全国通用2016版高考数学考前三个月复习冲刺专题7第31练双曲线的渐近线和离心率问题理.doc

第31练双曲线的渐近线和离心率问题题型分析·高考展望双曲线作为三种圆锥曲线之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在选择题、填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.常考题型精析题型一双曲线的渐近线问题例1(1)(2015·重庆)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A.± B.±C.±1 D.±(2)(2014·江西)如图，已知双曲线C：y21(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点).求双曲线C的方程；过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.点评(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y±x±00，所以可以把标准方程1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程：yx，可设双曲线方程为 (0)，求出即得双曲线方程.变式训练1(2014·山东)已知a>b>0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A.x±y0 B.x±y0C.x±2y0 D.2x±y0题型二双曲线的离心率问题例2(1)(2015·湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A.对任意的a，b，e1>e2B.当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2C.对任意的a，b，e1<e2D.当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2(2)已知O为坐标原点，双曲线1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若()·0，则双曲线的离心率e为()A.2 B.3C. D.点评在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题.变式训练2(2014·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3、F4，离心率为e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题例3(2014·福建)已知双曲线E：1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.点评解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练3(2014·浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_.高考题型精练1.(2015·课标全国)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.2.(2014·广东)若实数k满足0<k<9，则曲线1与曲线1的()A.焦距相等 B.实半轴长相等C.虚半轴长相等 D.离心率相等3.已知双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.14.以椭圆1的右焦点为圆心，且与双曲线1的渐近线相切的圆的方程是()A.x2y210x90 B.x2y210x90C.x2y210x90 D.x2y210x905.已知双曲线1(a>0，b>0)以及双曲线1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线1的离心率为()A.2或 B.或C.2或 D.或6.已知双曲线C：1 (a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为()A. B. C.2 D.37.已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_.8.已知双曲线C的中心在原点，且左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心率为_.9.已知F1，F2分别是双曲线1 (a>0，b>0)的左，右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是_.10.过双曲线1 (a>0，b>0)的左焦点F作圆x2y2a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若()，则双曲线的离心率是_.11.已知双曲线1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求AOB的面积.12.(2015·威海模拟)已知双曲线1 (a>0，b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率.答案精析第31练双曲线的渐近线和离心率问题常考题型精析例1C 双曲线1的右焦点F(c,0)，左，右顶点分别为A1(a，0)，A2(a,0)，易求B，C，则kA2C，kA1B，又A1B与A2C垂直，则有kA1B·kA2C1，即·1，1，a2b2，即ab，渐近线斜率k±±1.(2)解设F(c,0)，因为b1，所以c，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，解得B(，).又直线OA的方程为yx，则A(c，)，kAB.又因为ABOB，所以·()1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.由知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y.因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点为M(2，)；直线l与直线x的交点为N(，).则·.因为P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得··，即所求定值为.变式训练1A 由题意知e1，e2，e1·e2·.又a2b2c，ca2b2，ca2b2，1()4，即1()4，解得±，.令0，解得bx±ay0，x±y0.例2(1)D(2)C解析(1)由题意e1 ；双曲线C2的实半轴长为am，虚半轴长为bm，离心率e2 .因为，且a>0，b>0，m>0，ab，所以当a>b时，>0，即>.又>0，>0，所以由不等式的性质依次可得2>2,12>12，所以>，即e2>e1；同理，当a<b时，<0，可推得e2<e1.综上，当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2.(2)如图，设OF的中点为T，由()·0可知ATOF，又A在以OF为直径的圆上，A，又A在直线yx上，ab，e.变式训练2解(1)因为e1e2，所以 ·，即a4b4a4，因此a22b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)，于是bb|F2F4|1，所以b1，a22.故C1，C2的方程分别为y21，y21.(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(1,0)，故可设直线AB的方程为xmy1.由得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中点为M(，)，故直线PQ的斜率为，PQ的方程为yx.由得(2m2)x24，所以2m2>0，且x2，y2，从而|PQ|22.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.因为点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)<0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又因为|y1y2|，所以2d.故四边形APBQ的面积S|PQ|·2d2·.而0<2m22，故当m0时，S取得最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.例3解(1)因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)方法一由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a.又因为OAB的面积为8，所以|OC|·|AB|8，因此a·4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：1也满足条件.设直线l的方程为ykxm，依题意，得k>2或k<2，则C(，0).记A(x1，y1)，B(x2，y2).由得y1，同理，得y2.由SOAB|OC|·|y1y2|，得|·|8，即m24|4k2|4(k24).由得(4k2)x22kmxm2160.因为4k2<0，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216).又因为m24(k24)，所以0，即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.方法二由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2).依题意得<m<.由得y1，同理，得y2.设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0).由SOAB|OC|·|y1y2|8，得|t|·8.所以t24|14m2|4(14m2).由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因为4m21<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当64m2t216(4m21)(t2a2)0，即4m2a2t2a20，即4m2a24(14m2)a20，即(14m2)(a24)0，所以a24，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.变式训练3解析双曲线1的渐近线方程为y±x.由得A(，)，由得B(，)，所以AB的中点C的坐标为(，).设直线l：x3ym0(m0)，因为|PA|PB|，所以PCl，所以kPC3，化简得a24b2.在双曲线中，c2a2b25b2，所以e.高考题型精练1.A 由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0).·<0，(x0)(x0)y<0，即x3y<0.点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y<0，<y0<.故选A.2.A 因为0<k<9，所以两条曲线都表示双曲线.双曲线1的实半轴长为5，虚半轴长为，焦距为22，离心率为.双曲线1的实半轴长为，虚半轴长为3，焦距为22，离心率为，故两曲线只有焦距相等.故选A.3.A 双曲线1的渐近线方程为y±x，圆C的标准方程为(x3)2y24，圆心为C(3,0).又渐近线方程与圆C相切，即直线bxay0与圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.4.A 由于右焦点(5,0)到渐近线4x3y0的距离d4，所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆.即圆的方程为x2y210x90.5.A 由题意，可知双曲线1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则或.则e 或2，故选A.6.A 取双曲线的渐近线yx，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y(xc)，可解得点H的坐标为，则F2H的中点M的坐标为，代入双曲线方程1可得1，整理得c22a2，即可得e，故应选A.7.x21解析由y28x,2p8，p4，其准线方程为x2，即双曲线的左焦点为(2,0)，c2，又e2，a1，b2c2a23，故双曲线的方程为x21.8.1解析设以F1F2为底边的正三角形与双曲线C的右支交于点M，则在RtMF1F2中，可得|F1F2|2c，|MF1|c，|MF2|c，由双曲线的定义有|MF1|MF2|2a，即cc2a，所以双曲线C的离心率e1.9.(2，)解析双曲线1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y±x，设直线方程为y(xc)，与yx联立求得M，因为M在圆外，所以满足·>0，可得c22>0，解得e>2.10.解析设双曲线的右焦点为F1，连接PF1.由()知，E是FP的中点.又O是FF1的中点，OEPF1，且|OE|PF1|，易知OEFP，PF1FP，|PF|2|PF1|2|FF1|2，|PF1|a，|PF|2a|PF1|3a，9a2a2(2c)2，.11.解(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y±2x，设A(m,2m)，B(n,2n)，其中m>0，n>0，由得点P的坐标为.将点P的坐标代入x21，整理得mn1.设AOB2，tan2，则tan ，从而sin 2.又|OA|m，|OB|n，SAOB|OA|OB|sin 22mn2.12.解(1)双曲线的渐近线为y±x，ab，c2a2b22a24，a2b22，双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO的斜率满足·()1，x0y0.依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，x0c，点A的坐标为，代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2.又a2b2c2，将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0.e>1，e，双曲线的离心率为.16