 已知动点 P(x、y)在椭圆 x +鲁=1 上、 如 A 点坐标为 (3 、0) 、|AM = 1、 且 PM -AM=2516o、 就| PM 的最小值为 .解析：由于 PM- AM= 0、所 以 XM L PM 所以|PM 2= |AP 2 |AM 2= I A P21. 由于椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，所以 | A”m in = 2、 所以 | PM min =寸一 3. 答案： 39. 在直线 y= 2 上任取一点Q 过 Q 作抛物线 x2 = 4y 的切线，切点分别为A.B、 就 直线 AB 恒过定点为.A (X1、y" 、B(x2、y2) ，抛物线方程变为y= 4X 、 就 y = 尹，就1 11 2 1 解析： 设 Qt 、 2) 、在点 A 处的切线方程为y y1 =尹( x xj，化简得， y = .X 1X y1、 同理，在点B 处的切线1 一 1方程为 y =尹次 y2. 又点 Qt 、 2)的坐标满意这两个方程，代入得：一2 = yd y1、 211=qX 2t y2、 就说明A (X1 、y" 、B(X2、 帕 都满意方程一2= 2xt1 2 = tx ，因此直线AB 恒过定点 ( 0、2) .答案： (0 、2) y、即直线 AB 的方程为： y2 210. 如双曲线 X 2右 =1( a>0、b >0) 的一条渐近线的倾斜角为a b的最小值为 .解析：由题意， a=；3，所以 b =#3a、 所以 c=2a、e= 2、穿( 当且仅当 a= 2 时取等号 ) ，就旦薛的最小值为辛.答案：穿22寸，离心率为e、 就旦护222、小a + ea + 4 a2 > 2b2 3a 2 飞3a 4第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -. . 2 211. (2021 .山西省四校第三次联考) 已知点 A(1 、0)，点 P 为圆 C (X + 1) + y = 8 上 的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线CP 交于点 E.(1) 求点 E 的轨迹方程；(2) 如直线 y = kx + m 与点 E 的轨迹有两个不同的交点F 和 G 且原点 O 总在以 FG 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范畴 .解：由题意知|EP =|EA 、|CE + |EP = 2 羽，所以|CE + |EA = 2 贾 >2= | CA 、x 2所以 E 的轨迹为以C、 A 为焦点的椭圆，其轨迹方程为-+y2= 1.y = kx + m(2) 设 F(X 1、y1 )、GX 2、y2)，就将直线与椭圆方程联立得2x + 2y = 2、消去 y、 得(2 k2 + 1) x2 + 4kmx + 2ni - 2 = 0、22由 >0 、 得 m<2k +1(*) 、24km2m -2X1+ X2 =_-、X1X2 = 2_- 、2k + 12k + 1由于 O 总在以 FG 为直径的圆的内部，所以m 2k 而=( kx 1 +m( kx 2 + m = 2k2 +1、亠2m - 2 m- 2k2OF- OG 0 、即 X1X2 + y1y2<0 、得 m<.22k + 232 2、 所以 m <3 、 且满意 (*)式、由 X1 X2+y1y2 =打+汞 R <0，12 . 已知圆M X 2 + (y- 2)2 = 1、 直线(1) 求 E 的方程；所以 m 的取值范畴为l :y=-1、 动圆 P 与圆 M 相外切，且与直线I相切 . 设动圆圆心P 的轨迹为 E(2) 定点 A(4 、2) 、B、C 为 E 上的两个动点，如直线AB 与直线 AC 垂直，求证：直线BC 恒过定点 .解： (1) 设 P(x、y)、贝 x2 +( y-2)2 = (y + 1) + 1. x2= 8y.证明：设直线BC ： y = kx + b( 心 0)、B(X1 、y" 、C(X2 、y2 ) 、将直线 BC 代入到 x2= 8y 中得 x2-8kx - 8b= 0 、所 以 X1 + X2 = 8k 、X1 X2 =-8b.又由于AB= (X1- 4 、y1 -2) 、Xb= (X2-4 、 y2 - 2)、所以瓜 AC= (X 1- 4)( X 2-4) + (y1-2)( y2 -2)=(X1- 4)( X2- 4) + (kx 1 + b - 2)( kx 2+ b- 2)=(k2+ 1)X 1X2 + k(b - 2) - 4( X1 + X2) + (b- 2)2 + 16 = 0 、故 一 8b(k + 1) + 8k k(b- 2) -4 + (b -2) + 16 = 0 、2 2b -12b -16 k -32 k+ 20 = 0 、(b- 6)2 - 16( k + 1)2= 0 、可 得 b = 4k + 10 或 b =-4k+ 2( 此时直线 BC 过点 A (4、2)、 不符合题意，舍去) ，所以直线 BC恒过定点 ( 4 、10) .13 .(2021 .洛阳市双基测试 ) 已知过点 (2 、0) 的直线 l 1 交抛物线 C: y 2= 2px ( p>0) 于 A、 B 两点，直 线 l 2： x =-2 交 x 轴于点 Q(1) 设直线 QA QB的斜率分别为k1 、k2 、 求刚 + k2 的值；5第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -(2) 点 P 为抛物线 C 上异于 A、B 的任意一点，直线PA、 PB交直线 丨 2 于 M N 两点， OMON6第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -=2，求抛物线 C 的方程 .解： 设直线 l i 的方程为 x = my+ 2、点 A(xi 、yi) 、B(x2、y2) .7第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -x= my + 2y2= 2px 、2得 y 2pmy- 4p = 0、yi + y2= 2pm 、yi . y2= 4p .2myy 2 + 4 ( yi+ y2)ki + k2 8m 叶 8mpyiXi+ 2=0.y2X 2+ 2yimy + 4y2my + 4( my + 4)(my 2 + 4)(my + 4)(my + 4)(2) 设点 P(xo、yo)，直线PAyi 一 yo、4p+ yiyo i(x x i)x - 2yM同理 yN= 土空 .y2+ yo因 为 6M ON= 2、所 以 4+ yNyM= 2、 4p + y2 yo 4p+ yiyoy y =x；，当=时、=yi + yo， 2y2 + yoyi + yo=、2 2i6p 4py o ( y2+ yi)+yoyiy2 2=y2yi + yo ( y2 + yi )+yoi6p2 8p2 my 4py 24p+ 2pmy + y2 = ，i2y = x.i4.(20i5 .江西省九江市第一次统考) 已知椭圆 C 的中心为坐标原点，右焦点为F(i 、0)、A B 分别为椭圆 C 的左.右顶点， D 为椭圆 C 上异于 A B 的动点，且 ADE 面积的最大值为2.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 为否存在肯定点E(xo 、0)(0< xo< 2) ，使得当过点E 的直线 I 与曲线 C 相交于 M N1 1两点时，+为定值？如存在，求出定点和定值；如不存在，请说明理由.|E M 2 |E N22 2解： (1) 设椭圆的方程为a+占=i(a>b>0) 、由已知可得 ( SMDI ) max= 1 . 2a . b = ab =2、 由于 F(1 、0) 为椭圆右焦点，所以a2 = b2 + 1、 由可得a =曲 2、b= 1、2x 2所以椭圆 C 的方程为 -+y2 = 1.过点 E 取两条分别垂直于x 轴和 y 轴的弦 MN .M2 、nt 1 1 1 1就 +=+ 一，| EM |2 | EN|2 | EM|2 | EN |22 1 1即 2= -2 +- -2、里 ( Xo + 2)( xo 2)| 2解得 Xonf ，所以如 E 存在，必为if 、 0 ，定值为 3、下证 、0 满意题意 .8第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -设过点 E 电 6、0 的直线方程为X= ty +W 6，代入椭圆C 的方程中得 (t2 + 2)y2 +4 =03 0，设 Mx 、y ).NX 2、 y ) ，就 yi*y2= 予=i ii(yi + y2)2 2yiy2- *|EM 2 |EN2= ( i+1 2)y2 + ( i+1 2)2= 2 . 2 - 2 =y2i +1yiy2i +122yiy2ii +12 3-F 2_2+2 8)*3 ( t + 2)=3.4综上得定点为、 0，定值为3.1.(2021 .烟台模拟 ) 已知椭圆 C:X 的焦点恰好为椭圆C 的一个焦点 .B 卷孑+ p= i( a>b >0) 的离心率为 -2 ，且抛物线 y2 = 4 3(2) 过点 Q0 、3)作直线 求四边形OAN 面积的最大值， 解： ( i)设椭圆的焦距为由于离心率为 -2 ，所以l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，点并求此时直线l 的方程 .2c、3224，所以3a = 4c 、N 满意 ON = OA OB o 为原点 ) ，又点 ( .3、 0)为抛物线的焦点，所以 c2 = 3.2X2所以椭圆 C 的方程为 -+ y = i. 由于 6N= OA * 6B 所以四边形 OAN 为平行四边形， 当直线 i 的斜率不存在时，明显不符合题意； 当直线 I 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y= kx + 3、I 与椭圆交于 A(xi、 yi ) 、 B(X2、 y2)两点，y = kx + 3、2 2 2由 x 2. (i + 4k)x * 24 kx + 32 = 0.4 *y=i由 = (24 k)2 i28(i + 4k2)>0 . k2 >2.24 k32Xi* X2= 2、 Xi X2=2.i + 4ki *4k3iSOABODXi X2 | = 2 | Xi X2 | 、所以S . OANB = 2S OAB = 3| X i 一 X2| =3 V (Xi + X2) 4xi X2(i)求椭圆 C 的方程； 一. / k2 2 24 k 23i + 4 k2一 4 乂32i + 4 k2I222()324 k128 i + 4k2 2(i + 4k )9第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2422 、丫 ( i + 4k)令 k2 2= t，贝 y k2 = t + 2(由上式知t>0) 、10第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -当且仅当 t =专，即 k2 = 时取17等口号弓时，平行四边形OANB勺面积的最大值为2.此时直线11 的方程为 y = 27x + 3.2 .已知椭圆 C：yb2 = 1( a>b >0) 的一个焦点为F(1 、0)，且离心率为壬(1) 求椭圆 C 的方程； 所以 S .O(2) 设经过点 F 的直线交椭圆C 于 M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点 R0 、yo)，求 yo 的取值范畴 .解： ( 1)设椭圆 C 的半焦距为c. 依题意，得 c = 1.242、1由于椭圆 C 的离心率为 、所以a= 2c = 2、b 2= a2 c2= 3.2 2 故椭圆 C 的方程为 +y=1.43所当以当MNkL=x轴时，明显 y0 = 0.当 Mh 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y= k(x 1)( k 丰 0).y=k( x 1)、22由 x2 y 2消去 y 并整理得 、 4 + 3 =12 2 2 2设 Mx 1 、yd 、N(X 2、y2 ) ，线段MN 的中点为QX 3、 ys ).8 k2X1 + X2 = 3 + 4k2 .所以X3 =X1 + X 24k23 +(3 + 4k )x 8k xy3 = k(X 3 1) = R .+4k2 ，k 3) = 0.4( 3k线段 MN 的垂直平分线的方程为23k14ky+ 3*.=k X3P .在上述方程中，令x = 0、 得 y0=k 123 + 4k 3 + 4k当 k<0 时 ， 3 + 4kw 4 3 ;k3当 k>0 时， j+ 4k>43.k11第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -所以一yo<o 或 0< y0< i|.综上， y；的取值范畴为- 拮、3.(2021 .高考四川卷 )如图 、椭圆E：= 1(a >b>0) 的离心率为 -2 ，点 F(0 、1)在短轴CD 、 且 PC- PD= -1.(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 设 O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A、B 两点 . 为否存在常数入，使得OA- OB + 入入的值；如不存在，请说明理由.PA- 砌定值？如存在，求解：由已知，点C、D 的坐标分别为 (0， -b) 、(0 、b ).2又点 P 的坐标1-bc=、为 (0 、1)=-1、 且 PC- PD =-1、a= 2，2. 22.a -b = c .解得 a= 2、 b =-j 2.2 . 一 . 一 .xy2) .2所以椭圆 E 的方程为 4 + 1 = 1.(2) 当直线 AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 y= kx + 1、A、 B 的坐标分别为 ( X1 、yj 、(X2、联立1)>0 、< 2 2x-+ y- = 1、4 2得 (2 k2 + 1) x2 + 4kx 2= 0.y = kx + 1、其判别式 = (4 k)2 + 8(2 k2 +4k2所 以 X1 + X2 =- 、X1X 2=-.2k + 12k +1从而， OA- OB 入 PA- PB=X 1X2 + y1 y2 + 入X 1X2 + (y1 1)( y2 1)2=(1 + 入 )(1 + k )x1x2+ k(x1 + X 2) +122k2+ 1(- 2 入一 4)k+ ( 2 入 一 1)入一 1C2入 22k2 +1人入一 1T所以，当入 =1 时，一2k1- 入- 2=- 3.此时， OA- OB 入 PA- PB= -3 为定值 .当直线 AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD此时， OA- 為入 PA- PB= C- &>配. PD12第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -=- 2-1 = -3.故存在常数入 =1、 使得 OA 3 內入 PA- PB 为定值 3.4.(2021 .泉州市监测考试 ) 已知椭圆 C 的两个焦点为 (0，3)和(0、.3) ，并且经过点 -2. 、1 、 抛物线 E 的顶点在坐标原点，焦点恰好为椭圆C 的右顶点 F.(1) 求椭圆 C 和抛物线 E 的标准方程；(2) 过点 F 作两条斜率都存在且相互垂直的直线丨 1.丨 2、|1 交抛物线 E 于点 A B、 I 2 交解:(1)22设椭圆 C 的标准方程为分 x，焦距为 2c、抛物线 E 于点 G H、 求 AG- HB勺最小值 .就由题意得 c= . 3 、b2= 1( a> b>0)2a =、：+(1+ .3 ) 2+4 +(1 .3) 2 = 4、所 以 a= 2、b2 = a 2 c2 = 1、2所以椭圆 C 的标准方程为七+ x2 = 1.所以右顶点 F 的坐标为 (1 、0) .设抛物线 E 的标准方程为y2 = 2px ( p>0) 、所以 2= 1、2p= 4、所以抛物线 E 的标准方程为y2= 4x.(2) 设 1 1 的方程为 y= k(x 1)、112 的方程为 y = k( x 1) 、A(X1 、yj .B(X2、y2) .0X 3、 帕.”X4、y4) .由 t 2消 去 y 得 kx (2 k + 4)x + k = 0、y = 4x所以 = 4k4 + 16 k2 + 16 4k4>0、4X1 + X2 = 2+2、X1X2= 1.kI I 2同 理 X3+ X4 = 4k + 2、X3X 4= 1 、所以 0G.H B= (AF + FG .( HF+ 雨= F- F- 3+ FG- HF+ FG- FB-|FB | +=|FG -| FX1+ 1| -| X2+ 1| + | X3 + 1|-| X 4+ 1|=(X1 X2+ X1 + X 2+ 1) + (X3 X4 + X3+ X 4+ 1)42=8+门 +4kk> 8+ 2.； 4 -4k2 = 16 、13第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -当且仅当 j42= 4k2 ，即 k =1 时， AG .有最小值16.14第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -