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第三章组合逻辑电路本讲稿第一页，共六十四页 第三章 组合逻辑电路的分析与设计 一、逻辑代数 二、逻辑函数的卡诺图化简法 三、组合逻辑电路的分析 四、组合逻辑电路的设计 五、组合逻辑电路中的竞争冒险（自学）本讲稿第二页，共六十四页 一、逻辑代数endend1、逻辑代数的基本定律和恒等式2、逻辑代数的基本规则（定理）3、逻辑函数的代数变换与化简法本讲稿第三页，共六十四页（1）基本定律 （2）常用恒等式 0-1律 重叠律 还原律 互补律 结合律 交换律 分配律 反演律（摩根定律）吸收律证明，见P91，大家自己看本讲稿第四页，共六十四页0-1律：A+0=A A0=0 A+1=1 A1=A注意：逻辑代数中的0和1与普通代数是有区别的，前面已经讲过，不再赘述。为了方便大家理解，我们不妨借鉴概率论中的文氏图来表达。空集代表逻辑0，而全集代表逻辑1。逻辑与相当于求各集合的交集，逻辑或相当于求各集合的并集，而逻辑非则相当于求集合的补集。若要证明，通常最有效的方法是利用真值表。（定律不需要证明）A本讲稿第五页，共六十四页重叠律：A+A=A AA=AA注意：A+A=2A AA=A2本讲稿第六页，共六十四页还原律：A本讲稿第七页，共六十四页互补律：A本讲稿第八页，共六十四页结合律：（A+B）+C=A+（B+C）(AB)C=A(BC)交换律：A+B=B+A AB=BA分配律：A(B+C)AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)这一组定律大多与普通代数的定律相同，基本上也不会搞错，就有一个，如上红色定律公式比较难以理解。我们不妨倒过来证明。重叠律0-1律、分配律公式1倒过来用0-1律本讲稿第九页，共六十四页反演律（摩根定律）：这个定律经常用于求反函数和逻辑函数的变换。一定要记熟一定要记熟。我们不妨用真值表来证明，见P91，以两变量为例。0 0 0 1 1 0 1 111100100本讲稿第十页，共六十四页吸收律：公式1、2、4比较容易理解，不再赘述。我们证明一下公式3。公式4就是分配律的公式2。分配律公式2用真值表法证明，也是可靠、可行的，请大家自己做。本讲稿第十一页，共六十四页 、代入规则（定理）、反演规则（定理）、对偶规则（定理）本讲稿第十二页，共六十四页在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的某一变量，都用同一个函数（或者变量）代替，则等式仍然成立，这就是代入定理。如：吸收律公式3注意：必须等式两边同时代换，才能成立。本讲稿第十三页，共六十四页根据摩根定律，求一个函数的反函数时，将原函数中的与换成或，或换成与，原变量换成反变量，反变量换成原变量，0换成1，1换成0，所得的函数式就是原函数的反函数。例如：函数 的反函数是：注意：保持原有运算顺序。反变量以外的非号（即非号包含两个以上的变量时）保持不变。再如：函数 的反函数是：本讲稿第十四页，共六十四页求一个函数的对偶函数时，将原函数中的与换成或，或换成与，0换成1，1换成0，所得的函数式就是原函数的对偶函数，记做L。例如：函数 的对偶函数是：注意：保持原有运算顺序。反变量以外的非号（即非号包含两个以上的变量时）保持不变。与反演规则区别：变量不用变再如：函数 的对偶函数是：求对偶函数的意义：某逻辑等式成立时，其对偶式也成立。因此，如果某一等式不方便证明时，可以先证明其对偶式成立，再根据对偶定理说明原等式成立。本讲稿第十五页，共六十四页例如：证明吸收律公式3。证明：令原方程为L1L2首先分别求出L1、L2的对偶函数。L1=L2L1=L2命题得证本讲稿第十六页，共六十四页（1）、逻辑函数的变换（2）、逻辑函数的化简本讲稿第十七页，共六十四页同一个逻辑函数可以有多种表达形式，比如：两个问题：1、逻辑函数的变换可以通过定律、定理等公式进行。2、各种实现方案之中存在有难易、优劣等差别。本讲稿第十八页，共六十四页逻辑函数变换的目的：1、尽可能简化电路、节约成本。2、在条件不成熟时，使用替代电路完成任务。如：如果实验室中只有与非门，如何实现LAB+AC P120 3.1.7a注意：我们没有与门、没有或门，所以这个电路无法这样制造。考虑到要用到非关系，我们可以使用还原律，变换。如下：上面一个非号不变，下面一个非号利用摩根定律展开。这时，所有的关系都是“与非”了，可以焊接完成了！本讲稿第十九页，共六十四页可见，逻辑函数的变换，通常是利用还原律、摩根定律等。如果要求用或非门实现该电路，又应该怎么做呢？如果要求用或非门实现该电路，又应该怎么做呢？如果要求用或非门实现该电路，又应该怎么做呢？如果要求用或非门实现该电路，又应该怎么做呢？本讲稿第二十页，共六十四页我们要求大家将逻辑代数的公式一定要记熟记熟。本讲稿第二十一页，共六十四页（2）逻辑函数的化简一个逻辑函数可以有多种表达形式，但是最简单的形式往往只有一到两个，那么最简表达式的形式究竟是什么呢？常用的逻辑函数表达形式与-或式、或-与式、与非-与非式、或非-或非式和与-或-非式。见P94本讲稿第二十二页，共六十四页该等式的其它形式的变换过程此处不一一证明大家自己回家变换一下本讲稿第二十三页，共六十四页下面重点讨论与或式，该形式最容易获得，而且只需要利用一次摩根定律就可以变形成为与非与非式，从而比较容易用与非门实现但是，并不是所有的与或式都是最简的，因此有：最简与或式特点：1）与项（乘积项）的个数最少。（“+”越少越好）2）每个乘积项中变量的个数最少。也就是说，当逻辑函数式中相加的乘积项不能再减少，而且每项中相乘的因子不能再减少时，函数式为最简与或式。利用逻辑代数定律、定理化简逻辑函数的方法（公式法化简）1）并项法（合并同类项）2）吸收法 3）消去法（吸收律、互补律）4）配项法 正确利用此法的前提记熟公式。本讲稿第二十四页，共六十四页公式法化简：P94例题请自己推倒。本讲稿第二十五页，共六十四页二、卡诺图法化简（美国工程师Karnaugh发明）最小项：在n变量的逻辑函数中，一个包含n个因子的与项，每个变量均以原变量形式或以反变量形式在乘积项中出现，且仅出现一次，则该与项称为最小项。n变量逻辑函数有2n个最小项，如：三变量（A、B、C）逻辑函数的最小项有8个，它们是：而下面的与项则不是三变量逻辑函数的最小项：最小项记做mi，输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值为1，例如：当A=1、B=0、C=0时，最小项 我们将ABC的取值看作二进制数100，对应的十进制数是4，记做最小项的下标i即m4。上面的最小项依次为m0m7。本讲稿第二十六页，共六十四页同一逻辑函数最小项的性质：*在输入变量的任何取值下有且仅有一个最小项的值为1,其余为0。*全体最小项的和为1。*任意两个最小项的积为0。*具有相邻性的两个最小项可以合并成一项，并消除一个变量。*具有相邻性的四个最小项可以合并成一项，并消除两个变量。*具有相邻性的八个最小项可以合并成一项，并消除三个变量任一逻辑函数均可以由最小项之和的形式来表示，称为最小项表达式。最小项表达式是唯一的最小项表达式是唯一的，变换的方法，常采用配项法，如P97 本讲稿第二十七页，共六十四页本讲稿第二十八页，共六十四页本讲稿第二十九页，共六十四页全体最小项的和为1，利用互补律有：本讲稿第三十页，共六十四页用卡诺图表示逻辑函数的方法：卡诺图的结构请务必记熟最小项以及各变量所在的位置。请务必记熟最小项以及各变量所在的位置。本讲稿第三十一页，共六十四页卡诺图化简的方法：根据真值表或逻辑表达式填卡诺图。根据真值表：真值表的每一行即代表一个最小项。输出为1的行，其最小项对应方格填1；输出为0的行，其最小项对应方格填0或不填。例如下面的真值表：A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1最小项m0m7的值分别为：0、0、0、1、0、1、1、1则：本讲稿第三十二页，共六十四页用卡诺图表示为：最小项m0m7的值分别为：0、0、0、1、0、1、1、1则：00101110本讲稿第三十三页，共六十四页根据表达式：1、将表达式变换成为最小项表达式，最小项展开式中出现的最小项，相应的方格填1；未出现的最小项，相应方格填0（或不填）。例如 则相应的卡诺图为：我们已经知道：1111本讲稿第三十四页，共六十四页根据表达式：2、每一个与项表示单个变量作用范围的公共部分，在公共的方格内填1即可，不要重复填。例如 则相应的卡诺图为：11111111111本讲稿第三十五页，共六十四页最小项合并合并原则：*几何上相邻的2n个方格若可以拼接成矩形（长方形或正方形），才能合并（称为逻辑相邻），否则不能合并。*最上面一行和最下面一行是逻辑相邻的。同样，最左边一列和最右边一列是逻辑相邻的。合并方法：首先，找出尽可能多的逻辑相邻的1，做一个圈。每增加一个新圈，必须包含至少一个未圈过的1，但每个1均可被圈多次。圈的总数应尽可能少。其次，每一个圈用一个与项描述。即观察该圈是哪几个（1个）变量的公共部分。本讲稿第三十六页，共六十四页例解：填卡诺图如下：1111做圈：写表达式：Y=B本讲稿第三十七页，共六十四页解：填卡诺图如下：做圈写表达式：1111本讲稿第三十八页，共六十四页解：填卡诺图如下：111111111做圈：写表达式：本讲稿第三十九页，共六十四页解：填卡诺图如下：111111111111111做圈：写表达式：Y=A+B+C+D本讲稿第四十页，共六十四页解2：由于卡诺图中为0的方格较少，不妨将卡诺图取反，可得：111111111111111因此可得：方程两边同时取反，得：Y=A+B+C+D本讲稿第四十一页，共六十四页这方面的例题、作业题很多，请大家务必认真学习，切实掌握，并能够熟练运用。思考：解答本讲稿第四十二页，共六十四页三、组合逻辑电路的分析步骤：1、根据逻辑图写出各逻辑门输出端的逻辑表达式，对于中间变量 最好在写出表达式的同时化简，以免积累到最后。2、化简总输出端的逻辑表达式。3、列出真值表（当然比较简单的表达式这一步可以省略）4、用文字描述其功能。本讲稿第四十三页，共六十四页三、逻辑电路的分析：例：如图电路，分析其功能为了方便，我们给所有的门编个号，相应的输出用门的编号作为下标，然后每经过一个门就写出它的表达式，直至最后的输出端。由于表达式简单，故不列真值表也可以得出其功能，功能为：A,B的比较电路，两者相同时输出为0，否则为1本讲稿第四十四页，共六十四页再如：本讲稿第四十五页，共六十四页四、逻辑电路的设计：步骤：根据设计要求确定输入输出变量，并规定其逻辑值的含义。根据设计要求列真值表。利用公式法或卡诺图化简，求出最简逻辑函数表达式。根据表达式绘制逻辑电路图。例P108 3.4.1 本讲稿第四十六页，共六十四页 例：某水塔使用两台水泵例：某水塔使用两台水泵P P、QQ供水，水泵工作时用供水，水泵工作时用1 1表示，否则表示，否则为为0 0。水塔内有三个水位探测器。水塔内有三个水位探测器A A、B B和和C C，当水位超过某一探测器，当水位超过某一探测器时，该探测器输出为时，该探测器输出为1 1，否则为，否则为0 0。控制原理：控制原理：当水位超过当水位超过A A时，时，P P、QQ均不工作；均不工作；当水位超过当水位超过B B、C C，而低于，而低于A A时，只有时，只有P P工作；工作；当水位超过当水位超过C C，而低于，而低于A A、B B时，只有时，只有QQ工作；工作；当水位低于当水位低于C C时，时，P P、QQ均工作。均工作。设计设计P P、QQ的控制电路。的控制电路。本讲稿第四十七页，共六十四页水位高于水位高于A A点点时，两个水泵时，两个水泵均不工作。均不工作。本讲稿第四十八页，共六十四页水位低于水位低于A A点点而高于而高于B B点点时，小水泵时，小水泵P P单独工作。单独工作。本讲稿第四十九页，共六十四页水位低于水位低于B B点点而高于而高于C C点点时，大水泵时，大水泵Q Q单独工作。单独工作。本讲稿第五十页，共六十四页水位低于水位低于C C点点时，两个水泵时，两个水泵同时工作。同时工作。本讲稿第五十一页，共六十四页解：设计要求中已经规定了输入输出变量及其逻辑值的含义，不必重复，列真值表如下。A B C P Q0101010101010101010101XXXXXXXX0000011111水位低于A、B、C时，P、Q同时工作。水位低于A、B而高于C时，只有Q工作。水位低于C却高于B，不可能出现，打叉。分别作P和Q的卡诺图并化简，得：1X01XXX0卡诺图中的X，在化简时既可以看作0，也可以看作1，视情形确定。11XX0XX0化简可得：本讲稿第五十二页，共六十四页作逻辑图如下：本讲稿第五十三页，共六十四页无关项：P104 当逻辑函数的输入变量的某些组合不可能出现，或者当这些组合对电路的输出没有任何影响时，我们把它们称为无关项（或约束项、任意项）。填写真值表或卡诺图时无关项用X或表示，在最小项表达式中用d或表示。无关项的化简，则视情形，既可以当0用，也可以当1用。但是，原则只有一个，一定要能够简化表达式。本讲稿第五十四页，共六十四页填卡诺图：1111111XXX该无关项当作0化简得：关于带有无关项逻辑函数化简的例题：本讲稿第五十五页，共六十四页再来看P108的例3.4.1。列出其完整的真值表如下：I0 I1 I2 L0 L1 L20 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 0 00 0 10 1 01 0 01 0 01 0 01 0 0作卡诺图并化简0 1 01111111剩下的问题就是等效变换和作图了。本讲稿第五十六页，共六十四页因为要做乘法，所以首先将F和G各自化为最简，再乘开，最后再将相乘的结果化简即可。1111111111111111本讲稿第五十七页，共六十四页1111做圈并化简为：1本讲稿第五十八页，共六十四页我们更习惯做加法，如何变乘为加呢？当然是摩根定律！所以，我们先求出F和G的反函数，再做加法，然后取反，即得L本讲稿第五十九页，共六十四页1111111111111111做圈并化简得：本讲稿第六十页，共六十四页1111在L反函数的卡诺图中圈0并化简即得L的最简表达式：1111111本讲稿第六十一页，共六十四页11111111我们知道求与实际上是求若干集合的交集，所以，我们只要分别得出这些集合的卡诺图，找到它们的公共方格，就是它们的交集了。11111111本讲稿第六十二页，共六十四页1111做圈并化简为：1对于求多个函数之间的逻辑关系，最方便的就是这个方法。实际上就是将相应方格的逻辑值按待求的逻辑关系运算即可。本讲稿第六十三页，共六十四页再如：我们前面讨论的分别做出三者的卡诺图，并找到它们的公共格，化简即可。111111111111111111111111本讲稿第六十四页，共六十四页