二项式展开式性质讲稿.ppt
关于二项式展开式性质第一页，讲稿共十三页哦对于对于（a+b）n=的展开式有哪些项？的展开式有哪些项？个个(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+an-rbr+bn二项式定理二项式定理右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n 的的二项展开式二项展开式,它一共有它一共有 n+1 项项.其中各项系数其中各项系数 Cnr(r=0,1,2,n)叫做叫做二项式系数二项式系数式中的项式中的项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项,是第是第r+1 项项,记作记作 Tr+1即即 Tr+1=Cnr an-rbr (r=0,1,2,n)称为称为二项展开式的通项公式二项展开式的通项公式 (1)展开式展开式各项中各项中a、b的指数及各项系数的递变规律的指数及各项系数的递变规律.但指数和为但指数和为n(2)通项公式通项公式中中a、b的指数及其系数和所在项数之间的关系的指数及其系数和所在项数之间的关系.试一试：试一试：写出写出(1+x)n 的展开式及其通项公式。的展开式及其通项公式。第二页，讲稿共十三页哦总总结结1.二项式系数规律：二项式系数规律：2.指数规律：指数规律：（1）各项的次数均为）各项的次数均为n；（2）二项和的第一项）二项和的第一项a的次数由的次数由n降到降到0，第二项第二项b的次数由的次数由0升到升到n.3.项数规律：项数规律：两项和的两项和的n次幂的展开式共有次幂的展开式共有n+1个项个项定定理理特特征征二项式定理：二项式定理：4.通项公式：通项公式：Tr+1=Cnr an-rbr (r=0,1,2,n)右边的多项式叫做的右边的多项式叫做的 展开式展开式第三页，讲稿共十三页哦解解:第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为，第三项的系数为，第三项的系数为240.项的系数：项的系数：该项所有常数因子的积该项所有常数因子的积.二项式系数：二项式系数：第四页，讲稿共十三页哦例：例：的展开式常数项的展开式常数项 解解:通项公式：通项公式：Tr+1=Cnr an-rbr (r=0,1,2,n)第五页，讲稿共十三页哦练习：练习：1 1、求、求 的展开式的中间两项的展开式的中间两项 解解:展开式共有展开式共有10项项,中间两项是第中间两项是第5、6项。项。的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数之比是：，求展开式中的第项第六页，讲稿共十三页哦因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式系数系数取得最大值；取得最大值；当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。二项式系数的性质（1 1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等（2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 二项式系数二项式系数前前半部分是半部分是逐渐增大逐渐增大的，的，由对称性可知它的由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐渐减小逐渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。（3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1第七页，讲稿共十三页哦例：已知（例：已知（x)n展开式中展开式中x2 的系数等于的系数等于x的系数的倍，求二项式系数最大的项的系数的倍，求二项式系数最大的项第八页，讲稿共十三页哦解解:例例2：已知（：已知（x)n展开式中展开式中二项式二项式系数和系数和及所有项的系数之和及所有项的系数之和变式：变式：已知已知（2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6，求求 (1)奇次项的二项式系数之和奇次项的二项式系数之和（2）a0+a1+a2+a3a4+a5a6的值的值（3）a1+a2+a3a4+a5a6第九页，讲稿共十三页哦因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式系数系数取得最大值；取得最大值；当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。二项式系数的性质（1 1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等（2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 二项式系数二项式系数前前半部分是半部分是逐渐增大逐渐增大的，的，由对称性可知它的由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐渐减小逐渐减小的，且的，且中中间项取得最大值间项取得最大值。（3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1第十页，讲稿共十三页哦特值思想特值思想二项式定理对任意的数二项式定理对任意的数a、b都成都成立，当然对特殊的立，当然对特殊的a、b也成立！也成立！第十一页，讲稿共十三页哦 考察在考察在 n=1,2,3,4 时，时，(a+b)n 的展开式的系数规律的展开式的系数规律.(a+b)1=,(a+b)2=,(a+b)3=,(a+b)4=.a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3我国古代优秀成果介绍：我国古代优秀成果介绍：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 列出上述各展开式的系数：列出上述各展开式的系数：1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 规律规律:(1)表中每行两端都是表中每行两端都是1 (2)其它各数都是它肩上两数的和其它各数都是它肩上两数的和.1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11杨辉三角形试一试试一试：你能根据杨辉：你能根据杨辉三角形写出三角形写出(a+b)5的展的展开式吗？开式吗？a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5(a+b)5=第十二页，讲稿共十三页哦感谢大家观看第十三页，讲稿共十三页哦
