2021年2021年不等式恒成立问题的基本类型及常用解法.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型 1：设 f(x)=ax+b f(x) 0 在 x m、 n上恒成立f (m)0f (n)0f(x) 0 在 x m、 n上恒成立f (m)0.f (n)02例1.设 y=(log 2x) +(t-2)log2x-t+1、如 t 在-2、2上变化， y 恒取正值，求实数x 的取值范畴；2解：设 f(t)=y=(log2x-1)t+(log2x) -2log 2 x+1，t -2、2问题转化为： f(t) 0 对 t -2、2恒成立f (2)0f (2)(log 20x) 24 log 2 x30(log 2x) 2100x1 或 x 8；2故实数 x 的取值范畴为（0，1 ）（ 8， +）；2例 2.对于-1 a 1、 求使不等式 (解：原不等式等价于x21x 2)2ax <(12 x)2a 1 恒成立的x 的取值范畴；+ax<2x+a-1 在 a -1、1上恒成立 .设 f(a)=(x-1)a+x 2-2x+1、 就 f(a) 为 a 的一次函数或常数函数， 要 使 f(a)>0 在 a -1、1上恒成立 、就须满意f (1)0x 2x0x>2 或 x<0f (1)0x 23x20故实数的取值范畴为(- 、0) (2、 + ).+bx+c ( a 0)类型 2：设 f(x)=ax 2f(x) 0 在 xR 上恒成立a 0且 0;f(x) 0 在 xR 上恒成立a 0且 0.说明： .只适用于一元二次不等式 .如未指明二次项系数不等于0，留意分类争论.例 3. 不等式2x 24 x 22mx 6 xm 1 对一切实数x 恒成立，求实数m的取值范畴；32解：由 4x +6x+3=(2x+ 3 ) 2+ 3 0、 对一切实数x 恒成立，从而，原不等式等价于24222x +2mx+m 4x +6x+3、 (x R)2即： 2x +(6-2m)x+(3-m) 0 对一切实数x 恒成立；2就 =（ 6-2m） -8(3-m) 0解得： 1m 3故实数 m的取值范畴为（1， 3）；第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -类型 3：设 f(x)=ax 2+bx+c ( a 0)（ 1）当 a 0 时 f(x) 0 在 xm、n上恒成立bmm2a或f (m)0bmbn2a或obnbn2af (n)02af (m)或 0 或02a.f ( n)0 f(x) 0 在 xm、n上恒成立f (m)0.f (n)0（ 2）当 a 0 时 f(x) 0 在 xm、n上恒成立f ( m)0f ( n)0 f(x) 0 在 xm、n上恒成立bmm2a或f (m)0bmbn2a或obnbn2af (n)02a f (m)或 0 或02a.f ( n)0说明：只适用于一元二次不等式.类型 4： af(x)恒成立对x D 恒成立a f(x) max ，af(x) 对 x D恒成立af(x) m in .说明： . f(x)可以为任意函数 .这种思路为：第一为-分别变量，其次用- 极端值原理；把问题转化为求函数的最值，如f(x)不存 在最值，可求出f(x) 的范畴，问题同样可以解出；2例 4.（ 2000.上海）已知f(x)= x2xa x2 0 在 x 1、上恒成立，求实数a 的取值范畴；分析 1：当 x 1、时， f(x) 0 恒成立，等价于x+2x+a 0 恒成立 、 只需求出第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -g(x)= x2+2x+a 在 1、上的最小值，使最小值大于0 即可求出实数a 的取值范畴；2解法 1：f(x)= x2xa x 0 对 x 1、恒成立x2+2x+a 0 对 x 1、恒成立；2设 g(x)= x+2x+ax 1、2问题转化为：g(x)m in 02g(x)= x+2x+a=(x+1)+a-1、 x 1、 g(x) 在 1、上为增函数； g(x)m in =g(1)=3+a3+a 0a -3即所求实数a 的取值范畴为a -3；分析 2 ：分别变量，转化为a f(x) 或 a f(x)恒成立问题，然后利用极端值原理：a f(x)恒成立a f(x) m axa f(x)恒成立a f(x) m in .x 2解法 2：f(x)=2xa x 0 对 x 1、恒成立2x +2x+a 0 对 x 1、恒成立；2a -（x +2x）对 x 1、恒成立；设(x)=-（ x 2+2x ） x 1、2问题转化为：a(x)m ax2(x)=-（x+2x ） =-(x+1)+1x 1、(x) 在 1、上为减函数；(x)max =(1)=-3 a -3xx2即所求实数a 的取值范畴为a -3；例 5.已知 x、1 时、 不等式 1+2 +(a-a).4 0 恒成立，求实数a 的取值范畴；第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -分析：要求a 的取值范畴，如何构造关于a 的不等式为关键，利用分别变量的方法可达到目的；解：设 2x=t、 x、1 、 t0、222原不等式可化为：a-a t1 .t要使上式对t0、2恒成立，只需：2a-a （t1 ） t 2m ax.t0、2t11=-(t 2t由 11 、t21 21) +24（t1 ） t 23m a =x -42 a-a - 34即： 4a2-4a-3 0从而 -1 a 322类型 5： .f(x) g(x) 对任意 x D 恒成立 . f (x1) g(x2) 对任意 x1.x 2 D 恒成立例 6 已知 f(x)=-x 3+ax、其中 a R，g(x)=-31 x 2 ，且 f(x)g(x) 在 x20、1上恒成立，求实数a 的取值范畴；分析：有的同学把“f(x)g(x) 在 x 0、1上恒成立”转化为： “当 x0、1时， f(x) m ax g（ x） m in 、”然后求出a 的取值范畴；这种方法对吗？121f(x)=-2x 21g(x)=-x+2我们先来看一个例子，如图，当x 0 ，1时， f(x)m ax=0 ， g（ x）min = -1 ，并不满意f(x)2m axg（ x）m in明显这种转化方式为不对的；错在哪里呢？缘由在于用分别变量方法得到的不等式一边为参数，另一边为x 的函数关系式；而此题解法中的不等式，两边都为关于x 的函数关系式，所以上面这种转化方式为错的；正确的方法为先分别变量，再利用极端值原理；解： f(x) g(x) 在 x0、1上恒成立第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -3-x +ax+31 x 22 0 对 x0、1恒成立2a x -11x 2 对 x20、1恒成立2设 h(x)= x-11 x 22x 0、1问题转化为：a h(x)min/h (x)=2x-1= 2x1. . 4x2x14x4x/由 h (x)=0 ，得 x= 14当 x 0、 14时h (x) 0， h(x) 在0 、 14递减；当 x 1、1时41h (x) 0，h(x) 在、141递减；3 h(x)在 x=4 时取最小值，h(x)m in =16 a316232例 7. 已知两个函数 f(x)=8x+16x-k、g(x)=2x+5x +4x、 其中 kR（1） ） 如对任意的 x-3、3、都有 f(x)g(x) 成立，求 k 的取值范畴；（2） ） 如对任意的 x 1 、 x2-3、3、都有 f(x1 )g(x 2 ) ，求 k 的取值范畴；方法： .“f(x) g(x)对任意 x D恒成立”可通过分别变量，极端值原理可求得； .“ f (x1) g(x2)对任意 x1.x2D恒成立”f(x) m ing ( x) max第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -y6、 、% 6