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动态测试数据处理基本方法 现在学习的是第1页，共40页按被测物理量是否随时间变化而变化按被测物理量是否随时间变化而变化按被测物理量是否随时间变化而变化按被测物理量是否随时间变化而变化 前前前前面面面面几几几几章章章章介介介介绍绍绍绍了了了了静静静静态态态态测测测测量量量量一一一一个个个个物物物物理理理理量量量量时时时时所所所所得得得得测测测测量量量量结结结结果果果果的的的的分分分分析析析析及及及及其其其其数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法。法。法。法。动动动动态态态态测测测测试试试试数数数数据据据据中中中中，包包包包含含含含大大大大量量量量有有有有关关关关被被被被测测测测物物物物理理理理量量量量及及及及所所所所用用用用测测测测量量量量器器器器具具具具以以以以及及及及外外外外界界界界环环环环境境境境加加加加入入入入的的的的干干干干扰扰扰扰等等等等方方方方面面面面的的的的信信信信息息息息，正正正正确确确确分分分分析析析析和和和和处处处处理理理理动动动动态态态态测测测测试试试试数数数数据据据据，就就就就能能能能得得得得到到到到很很很很多多多多反反反反映映映映客客客客观观观观事事事事物物物物规规规规律律律律的的的的有有有有用用用用信息。信息。信息。信息。一、测试技术一、测试技术静态测试静态测试静态测试静态测试动态测试动态测试动态测试动态测试被被被被测测测测量量量量静静静静止止止止不不不不变变变变，仪仪仪仪器器器器的的的的输输输输入入入入量量量量为为为为常常常常量量量量,测测测测量量量量误误误误差差差差基基基基本相互独立本相互独立本相互独立本相互独立被测量随时间或空间的变被测量随时间或空间的变被测量随时间或空间的变被测量随时间或空间的变化而变化，仪器的输入量化而变化，仪器的输入量化而变化，仪器的输入量化而变化，仪器的输入量及测试结果（数据或信号）及测试结果（数据或信号）及测试结果（数据或信号）及测试结果（数据或信号）也随时间变化而变化也随时间变化而变化也随时间变化而变化也随时间变化而变化,测测测测量系统处于动态情况下量系统处于动态情况下量系统处于动态情况下量系统处于动态情况下,测量误差具有相关性测量误差具有相关性测量误差具有相关性测量误差具有相关性动态测量误差的特点时空性；随机性；相关性；动态性时空性；随机性；相关性；动态性现在学习的是第2页，共40页表示物理现象或过程的任何数据，都可以分为表示物理现象或过程的任何数据，都可以分为表示物理现象或过程的任何数据，都可以分为表示物理现象或过程的任何数据，都可以分为二、动态测试数据的分类二、动态测试数据的分类确定性确定性确定性确定性随机性随机性随机性随机性能用明确的数学关系式描述，可以准确确定任意瞬时值能用明确的数学关系式描述，可以准确确定任意瞬时值能用明确的数学关系式描述，可以准确确定任意瞬时值能用明确的数学关系式描述，可以准确确定任意瞬时值不不不不能能能能用用用用明明明明确确确确的的的的数数数数学学学学关关关关系系系系式式式式描描描描述述述述，可可可可以以以以检检检检测测测测出出出出这这这这些些些些数数数数据据据据，也也也也可可可可以以以以得得得得到到到到随随随随时时时时间间间间变变变变化化化化的的的的记记记记录录录录数数数数据据据据，但但但但不不不不能能能能预预预预测测测测未未未未来来来来任任任任何何何何瞬瞬瞬瞬时时时时的的的的精精精精确确确确值值值值，只只只只能能能能用用用用概概概概率率率率统统统统计的特征量来描述计的特征量来描述计的特征量来描述计的特征量来描述时域描述时域描述时域描述时域描述频域描述频域描述频域描述频域描述用用用用数数数数据据据据幅幅幅幅值值值值随随随随时时时时间间间间变变变变化化化化的的的的表表表表达达达达式式式式、图图图图形形形形或或或或数数数数据据据据表表表表来来来来表表表表示示示示动动动动态态态态测测测测试试试试数数数数据据据据的的的的特特特特征，横坐标为时间征，横坐标为时间征，横坐标为时间征，横坐标为时间t t t t反反反反映映映映频频频频率率率率结结结结构构构构（成成成成分分分分、构构构构成成成成），进进进进行行行行频频频频谱谱谱谱分分分分析析析析，研研研研究究究究其其其其频频频频率率率率成成成成分分分分及及及及各各各各频频频频率率率率成成成成分的强度，横坐标为频率分的强度，横坐标为频率分的强度，横坐标为频率分的强度，横坐标为频率f f或或或或现在学习的是第3页，共40页确定性数据又可以分为确定性数据又可以分为确定性数据又可以分为确定性数据又可以分为正弦周期数据正弦周期数据正弦周期数据正弦周期数据复杂周期数据复杂周期数据复杂周期数据复杂周期数据随随随随时时时时间间间间有有有有规规规规律律律律地地地地重重重重复复复复出出出出现现现现，可可可可展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数随随随随时时时时间间间间不不不不能能能能有有有有规规规规律律律律地地地地重重重重复复复复出出出出现现现现，不不不不可可可可展展展展开开开开成成成成傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶级级级级数数数数，通通通通过过过过傅里叶变换分析频率结构傅里叶变换分析频率结构傅里叶变换分析频率结构傅里叶变换分析频率结构周期周期周期周期非周期非周期非周期非周期单单单单一一一一频频频频率率率率成成成成分分分分，频频频频谱谱谱谱为为为为单单单单一一一一离离离离散谱线散谱线散谱线散谱线由由由由不不不不同同同同频频频频率率率率的的的的正正正正弦弦弦弦周周周周期期期期数数数数据据据据叠叠叠叠加加加加而而而而成成成成，频频频频率率率率比比比比为为为为有有有有理理理理数数数数，图图图图形形形形为为为为由由由由基基基基波波波波的的的的整整整整数数数数倍倍倍倍波波波波形形形形叠叠叠叠加加加加而而而而成成成成，离离离离散散散散频频频频谱谱谱谱准周期数据准周期数据准周期数据准周期数据瞬态数据瞬态数据瞬态数据瞬态数据由由由由不不不不同同同同频频频频率率率率的的的的正正正正弦弦弦弦周周周周期期期期数数数数据据据据叠叠叠叠加加加加而而而而成成成成，频频频频率率率率比比比比不不不不全全全全为为为为有有有有理理理理数数数数，离离离离散散散散频频频频谱谱谱谱其其其其他他他他数数数数据据据据，不不不不能能能能用用用用离离离离散散散散频频频频谱谱谱谱表表表表示示示示，通通通通过过过过傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换，其其其其频频频频谱谱谱谱（幅幅幅幅值值值值谱谱谱谱、相相相相位位位位谱谱谱谱）为连续频谱，频率范围为无限为连续频谱，频率范围为无限为连续频谱，频率范围为无限为连续频谱，频率范围为无限现在学习的是第4页，共40页确定性数据：能够用明确的数学关系式表达周期数据 正弦周期数据 复杂周期数据0000现在学习的是第5页，共40页非周期数据 准周期数据0（不全为有理数）瞬态数据0现在学习的是第6页，共40页随机性数据又可以分为随机性数据又可以分为随机性数据又可以分为随机性数据又可以分为统统统统计计计计特特特特征征征征量量量量不不不不随随随随时间变化时间变化时间变化时间变化统计特征量随时间变化统计特征量随时间变化统计特征量随时间变化统计特征量随时间变化平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程非平稳随机过程非平稳随机过程非平稳随机过程非平稳随机过程各态历经随机过程各态历经随机过程各态历经随机过程各态历经随机过程非各态历经平稳随机过程非各态历经平稳随机过程非各态历经平稳随机过程非各态历经平稳随机过程凡是凡是不能预测不能预测的噪声就统称为的噪声就统称为随机噪声随机噪声(噪声噪声)。随机信号和噪声统称为随机信号和噪声统称为随机过程随机过程。现在学习的是第7页，共40页动态测试数据的分类动态测试数据的分类确定性数据动态测试数据随机过程数据周期数据非周期数据非平稳过程平稳过程正弦周期复杂周期准周期各态历经瞬态数据非各态历经现在学习的是第8页，共40页三、几个基本概念三、几个基本概念1.随机变量随机变量2.随机函数随机函数重重重重复复复复测测测测量量量量一一一一个个个个不不不不变变变变的的的的物物物物理理理理量量量量，因因因因被被被被测测测测量量量量、测测测测量量量量仪仪仪仪器器器器或或或或测测测测量量量量条条条条件件件件的的的的随随随随机机机机因因因因素素素素，造造造造成成成成所所所所测测测测得得得得的的的的一一一一系系系系列列列列测测测测量量量量结结结结果果果果包包包包含含含含随随随随机机机机误误误误差差差差（偶偶偶偶然然然然误误误误差差差差），其其其其中中中中每每每每次次次次测测测测量量量量结结结结果果果果都都都都是是是是取取取取得得得得一一一一个个个个随随随随机机机机的的的的，但但但但是是是是唯唯唯唯一一一一的的的的测测测测量量量量值值值值，因因因因而而而而对对对对应应应应于于于于某某某某个个个个具具具具体体体体瞬瞬瞬瞬时时时时的的的的测测测测量量量量结结结结果果果果是是是是一一一一个随机变量。个随机变量。个随机变量。个随机变量。由由由由于于于于被被被被测测测测对对对对象象象象、测测测测量量量量仪仪仪仪器器器器和和和和测测测测量量量量条条条条件件件件中中中中的的的的随随随随机机机机误误误误差差差差，因因因因而而而而被被被被测测测测过过过过程程程程和和和和一一一一段段段段时时时时间间间间的的的的测测测测量量量量结结结结果果果果都都都都是是是是一一一一个个个个随随随随机机机机但但但但是是是是连连连连续变化的函数，称为随机函数。续变化的函数，称为随机函数。续变化的函数，称为随机函数。续变化的函数，称为随机函数。被测量随机因素随机函数：若对于自变量的每一个给定值，该 函数都是一个随机变量。现在学习的是第9页，共40页设有设有n台性能完全相同的通信机，工作条件也都相同。台性能完全相同的通信机，工作条件也都相同。用用n部记录仪同时记录各部通信机的输出部记录仪同时记录各部通信机的输出噪声波形噪声波形。测试结果为：即使测试结果为：即使n足够的大，找不到两个完全相同的波形。足够的大，找不到两个完全相同的波形。通信机输出的噪声随时间的变化是通信机输出的噪声随时间的变化是不可预知不可预知的，是一个的，是一个随机过程随机过程。这里的一次这里的一次记录记录(图中的一个波形图中的一个波形)就是一个就是一个实现实现，每个实现都是一个，每个实现都是一个确定确定的时间函数，而随机性的时间函数，而随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。在任一就体现在出现哪一个实现是不确定的。在任一时刻时刻上观察到的值是不确定的，是一个上观察到的值是不确定的，是一个随机变量随机变量。存在一个由存在一个由全部全部可能可能实现实现构成的总体，就是依赖于时间参数构成的总体，就是依赖于时间参数t的的随机过程随机过程。现在学习的是第10页，共40页 设随机试验设随机试验X的可能结果为的可能结果为x(t)，试验的样本空间，试验的样本空间S为为xi(t)为第为第i个样本函数个样本函数(称之为实现称之为实现)，每次试验之后，每次试验之后,x(t)取取空间空间S中的某一样本函数，于是称此中的某一样本函数，于是称此x(t)为随机函数。为随机函数。当当t代表时间量时，称此代表时间量时，称此x(t)为随机过程。当为随机过程。当t代表空间量时，称代表空间量时，称x(t)为随机场。为随机场。设设x(t)表示一个表示一个随机过程随机过程（随机函数，随机函数，t表示时间，是某段表示时间，是某段连续时间内的值连续时间内的值），则在任意一个时刻），则在任意一个时刻t1上上x(t1)是一个是一个随机变量随机变量。（瞬时值瞬时值）现在学习的是第11页，共40页（1）视）视x(t)为一个样本集合，则其为一组时间函数为一个样本集合，则其为一组时间函数 xi(t)的集合，的集合，（2）将）将x(t)视为一个样本视为一个样本(或实现或实现)，则其为一个具体的时间，则其为一个具体的时间函数，如函数，如x(t)x3(t)（3）若）若tt1时，则时，则x(t)意味着一组随机变量意味着一组随机变量的集合。的集合。随机过程或随机函数随机过程或随机函数x(t)包含以下内容：包含以下内容：的意义：现在学习的是第12页，共40页3.随机过程理论随机过程理论 研研研研究究究究随随随随机机机机性性性性表表表表现现现现为为为为一一一一个个个个过过过过程程程程的的的的随随随随机机机机现现现现象象象象的的的的学学学学科科科科，它它它它是是是是研研研研究究究究动动动动态态态态测测测测量量量量过过过过程程程程及及及及其其其其测测测测量量量量结结结结果果果果的的的的理理理理论论论论依依依依据据据据，广广广广泛泛泛泛应应应应用用用用于于于于近近近近代代代代物理学、无线电、自动控制、空间技术等学科中。物理学、无线电、自动控制、空间技术等学科中。物理学、无线电、自动控制、空间技术等学科中。物理学、无线电、自动控制、空间技术等学科中。几几几几何何何何量量量量、机机机机械械械械量量量量测测测测量量量量过过过过去去去去都都都都是是是是以以以以静静静静态态态态测测测测量量量量为为为为主主主主，随随随随着着着着生生生生产过程的自动化，它们的动态测量日益增加。产过程的自动化，它们的动态测量日益增加。产过程的自动化，它们的动态测量日益增加。产过程的自动化，它们的动态测量日益增加。现在学习的是第13页，共40页四、随机过程的特征量四、随机过程的特征量随机变量的特征量随机变量的特征量随机过程的特征量随机过程的特征量概率分布函数；算术平均值；标准差。概率分布函数；算术平均值；标准差。概率分布函数；算术平均值；标准差。概率分布函数；算术平均值；标准差。均表现为确定的数（为瞬时值）均表现为确定的数（为瞬时值）均表现为确定的数（为瞬时值）均表现为确定的数（为瞬时值）概概概概率率率率密密密密度度度度函函函函数数数数；均均均均值值值值、方方方方差差差差和和和和均均均均方方方方值值值值；自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数；谱谱谱谱密密密密度度度度函函函函数。数。数。数。均表现为一个函数均表现为一个函数均表现为一个函数均表现为一个函数现在学习的是第14页，共40页1.概率密度函数概率密度函数描述某一时刻随机数据落在给定区间内的概率描述某一时刻随机数据落在给定区间内的概率描述某一时刻随机数据落在给定区间内的概率描述某一时刻随机数据落在给定区间内的概率概率密度函数概率密度函数概率密度函数概率密度函数说明：反映了在 振幅这个位置单位振幅内的 概率，即概率随振幅的变化率。振幅不同，落在单位振幅内的概率不同。现在学习的是第15页，共40页2.均值、方差和均方值均值、方差和均方值均值：或称平均值、数学期望均值：或称平均值、数学期望均值：或称平均值、数学期望均值：或称平均值、数学期望方差：或用标准差方差：或用标准差方差：或用标准差方差：或用标准差均方值：研究随机函数谱密度，反映随机函数的强度均方值：研究随机函数谱密度，反映随机函数的强度均方值：研究随机函数谱密度，反映随机函数的强度均方值：研究随机函数谱密度，反映随机函数的强度均方值既反映随机过程的中心趋势，也反映随机过程的分散度。均方值既反映随机过程的中心趋势，也反映随机过程的分散度。均方值既反映随机过程的中心趋势，也反映随机过程的分散度。均方值既反映随机过程的中心趋势，也反映随机过程的分散度。随机函数的中心趋势每个现实相对于均值函数变动的分散程度现在学习的是第16页，共40页3.自相关函数自相关函数 均均均均值值值值和和和和方方方方差差差差表表表表征征征征随随随随机机机机过过过过程程程程在在在在各各各各个个个个孤孤孤孤立立立立时时时时刻刻刻刻的的的的统统统统计计计计特特特特性性性性，它它它它们们们们是是是是非非非非随随随随机机机机的的的的时时时时间间间间函函函函数数数数，它它它它们们们们不不不不能能能能反反反反映映映映随随随随机机机机过过过过程程程程不不不不同同同同时时时时刻刻刻刻之间的关系。之间的关系。之间的关系。之间的关系。因因因因此此此此用用用用相相相相关关关关函函函函数数数数或或或或自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数来来来来反反反反映映映映随随随随机机机机过过过过程程程程不不不不同同同同时时时时刻刻刻刻之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系。二二二二元元元元非非非非随随随随机机机机函函函函数数数数(因因因因为为为为随随随随机机机机函函函函数数数数在在在在每每每每一一一一个个个个确确确确定定定定时时时时刻刻刻刻（瞬瞬瞬瞬时时时时）的的的的值值值值都都都都是是是是确确确确定定定定的的的的)在在在在区区区区间间间间(t,(t,t+t+)的的的的自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数定定定定义义义义为为为为与与与与 的乘积的平均值（数学期望）的乘积的平均值（数学期望）的乘积的平均值（数学期望）的乘积的平均值（数学期望）标准自相关函数：标准自相关函数：标准自相关函数：标准自相关函数：反映随机过程不同时刻之间的相关程度现在学习的是第17页，共40页自相关函数的性质：自相关函数的性质：（1 1）0 0时，时，时，时，自相关函数方差自相关函数方差自相关函数方差自相关函数方差由由由由于于于于方方方方差差差差可可可可以以以以用用用用自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数来来来来表表表表示示示示，故故故故随随随随机机机机函函函函数数数数的的的的基基基基本本本本特特特特征征征征量量量量仅为均值与自相关函数。仅为均值与自相关函数。仅为均值与自相关函数。仅为均值与自相关函数。（2 2）自相关函数是对称的）自相关函数是对称的）自相关函数是对称的）自相关函数是对称的（3 3）在在在在随随随随机机机机函函函函数数数数上上上上加加加加上上上上一一一一个个个个非非非非随随随随机机机机函函函函数数数数（确确确确定定定定数数数数或或或或t t的的的的函函函函数数数数）时时时时，其其其其均均均均值值值值（数数数数学学学学期期期期望望望望）也也也也要要要要加加加加上上上上同同同同样样样样的的的的非非非非随随随随机机机机函函函函数数数数，而而而而其其其其自自自自相关函数不变。相关函数不变。相关函数不变。相关函数不变。（4 4）在在在在随随随随机机机机函函函函数数数数上上上上乘乘乘乘以以以以非非非非随随随随机机机机因因因因子子子子f f(t)(t)时时时时，其其其其均均均均值值值值也也也也应应应应乘乘乘乘上上上上同一因子，而其自相关函数应乘上同一因子，而其自相关函数应乘上同一因子，而其自相关函数应乘上同一因子，而其自相关函数应乘上特别地：当特别地：当特别地：当特别地：当f f(t)(t)常数常数常数常数C C时，时，时，时，非随机函数随机函数非随机函数现在学习的是第18页，共40页4.谱密度函数谱密度函数反映随机数据的频率分布情况反映随机数据的频率分布情况反映随机数据的频率分布情况反映随机数据的频率分布情况 频频频频谱谱谱谱分分分分析析析析：研研研研究究究究随随随随机机机机过过过过程程程程的的的的频频频频率率率率分分分分布布布布情情情情况况况况，分分分分析析析析其其其其由由由由哪些频率成分组成，不同频率的分量各占多大比重。哪些频率成分组成，不同频率的分量各占多大比重。哪些频率成分组成，不同频率的分量各占多大比重。哪些频率成分组成，不同频率的分量各占多大比重。与与与与确确确确定定定定性性性性数数数数据据据据或或或或函函函函数数数数不不不不同同同同，其其其其振振振振幅幅幅幅和和和和相相相相位位位位也也也也是是是是随随随随机机机机的的的的，不不不不能能能能据据据据此此此此作作作作出出出出确确确确定定定定的的的的频频频频谱谱谱谱图图图图，而而而而均均均均方方方方值值值值 可可可可用用用用来来来来表表表表示示示示随随随随机机机机函函函函数数数数的的的的强强强强度度度度，故故故故随随随随机机机机过过过过程程程程的的的的频频频频谱谱谱谱不不不不用用用用频频频频率率率率f f上上上上的的的的振振振振幅幅幅幅来来来来描描描描述述述述，而而而而是是是是用用用用频率频率频率频率f f 到到到到(f f+f f)频率范围内的均方值频率范围内的均方值频率范围内的均方值频率范围内的均方值 来描述。来描述。来描述。来描述。f f 具具有有一一定定宽宽度度时时，在在 f f 范范围围内内的的均均方方值值可可能能是是变变动动的的，取取 f f 范范范范 围围围围 内内内内 的的的的 平平平平 均均均均 均均均均 方方方方 值值值值，即即即即 单单单单 位位位位 频频频频 率率率率 范范范范 围围围围 的的的的 平平平平 均均均均 均均均均 方方方方 值值值值 来描述频率来描述频率来描述频率来描述频率f f 到到到到(f f+f f)范围内随机过程强度。范围内随机过程强度。范围内随机过程强度。范围内随机过程强度。现在学习的是第19页，共40页 当随机过程长度趋于当随机过程长度趋于当随机过程长度趋于当随机过程长度趋于+，f f 趋于零时，趋于零时，趋于零时，趋于零时，写成积分形式有写成积分形式有写成积分形式有写成积分形式有因因因因此此此此 描描描描述述述述了了了了随随随随机机机机过过过过程程程程的的的的强强强强度度度度沿沿沿沿f f轴轴轴轴的的的的分分分分布布布布密密密密度度度度，称称称称其其其其为为为为随机过程的频谱密度或谱密度，亦称功率谱密度或功率谱。随机过程的频谱密度或谱密度，亦称功率谱密度或功率谱。随机过程的频谱密度或谱密度，亦称功率谱密度或功率谱。随机过程的频谱密度或谱密度，亦称功率谱密度或功率谱。现在学习的是第20页，共40页说明：（1）反映了随机过程强度在各个频率变化的快慢。（2）（3）（4）的特性0 是非负实偶函数傅立叶变换现在学习的是第21页，共40页谱密度的性质：谱密度的性质：（1 1）为非负的实偶函数，无论为非负的实偶函数，无论为非负的实偶函数，无论为非负的实偶函数，无论f f为正或负，为正或负，为正或负，为正或负，均均均均为为为为正正正正实实实实数数数数，即即即即非非非非负负负负的的的的实实实实偶偶偶偶函函函函数数数数，故故故故其其其其极极极极限限限限也也也也是是是是非非非非负负负负的的的的实偶函数。实偶函数。实偶函数。实偶函数。（2 2）谱谱谱谱密密密密度度度度函函函函数数数数（频频频频域域域域分分分分析析析析）与与与与自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数（时时时时域域域域分分分分析析析析）互为傅里叶变换。维纳辛钦公式互为傅里叶变换。维纳辛钦公式互为傅里叶变换。维纳辛钦公式互为傅里叶变换。维纳辛钦公式由由由由傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换的的的的奇奇奇奇偶偶偶偶虚虚虚虚实实实实性性性性，自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数为为为为偶偶偶偶函函函函数数数数，故故故故上上上上式式式式只有实数值部分。只有实数值部分。只有实数值部分。只有实数值部分。详见教材详见教材详见教材详见教材P172P172表表表表7-17-1。现在学习的是第22页，共40页白噪声：白噪声：白噪声为由各种频率的噪声合成的随机噪声过程。白噪声为由各种频率的噪声合成的随机噪声过程。白噪声为由各种频率的噪声合成的随机噪声过程。白噪声为由各种频率的噪声合成的随机噪声过程。五、随机过程特征量和实际估计五、随机过程特征量和实际估计由由由由于于于于随随随随机机机机误误误误差差差差的的的的存存存存在在在在及及及及测测测测量量量量测测测测试试试试有有有有限限限限，因因因因而而而而对对对对一一一一随随随随机机机机过过过过程程程程作作作作一一一一系系系系列列列列动动动动态态态态测测测测试试试试后后后后，不不不不可可可可能能能能求求求求得得得得随随随随机机机机过过过过程程程程特特特特征征征征量量量量的的的的真真真真值值值值，只只只只能能能能通通通通过有限个样本作出估计。过有限个样本作出估计。过有限个样本作出估计。过有限个样本作出估计。平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程非平稳随机过程非平稳随机过程非平稳随机过程非平稳随机过程各态历经随机过程各态历经随机过程各态历经随机过程各态历经随机过程非各态历经平稳随机过程非各态历经平稳随机过程非各态历经平稳随机过程非各态历经平稳随机过程随机过程随机过程随机过程随机过程平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程：工程实际中大多是该类随机过程，采用：工程实际中大多是该类随机过程，采用：工程实际中大多是该类随机过程，采用：工程实际中大多是该类随机过程，采用总体平均法总体平均法总体平均法总体平均法 （几何平均法）（几何平均法）（几何平均法）（几何平均法）求特征量的估计。求特征量的估计。求特征量的估计。求特征量的估计。各态历经随机过程各态历经随机过程各态历经随机过程各态历经随机过程：采用：采用：采用：采用时间平均法时间平均法时间平均法时间平均法求特征量的估计值。求特征量的估计值。求特征量的估计值。求特征量的估计值。现在学习的是第23页，共40页1.平稳随机过程及其特征量：平稳随机过程及其特征量：平平平平稳稳稳稳随随随随机机机机过过过过程程程程：在在在在工工工工作作作作过过过过程程程程任任任任一一一一段段段段时时时时间间间间测测测测量量量量，所所所所得得得得特特特特征征征征量量量量基基基基本本本本保持不变，即其特征量不随时间保持不变，即其特征量不随时间保持不变，即其特征量不随时间保持不变，即其特征量不随时间t t的推移而变化的随机过程。的推移而变化的随机过程。的推移而变化的随机过程。的推移而变化的随机过程。所有特征量与t无关000现在学习的是第24页，共40页随机过程是平稳的三个条件：随机过程是平稳的三个条件：（1 1）（常常常常数数数数），可可可可通通通通过过过过中中中中心心心心化化化化随随随随机机机机函函函函数数数数将将将将均均均均值值值值不不不不为为为为常常常常数数数数的的的的随随随随机机机机过过过过程程程程变变变变换换换换为为为为满满满满足足足足均均均均值值值值为为为为常常常常数数数数的的的的条条条条件件件件，故故故故为为为为非非非非本本本本质质质质条条条条件。件。件。件。（2 2）注注注注意意意意：均均均均值值值值为为为为常常常常数数数数，但但但但过过过过程程程程分分分分散散散散度度度度随随随随时时时时间间间间推移而明显变化时，亦不属于平稳的过程。推移而明显变化时，亦不属于平稳的过程。推移而明显变化时，亦不属于平稳的过程。推移而明显变化时，亦不属于平稳的过程。（3 3）自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数不不不不随随随随t t的的的的位位位位置置置置推推推推移移移移而而而而变变变变化化化化，即即即即与与与与t t无无无无关关关关，只只只只依依依依赖赖赖赖于于于于自自自自变变变变量量量量t t与与与与(t+(t+)之之之之差差差差，仅仅仅仅为为为为一一一一个个个个变变变变量量量量 的函数。的函数。的函数。的函数。方差可由自相关函数表示，因此条件方差可由自相关函数表示，因此条件方差可由自相关函数表示，因此条件方差可由自相关函数表示，因此条件2 2 2 2是条件是条件是条件是条件3 3 3 3的特殊情况。的特殊情况。的特殊情况。的特殊情况。0现在学习的是第25页，共40页宽平稳随机函数（广义平稳随机函数）：宽平稳随机函数（广义平稳随机函数）：当当当当不不不不考考考考虑虑虑虑随随随随机机机机函函函函数数数数的的的的概概概概率率率率密密密密度度度度等等等等其其其其他他他他特特特特征征征征量量量量，仅仅仅仅满满满满足足足足均均均均值值值值为为为为常常常常数数数数和和和和自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数仅仅仅仅与与与与 有有有有关关关关这这这这两两两两个个个个条条条条件件件件时时时时，这这这这样样样样的的的的随随随随机机机机函函函函数数数数称称称称为为为为宽宽宽宽平稳随机函数或广义平稳随机函数。平稳随机函数或广义平稳随机函数。平稳随机函数或广义平稳随机函数。平稳随机函数或广义平稳随机函数。在在在在工工工工程程程程实实实实际际际际中中中中，很很很很多多多多随随随随机机机机过过过过程程程程都都都都满满满满足足足足平平平平稳稳稳稳的的的的条条条条件件件件，或或或或者者者者可可可可以以以以近近近近似似似似看看看看作作作作是是是是平平平平稳稳稳稳的的的的。如如如如照照照照明明明明电电电电网网网网的的的的电电电电压压压压波波波波动动动动、电电电电阻阻阻阻热热热热电电电电噪噪噪噪声声声声、机机机机床床床床的的的的振振振振动动动动、切切切切削削削削加加加加工工工工表表表表面面面面的的的的表表表表面面面面粗粗粗粗糙糙糙糙度度度度等等等等都都都都是是是是平平平平稳稳稳稳的。的。的。的。现在学习的是第26页，共40页平稳随机过程的特征量：平稳随机过程的特征量：（1 1）均值和方差：）均值和方差：）均值和方差：）均值和方差：（2 2）自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数：平平平平稳稳稳稳随随随随机机机机过过过过程程程程的的的的均均均均值值值值为为为为常常常常数数数数，故故故故可可可可用用用用中中中中心心心心化化化化的的的的自相关函数表示式为自相关函数表示式为自相关函数表示式为自相关函数表示式为标准化自相关函数：标准化自相关函数：标准化自相关函数：标准化自相关函数：结论结论1：可根据某一时刻的样本值计算该随机过程：可根据某一时刻的样本值计算该随机过程 的均值、方差。的均值、方差。结论结论2：可由任意间隔为：可由任意间隔为 的两时刻样本值估计自的两时刻样本值估计自 相关值相关值 。现在学习的是第27页，共40页平稳随机过程自相关函数的主要性质：平稳随机过程自相关函数的主要性质：（1 1）0 0时，时，时，时，取得最大值，且等于其方差取得最大值，且等于其方差取得最大值，且等于其方差取得最大值，且等于其方差（2 2）平稳随机过程的自相关函数为偶函数）平稳随机过程的自相关函数为偶函数）平稳随机过程的自相关函数为偶函数）平稳随机过程的自相关函数为偶函数因此，仅研究平稳随机过程因此，仅研究平稳随机过程因此，仅研究平稳随机过程因此，仅研究平稳随机过程 00的的的的 即可。即可。即可。即可。（3 3）当均值为零）当均值为零）当均值为零）当均值为零 时，若时，若时，若时，若则其相关函数趋于零则其相关函数趋于零则其相关函数趋于零则其相关函数趋于零（4 4）x x(t t)若含有周期成分若含有周期成分若含有周期成分若含有周期成分此此此此时时时时其其其其自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数中中中中也也也也含含含含有有有有周周周周期期期期成成成成分分分分，且且且且其其其其周周周周期期期期与与与与过过过过程程程程周周周周期期期期相同，即相同，即相同，即相同，即现在学习的是第28页，共40页由性质由性质由性质由性质3 3、4 4知，当知，当知，当知，当现在学习的是第29页，共40页性质：，最大，（？）只需计算出 的 ，不必研究 的情况 对 ，当 时，若 有周期T，则 也有周期T（？）用来判别平稳随机过程是否含有周期信号现在学习的是第30页，共40页平稳随机过程特征量的实验估计：平稳随机过程特征量的实验估计：(总体平均法）未未未未知知知知随随随随机机机机数数数数据据据据的的的的函函函函数数数数形形形形式式式式时时时时，应应应应先先先先由由由由实实实实验验验验测测测测得得得得随随随随机机机机函函函函数数数数样样样样本本本本集集集集合合合合，再由实验结果求特征量。再由实验结果求特征量。再由实验结果求特征量。再由实验结果求特征量。对对对对N N个个个个连连连连续续续续记记记记录录录录（记记记记录录录录长长长长度度度度为为为为T T）进进进进行行行行采采采采样样样样，获获获获得得得得数数数数字字字字样样样样本本本本。取取取取等等等等间间间间距距距距的的的的时时时时间间间间间间间间隔隔隔隔t t1 1,t t2 2,t tn n,得得得得函函函函数数数数值值值值如如如如教教教教材材材材P177P177表表表表7-27-2所所所所示示示示，据据据据采采采采样样样样定定定定理理理理确确确确定定定定采采采采样样样样数数数数目目目目n n，t tk k-t-tk k-1-1=T T/n n,然然然然后后后后用用用用代代代代数数数数和和和和形形形形式式式式估估估估计计计计特特特特征征征征量量量量（已已已已经数字化，不必用定积分形式），教材经数字化，不必用定积分形式），教材经数字化，不必用定积分形式），教材经数字化，不必用定积分形式），教材P177P177式式式式7-547-547-577-57。t t为为为为离离离离散散散散值值值值，这这这这样样样样，就就就就可可可可以以以以从从从从实实实实验验验验结结结结果果果果有有有有限限限限个个个个现现现现实实实实的的的的总总总总体体体体中中中中，按按按按照照照照不不不不同同同同时时时时刻刻刻刻t tk k求求求求出出出出随随随随机机机机数数数数据据据据各各各各特特特特征征征征量量量量的的的的估估估估计计计计值值值值，这这这这种种种种估估估估计计计计特特特特征征征征量量量量的的的的方方方方法法法法称为总体平均法或称几何平均法。称为总体平均法或称几何平均法。称为总体平均法或称几何平均法。称为总体平均法或称几何平均法。现在学习的是第31页，共40页现在学习的是第32页，共40页 对对对对平平平平稳稳稳稳过过过过程程程程，为为为为求求求求特特特特征征征征量量量量，需需需需作作作作大大大大量量量量的的的的实实实实验验验验，获获获获得得得得很很很很多个随机过程的现实，然后在各多个随机过程的现实，然后在各多个随机过程的现实，然后在各多个随机过程的现实，然后在各t t时刻上求特征量估计值。时刻上求特征量估计值。时刻上求特征量估计值。时刻上求特征量估计值。问题：问题：问题：问题：能否从一个现实求出特征量？能否从一个现实求出特征量？能否从一个现实求出特征量？能否从一个现实求出特征量？许许许许多多多多实实实实际际际际平平平平稳稳稳稳随随随随机机机机过过过过程程程程可可可可以以以以是是是是可可可可以以以以通通通通过过过过一一一一个个个个现现现现实实实实求求求求出出出出特特特特征征征征量的，将这一类平稳随机过程称为量的，将这一类平稳随机过程称为量的，将这一类平稳随机过程称为量的，将这一类平稳随机过程称为各态历经随机过程各态历经随机过程各态历经随机过程各态历经随机过程。现在学习的是第33页，共40页2.各态历经随机过程及其特征量各态历经随机过程及其特征量平平平平稳稳稳稳随随随随机机机机过过过过程程程程在在在在满满满满足足足足一一一一定定定定条条条条件件件件下下下下有有有有一一一一个个个个非非非非常常常常有有有有用用用用的的的的特特特特性性性性，称称称称为为为为“各各各各态态态态历历历历经经经经性性性性”。这这这这种种种种平平平平稳稳稳稳随随随随机机机机过过过过程程程程，它它它它的的的的数数数数字字字字特特特特征征征征（均均均均为为为为统统统统计计计计平平平平均均均均）完完完完全全全全可可可可由由由由随随随随机机机机过过过过程程程程中中中中的的的的任任任任一一一一实实实实现现现现的的的的数数数数字字字字特特特特征征征征（均为时间平均）来替代。（均为时间平均）来替代。（均为时间平均）来替代。（均为时间平均）来替代。“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。各态历经随机过程：一个现实代表所有样本集合的特性现在学习的是第34页，共40页00现在学习的是第35页，共40页 注注意意：具具有有各各态态历历经经性性的的随随机机过过程程必必定定是是平平稳稳随随机机过过程程，但但平平稳稳随随机机过过程程不不一一定定是是各各态态历历经经的的。在在通通信信系系统统中中所所遇遇到到的的随随机机信信号和噪声，号和噪声，一般均能满足各态历经条件。一般均能满足各态历经条件。平稳随机过程是否各态历经的判别（检验）：
