2021年2021年一轮复习专题：数列中的存在性问题.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -专题：数列中的存在性问题学大苏分教研中心周坤一.单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题相伴显现（否就就为一个方程有解问题，中，即零点问题），可以先假设存在， 列出一个等式， 通过化简， 整理成关于任意性变量 （一般为 n）的方程，然后n 的系数为 0，构造方程，进而解出存在性变量，最终检验；例 1.已知数列 an 的前 n 项和为Sn = 3n 25n ，在数列 bn b1 =8 ，64bn 1bn =0，问为否存在常数c 使得对任意 n ，anlog c bn 恒为常数 M ，如存在求出常数c和 M 、如不存在说明理由 .解析：假设存在常数c 使得对任意 n ， anlog c bn恒为常数 M ， Sn = 3n 25n ，3n2当 n =1 时，就a1 =S1 =8，当n 2 时， an =当n =1 适合，SnSn 1 =5n3(n1)25(n1)= 6n2 ， a n = 6n又 64bn 12 ，bn =0 ，bn 1bn=164 ，数列 bn 为首项为 8，公比为164 的等比数列， bn =8( 1 ) n64129 6n=，alogb6 n2log29 6n6n2(96n)log26(1log2) n29log2就ncn =c=a=aa，又对任意 n ， anlog cbn 恒为常数 M ， 6(1log a 2) =0，解得 c =2，1 / 13第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - M = 29log a 2 =11，存在常数 c =2 使得对任意 n ， anlog c bn 恒为常数 M =11.二.双存在型变量解题思路：先假设存在，依据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分别变量；假如可以分别常数，就利用数论中约数的学问列出全部可能情形，最终进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；假如不行以分别常数，就利用分别出的变量所具有的隐含范畴（如大于 0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范畴，再列出求出的被压缩的范畴里的全部整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最终进行检验；例 2.【2021 南通一模】设等差数列 an 的前 n 项和为Sn，且 a5a1334，S39 （ 1）求数列 an 的通项公式及前n 项和公式；bn（ 2）设数列 bn 的通项公式为anant，问: 为否存在正整数t，使得b1，b2， bm( m3， mN ) 成等差数列？如存在，求出t 和 m 的值；如不存在，请说明理由.a5a1334，【解】（ 1）设等差数列 an 的公差为 d. 由已知得3a29，2 分a18d17，a11，2即a1d3， 解得d2.4 分.故 an2n1，Snn .6 分bn（ 2） 由 （ 1 ） 知2n12n1t . 要 使b1 ， b2， bm成 等 差 数 列 ， 必 须2b2b1bm ， 即2312m13t1t2m1t ，8 分.2 / 13第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -m（ 3）整理得34t1 ，11 分由于 m， t 为正整数，所以t 只能取 2， 3， 5.当 t2 时， m7 ；当 t3 时， m5；当 t5 时， m4 .故存在正整数t，使得b1 ， b2， bm 成等差数列 .15 分例 3.设数列an的前 n 项和Sn2bn，数列bn满意ananm(mN * ).n（）如b1 、b2 、 b8 成等比数列，试求m 的值；*（）为否存在m ，使得数列bn中存在某项 bt满意 b1 、 b4、bt(tN 、t5) 成等差数列？如存在，请指出符合题意的m 的个数；如不存在，请说明理由.n解：（）由于Sn2，所以当 n2 时，anSnSn 12n13 分又当 n1 时， a1S11，适合上式，所以an2n1（ nN *）4 分2n113152bn2n1mb1、 b21m、b83m15mbb b所以， 就(3)2115，由21 8 ，得3m1m15m ，解得 m0 （舍）或 m9 ，所以 m97 分b 、b 、 b (tN * 、 t5)2bbb（）假设存在m ，使得14t成等差数列，即41t ，就2712t1t7367m1m2t1m ，化简得m512 分所以当 m51、2、3、4、6、9、12、18、36时，分别存在t43、25、19、16、13、11、10、9、8适合题意，即存在这样 m ，且符合题意的m 共 有 9 个14 分例 4.【2021 徐州三模】aSna 2S已知数列n为各项均不为0 的等差数列，n 为其前项和，且满意n2 n 1 ，3 / 13第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -bn令an1an 1，数列bn的前 n 项和为Tn .（ 1）求数列an的通项公式及数列bn的前 n 项和为 Tn ；（ 2）为否存在正整数m、 n (1m n) ，使得T1 、Tm 、Tn 成等比数列？如存在，求出全部的m、 n 的值；如不存在，请说明理由.a 2S(a1a2n1 )(2 n1)(2 n1)a解：（ 1）由于an为等差数列，由n2 n 1n2，又由于 an0 ，所以 an2 n1 ，2 分nb111 (11)由anan 1(2 n1)(2n1)22n12n1111111nTn(1)所以23352n12 n12n1 6 分nTnT11、Tmmn、Tn(2)由(1)知，2n1 ，所以32m12n1 ，(m) 21 (n)m2n如T1、 Tm 、Tn成等比数列，就2m132n1，即4m24m16n3 8 分m2n32m24m1解法一：由4m24m16 n3 ，可得n m2，2所以2m4m10 ，12 分16m16从而：22，又 mN ， 且 m1，所以 m2 ，此时 n12 故可知：当且仅当m2 ，n12 使数列Tn中的 T1 、Tm、 Tn 成等比数列；16 分n1126n336m21解法二：由于6n，故4m24m16 ，即 2m4 m10 ，12 分661m1从而：22，（以下同上）4 / 13第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -三.三个存在型变量- 连续的解题思路：这类问题的形式一般为，“为否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”；可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以依据处理零点问题的方法（“解方程”或者“画图像”）求解；n例 5.【扬州 2021一模】已知数列 an， anpq n ( p0、 q0、 pq、R、0、 nN *) .求证：数列 an 1pan为等比数列；数列 an 中，为否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；A( n、b ) | b3nk n 、 nN *kkN设nn，其中为常数，且，B( n、 cn ) | cn5n 、 nN *， 求 AB.n解：an = pnqan，1n 1panpn 1nqp ( pnnq )q (qp ) ，0、 q0、 pq an 2an 1pan 1panq为常数数列 an 1pan 为等比数列 -4 分取数列 an的连续三项an 、 an1、 an2 (n1、nN ) ，a2n 1an an 2( pn 1qn 1 )2( p nqn )( p n 2q n 2 )pn qn ( pq ) 2p0、 q0、 pq 、0 ，nn2，p q( pq )2a0 ，即n 1anan 2 ，数列 an 中不存在连续三项构成等比数列；-9 分当 k当k1时， 3knnn3nn时， 3k33n15n ，此时 BC；nn3n2 3 为偶数；而 5 为奇数，此时BC；nn当k5 时， 3k5n ，此时 BC；-12 分当k2 时， 3n2 n5n ，发觉 n1 符合要求，5 / 13第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -下面证明唯独性（即只有n1 符合要求）；3 n2 nnnn由325 得()()155，f ( x)3 x2 x3 x2 x()()设55f (x)()()，就55为 R 上的减函数， f ( x)1 的解只有一个3 n2 n从而当且仅当 n()()1nn1 时55，即 325n ，此时 BC(1、5) ；当k4 时， 3n4 n5n ，发觉 n2 符合要求，下面同理可证明唯独性（即只有n2 符合要求）；3 n4 n从而当且仅当 n()()1nn2 时55，即 345n ，此时 BC(2、25)；综上，当 k1 ， k3或 k5 时， BC；当k2 时， BC(1、5) ，当k4 时， BC(2、25)；-16 分四.三个存在型变量- 不同的解题思路：这类问题的形式一般为，“为否存在不同的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”，不难看出，三个存在型变量均显现在下标，这就等于给定了两个隐含条件，其一，三个变量均为正整数，其二，三个变量互不相等；另外，一旦我们主动去分析数列的单调性，那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小次序；详细的，该类问题可以分成三类；其一，等差中找等比（无理有理找冲突）6 / 13第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 6.【扬州 2021三模】1a n +、24n为偶数 、已知数列 an满意：an =2an+12- a +1 、 n为奇数2、（nN * 、 aR、a为常数），数列 bn 中， bna22 n 1 ；求 a1 、 a2 、 a3 ；证明：数列 bn 求证：数列 bn 为等差数列；中存在三项构成等比数列时，a 为有理数；a2aa1aa111解：由已知12 ，得2 ，11a2a1a44，1a32a2a2a；4 分ba2aa12n2 2n122 n 1，11113bn 1a22n 2 12a22 n 1a22(a22n)a2a22 na12(a22n 1)a12a22 n 1a4242 bn 1bn1 ，又 b1a3a ，数列 bn 为首项为 a ，公差为 1 的等差数列；9分证明：由知bnan1 ，10 分2如三个不同的项ai 、 aj 、ak 成等比数列，i. j .k 为非负整数，且ijk ，2就 (ai)(aj )( ak) ，得a(ik2 j )jik ，12 分如ik2 j20 ，就 jik0 ，得i= j = k ，这与 ijk 冲突；14 分7 / 13第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -如ik2 ja0 ，就j 2ikik2 j ， i. j . k 为非负整数， a 为有理数；16 分例 7.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a112，S3932.(1)求数列 an 的通项 an 与前 n 项和 Sn；(2) 设 bnSnn (nN*) ，求证：数列 bn 中任意不同的三项都不行能成为等比数列(1)解：由已知得a121，3a13d932，d2，故 an2n 12， Sn n(n2)(2)证明：由 (1)得 bnSnn n2.bq假设数列 bn 中存在三项bp.bq.br(p.q.r 互不相等 )成等比数列，就2bp br即(q2)2 (p2)(r2)，(q2pr)(2qpr)20.p，q，rN* ，q2pr0，2qpr0，p r22 pr，(pr)20，pr.这与 pr 相冲突8 / 13第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -所以数列 bn 中任意不同的三项都不行能成为等比数列其二，等比中找等差（化简成整式，通过等式两边同除公比的最小次方，进而等式两边，一边为公比的倍数，另一边不为公比的倍数，冲突）；例 8.【无锡市 2021年秋学期高三期末考试】由部分自然数构成如图的数表，用aaiaij(ij ) 表示第 i 行第 j 个数（ i、*jN），使*i1ii，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和；设第n(nN)行中各数之和为bn ；（1） 求 b6 ；（2）用 bn 表示 bn 1；（3）试问：数列 bn 中为否存在不同的三项bp ， bq ， br （p、 q、 rN *）恰好成等差数列？如存在，求出p ， q ， r 的关系；如不存在，请说明理由；（ 1） b6942 分（2） bn 1a( n1)1a( n1)2.a(n1)( n 1)n1( an1an 2 ).(an (n1) ann )n12( an1an 2.ann )2= 2bn2 ；6 分（3） bn12bn2 ， bn122(bn2)8 分9 / 13第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -所以 bn2 为以b123 为首项， 2 为公比的等比数列，9 分b232n 1b3 2n 12.就nn11 分b b 、 b 、b ( p、 q、 rN * )如数列n中存在不同的三项pqr恰好成等差数列，不妨设 pqr ，明显 bn 为递增数列，就2bqbpbr12 分q 1p 1r 1即 22(322)(3 22)(322) ，化简得：2 2q r2p r1（*）14 分*由 于 p、q 、rN，且 pqr ， 知 qr 1， pr 2，所以（ *）式左边为偶数，右边为奇数， b b 、b 、 b ( p、 q、 rN * )故 数 列n中 不 存 在 不 同 的 三 项pqr恰 好 成 等 差 数列；16 分例 9.【2021 届江苏省海安高级中学.南京外国语学校.南京市金陵中学】已知数列 an 的通项公式为an =23n + 23n 1 ( nN ).求数列 an 的最大项； 设 bn =an + pan 2，试确定实常数p，使得 bn 为等比数列； 设 m、 n、 p*N 、 mnp ，问：数列 a 中为否存在三项a， a ， a ，使数列a， a， a 为nmnpmnp等差数列？假如存在，求出这三项；假如不存在，说明理由.解由题意an = 2 +4、随着 n 的增大而减小、所以 an 中的最大项为a1 = 4.4 分42 + 3n 1 + p3n 1(2 + p)(3n 1) + 4(2 + p)3n + (2 p)bn =4=3n 14=4，如 bn 为等比数列，就 b2n+1 bnbn +2= 0( nN) 所以(2 + p)3n+1 + ( 2 p) 2 2 +p)3n + (2 p)(2 + p)3n +2 + (2 p) =0(nN )，化简得 (4 p2)(2 3n+1 3n+2 3n ) = 0 即(4 p2) 3n4 = 0、 解得 p = 2.7 分反之 、当 p = 2 时、bn = 3n、 bn 为等比数列 ;当 p = 2 时、bn = 1、 bn 也为等比数列.所以 、当且仅当p = 2时 bn 为等比数列 .10 分由于 am243m1， an243n1， a p243 p1，如存在三项am ， an ， a p ，使数列am ，10 / 13第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -a， a为等差数列，就2aaa，所以2(24) = 2424，12npnmp分3n13m13 p1化简得 3n (23 p n3 p m1)13p m23n m （ * ），因 为 m、 n、 p*N 、 mnp ，所以 pmpn1， pmnm1 ，所 以 3p m3 p n 133 p n ， 3p m3n m 133n m ，（ * ）左边3n (23 p n33 p n1)3n (3p n1)0 ，右边133n m23n m13n m0 ，所以（ *）式不行能成立，故数列 an 中不存在三项am ，an ， ap ，使数列am ， a n ， ap 为等差数列 .16 分例 10.【无锡市 2021 一模】3a3an、 n1、2、已知数列ana1n 1的首项5 ，2an1（1）求证：数列11an为等比数列；S111n（2）记a1a2an ， 如 Sn100 ，求最大的正整数n （3）为否存在互不相等的正整数m、 s、 n ，使 m、 s、n 成等差数列， 且 am1、a s1、an1成等比数列，假如存在，请给出证明；假如不存在，请说明理由1211111解：（1）an 133an， an 13an3 ，2 分110且 a1，110(nanN * )，3 分数列11an为等比数列4 分1121 n 111 n（2）由（ 1）可求得an()33， an2()135 分11 / 13第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -S111n2( 111 )1133n 1n21n11n3naaa3323n112nn111003，7 分n如 Sn100 ，就3，nmax999 分（3）假设存在，就mn3n3n2 s、( am3m1) ( an1)( as 3s1)2，10 分a(1) (1)(1)2nn3n2 ，323m23s212 分mn化简得： 332 3s ，13 分m 33n23m n2 3s ，当且仅当 mn 时等号成立15 分又m、 n、 s 互不相等，不存在16 分其三，我们知道，既成等差又成等比的数列肯定为非零的常数数列，利用这个性质，一旦我们通过分析或者化简得到三个存在性变量（或者他们经过相同变换得到的三个数）既成等差又成等比，那么即可说明三者相等，而题干说了“互不相等”，从而找出冲突，说明不存在；例 11.【2021上海一联】设等比数列 an 的前 n 项和为Sn ，已知an 12Sn2(nN *)(1)求数列 a n的通项公式；(2)在 a n 与 an1之间插入 n 个数，使这 n2 个数组成公差为d n 的等差数列 (如：在a1 与 a2之间插入1 个数构成第一个等差数列，其公差为d1 ；在a2 与 a3 之间插入2 个数构成第二个等差数列，其公差为d 2 ，以此类推 )，设第 n 个等差数列的和为An . 为否存在一个关于 n 的多项式g (n) ，使得 Ang (n)dn对任意nN * 恒成立？如存在， 求出这个多项式；如不存在，请说明理由；(3)对于(2)中的数列d1， d2， d3， ， d n，这个数列中为否存在不同的三项d m， d k， d p (其中正整数m， k， p 成等差数列 )成等比数列，如存在，求12 / 13第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -aa qn 1a2S2(nN * )出这样的三项；如不存在，说明理由.解： (1)设n1，由n 1n知，2a1q a1q2a12(a12a1q)2，2分解得a12q3，n 1an2323n23n 143n 1(23n23n1)( n2)4分 (2)依题意，d nn1n1An；243n 14( n2)3n 1要使Ang (n )dn ，就4( n2)3n 1g ( n)n1，8分g (n)( n2)(n1)n23n2 ，即存在g (n)2n3n2 满意条件；10 分(3)对于(2)中的数列 dn，如存在不同的三项dm， dk， d p (其中正整数m， k， p 成等差数列 )243k 143m 143 p 12dd d()成 等比数 列， 就kmp ， 即k1m1p1 2kmp ， 2(1)211k1m1p1 ，即 kmp14 分由可得 mkp ，与 dm， dk， d p 为不同的三项冲突， 不存在不同的三项中正整数 m， k， p 成等差数列 )成等比数列 .16 分dm， d k， d p (其13 / 13第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -