多元随机变量及其分布 (2)课件.ppt
关于多元随机变量及其分布(2)1现在学习的是第1页，共125页二元随机变量二元随机变量 例例1 1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高高H H的分布或仅研究体重的分布或仅研究体重W W的分布是不够的。需要的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。间的两个随机变量。问题的提出问题的提出现在学习的是第2页，共125页3例例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。现在学习的是第3页，共125页定义：定义：设设E E是一个随机试验，样本空间是一个随机试验，样本空间S=eS=e；设；设X=X(e)X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在是定义在S S上的随机变量，由它们构成的向上的随机变量，由它们构成的向量量(X,Y)(X,Y)叫做叫做二元随机变量二元随机变量或或二维随机变量二维随机变量。Se现在学习的是第4页，共125页1 1 二元离散型随机变量二元离散型随机变量定义：若二元随机变量定义：若二元随机变量(X,Y)(X,Y)全部可能取到的不同全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)(X,Y)是离散型随是离散型随机变量。机变量。（一）联合概率分布（一）联合概率分布现在学习的是第5页，共125页6y1y2yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij为二元离散型随机变量为二元离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率分布律。可以用如的联合概率分布律。可以用如右表格表示：右表格表示：离散型随机变量的离散型随机变量的联合概率分布律联合概率分布律：现在学习的是第6页，共125页分布律的性质现在学习的是第7页，共125页8例例1：设随机变量：设随机变量X X在在1 1、2 2、3 3、4 4四个整数四个整数中等可能地取中等可能地取 一个值，另一个随机变量一个值，另一个随机变量Y Y在在1 1X X中等可能地取一中等可能地取一 整数值，试求整数值，试求(X,Y)(X,Y)的联合概率分布。的联合概率分布。现在学习的是第8页，共125页9 解：解：(X=i,Y=j)(X=i,Y=j)的取值情况为：的取值情况为：i=1,2,3,4i=1,2,3,4；j j取不大于取不大于i i的正整数。的正整数。现在学习的是第9页，共125页10YX12344000120300即即(X,Y)(X,Y)的联合概率分布为：的联合概率分布为：现在学习的是第10页，共125页现在学习的是第11页，共125页12现在学习的是第12页，共125页13对于离散型随机变量对于离散型随机变量(X,Y)(X,Y)，分布律为分布律为X,Y的边际（边缘）分布律边际（边缘）分布律为：（二）边际分布（二）边际分布现在学习的是第13页，共125页p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1注意：注意：现在学习的是第14页，共125页现在学习的是第15页，共125页16X0210.050.800.15p 0 1 0120.76 0.040.1125 0.03750.015 0.035 0.800.150.050.8875 0.11251现在学习的是第16页，共125页17现在学习的是第17页，共125页（三）条件分布（三）条件分布现在学习的是第18页，共125页19由条件概率公式可得：当i取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。现在学习的是第19页，共125页 定义：设定义：设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,对于对于固定的固定的 ，现在学习的是第20页，共125页21同样，对于固定的 ，现在学习的是第21页，共125页求：求：(1)a,b的值；的值；(2)X=2条件下条件下Y的条件分布律；的条件分布律；(3)X+Y=2条件下条件下X的条件分布律。的条件分布律。YX-1 1 0 0.2 a0.2120.1 0.1 b例4：(X,Y)的联合分布律为现在学习的是第22页，共125页23解：(1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4现在学习的是第23页，共125页24现在学习的是第24页，共125页例6：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。现在学习的是第25页，共125页26解：解：现在学习的是第26页，共125页27现在学习的是第27页，共125页现在学习的是第28页，共125页29现在学习的是第29页，共125页0称为称为二元随机变量二元随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数。2 2 二元随机变量的分布函数二元随机变量的分布函数（一）（一）分布函数分布函数定义：设定义：设(X,Y)是二元随机变量是二元随机变量,对于任意实数对于任意实数x,y，二元函数，二元函数现在学习的是第30页，共125页分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)现在学习的是第31页，共125页x2y1x1y2现在学习的是第32页，共125页二元随机变量二元随机变量(X,Y)(X,Y)作为整体，有分布函数作为整体，有分布函数 其中其中X X和和Y Y都是随机变量，它们的分布函数都是随机变量，它们的分布函数,记为：记为：称为称为边际分布函数。边际分布函数。（二）（二）边际（边缘）边际（边缘）分布函数分布函数现在学习的是第33页，共125页34事实上，事实上，现在学习的是第34页，共125页 定义：条件分布函数定义：条件分布函数（三）（三）条件条件分布函数分布函数现在学习的是第35页，共125页36现在学习的是第36页，共125页3 二元连续型随机变量（一）（一）联合概率密度联合概率密度现在学习的是第37页，共125页现在学习的是第38页，共125页39现在学习的是第39页，共125页例例1：设二元随机变量：设二元随机变量(X,Y)(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：现在学习的是第40页，共125页41现在学习的是第41页，共125页现在学习的是第42页，共125页43现在学习的是第43页，共125页对于对于连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)，概率密度为，概率密度为（二）（二）边际（边缘）概率密度边际（边缘）概率密度X,Y的边际概率密度为的边际概率密度为：对于对于连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)，概率密度为，概率密度为现在学习的是第44页，共125页45事实上，事实上，同理：同理：现在学习的是第45页，共125页 例例3：设二维随机变量：设二维随机变量(X,Y)的联的联合概率密度为合概率密度为 现在学习的是第46页，共125页47现在学习的是第47页，共125页 定义：条件概率密度定义：条件概率密度（三）（三）条件概率密度条件概率密度现在学习的是第48页，共125页49现在学习的是第49页，共125页 现在学习的是第50页，共125页51现在学习的是第51页，共125页例例4：设有一件工作需要甲乙两人接力完成，：设有一件工作需要甲乙两人接力完成，完成时间不能超过完成时间不能超过30分钟。设甲先干了分钟。设甲先干了X分钟，分钟，再由乙完成，加起来共用再由乙完成，加起来共用Y分钟。若分钟。若XU(0,30)，在，在X=x条件下，条件下，YU(x,30)。(1)求求(X,Y)的联合概率密度以及条件概率密度的联合概率密度以及条件概率密度 ；(2)当已知两人共花了当已知两人共花了25分钟完成工作时，求甲的分钟完成工作时，求甲的工作时间不超过工作时间不超过10分钟的概率。分钟的概率。现在学习的是第52页，共125页53现在学习的是第53页，共125页54现在学习的是第54页，共125页55现在学习的是第55页，共125页二元均匀分布与二元正态分布二元均匀分布与二元正态分布（1）若二元随机变量）若二元随机变量(X,Y)在二维有界区域在二维有界区域D上取上取值，且具有概率密度值，且具有概率密度则称则称(X,Y)(X,Y)在在D D上服从上服从均匀分布均匀分布。现在学习的是第56页，共125页57现在学习的是第57页，共125页例例5 5：设二元随机变量：设二元随机变量(X,Y)(X,Y)在区域在区域 内均匀分布，求条件概率密度内均匀分布，求条件概率密度现在学习的是第58页，共125页59解：解：根据题意，根据题意，(X,Y)(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：Y Y的边际概率密度为：的边际概率密度为：现在学习的是第59页，共125页60于是给定于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：的条件概率密度为：二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布现在学习的是第60页，共125页现在学习的是第61页，共125页现在学习的是第62页，共125页现在学习的是第63页，共125页现在学习的是第64页，共125页现在学习的是第65页，共125页66现在学习的是第66页，共125页67现在学习的是第67页，共125页现在学习的是第68页，共125页694 随机变量的独立性现在学习的是第69页，共125页现在学习的是第70页，共125页 例例1 1：33例例1 1中中X X和和Y Y是否相互独立？即是否相互独立？即(X,Y)(X,Y)具具有概率密度有概率密度现在学习的是第71页，共125页72解：计算得，解：计算得，X X和和Y Y的边际概率密度分别为：的边际概率密度分别为：现在学习的是第72页，共125页73 请问：连续型随机变量请问：连续型随机变量X,YX,Y相互独立，其密度函相互独立，其密度函数有何特征？数有何特征？现在学习的是第73页，共125页XY01P(X=j)12P(Y=i)现在学习的是第74页，共125页75XY01P(X=j)12P(Y=i)现在学习的是第75页，共125页现在学习的是第76页，共125页现在学习的是第77页，共125页78现在学习的是第78页，共125页现在学习的是第79页，共125页现在学习的是第80页，共125页81现在学习的是第81页，共125页一般一般n n元随机变量的一些概念和结果元随机变量的一些概念和结果 现在学习的是第82页，共125页 现在学习的是第83页，共125页 边际分布边际分布现在学习的是第84页，共125页85 现在学习的是第85页，共125页86相互独立相互独立现在学习的是第86页，共125页 现在学习的是第87页，共125页 定理1：定理2：现在学习的是第88页，共125页895 5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布现在学习的是第89页，共125页现在学习的是第90页，共125页现在学习的是第91页，共125页92现在学习的是第92页，共125页现在学习的是第93页，共125页94现在学习的是第94页，共125页现在学习的是第95页，共125页96现在学习的是第96页，共125页现在学习的是第97页，共125页98现在学习的是第98页，共125页现在学习的是第99页，共125页100现在学习的是第100页，共125页例例4 4：设：设X X和和Y Y是相互独立的标准正态随机变量，求是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。的概率密度。现在学习的是第101页，共125页102解：由卷积公式：解：由卷积公式：现在学习的是第102页，共125页103一般：设一般：设X,YX,Y相互独立，相互独立，现在学习的是第103页，共125页 例例5 5：X,YX,Y相互独立，同时服从相互独立，同时服从0,10,1上的均匀分上的均匀分布，求布，求 的概率密度。的概率密度。现在学习的是第104页，共125页105xx=zz120 x=z-1 1解：根据卷积公式：解：根据卷积公式：易知仅当易知仅当参考图得：参考图得：现在学习的是第105页，共125页例例6 6：设随机变量（：设随机变量（X,YX,Y）的联合概率密度为）的联合概率密度为记记Z=X+Y，求，求Z的概率密度。的概率密度。现在学习的是第106页，共125页107x x=z x=z/20 1 2 z参考图得：参考图得：现在学习的是第107页，共125页例例7：某人一天做两份工作，一份工作的酬金：某人一天做两份工作，一份工作的酬金X为为10元、元、20元、元、30元的概率各为元的概率各为1/3,另一份工作的另一份工作的酬金酬金YN(15,4).设设X,Y相互独立，记一天的酬金相互独立，记一天的酬金总数为总数为Z，Z=X+Y。求。求(1)Z的概率密度；的概率密度；(2)求一天酬金多于求一天酬金多于30元的概率。元的概率。现在学习的是第108页，共125页109解解:(:(1)1)先求先求Z Z的分布函数，利用全概率公式的分布函数，利用全概率公式现在学习的是第109页，共125页110现在学习的是第110页，共125页现在学习的是第111页，共125页112现在学习的是第112页，共125页 设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：则：推广到推广到n个相互独立的随机变量的情况个相互独立的随机变量的情况现在学习的是第113页，共125页114现在学习的是第114页，共125页现在学习的是第115页，共125页116现在学习的是第116页，共125页117现在学习的是第117页，共125页例例9 9：设系统：设系统L L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L L1 1,L,L2 2联结而成，联结而成，联结的方式分别为：联结的方式分别为：(1)(1)串联；串联；(2)(2)并联；并联；(3)(3)备用备用(当系当系统统L L1 1损坏时，系统损坏时，系统L L2 2开始工作开始工作)。如图，设。如图，设L L1 1,L,L2 2的寿命分别的寿命分别为为X,YX,Y，已知它们的概率密度分别为：，已知它们的概率密度分别为：现在学习的是第118页，共125页119试分别就以上三种联结方式写出试分别就以上三种联结方式写出L的寿命的寿命Z的概的概率密度。率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L1现在学习的是第119页，共125页(1)串联的情况串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)；而X,Y的分布函数分别为：L1L2现在学习的是第120页，共125页121故故Z Z的分布函数为：的分布函数为：即即Z Z仍服从指数分布仍服从指数分布Z的概率密度为：的概率密度为：现在学习的是第121页，共125页(2)(2)并联的情况并联的情况 由于当且仅当由于当且仅当L L1 1,L,L2 2都损坏时，系统都损坏时，系统L L才停止才停止工作，所以这时工作，所以这时L L的寿命为的寿命为Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)，Z Z的分布的分布函数为：函数为：L1L2Z的概率密度为：的概率密度为：现在学习的是第122页，共125页(3)(3)备用的情况备用的情况由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y；因此：L1L2现在学习的是第123页，共125页124现在学习的是第124页，共125页26.09.2022感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第125页，共125页
