2016高考数学大一轮复习2.5指数与指数函数教师用书理苏教版.doc

§2.5指数与指数函数1分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是(a>0，m，nN*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是(a>0，m，nN*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a>0，b>0，r，sQ.2指数函数的图象与性质yaxa>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)()44.(×)(2).(×)(3)函数yax是R上的增函数(×)(4)函数y (a>1)的值域是(0，)(×)(5)函数y2x1是指数函数(×)(6)函数y()1x的值域是(0，)()1若a(2)1，b(2)1，则(a1)2(b1)2的值是_答案解析a(2)12，b(2)12，(a1)2(b1)2(3)2(3)2.2设函数f(x)a|x|(a>0，且a1)，f(2)4，则下列关系正确的是_f(2)>f(1); f(1)>f(2)；f(1)>f(2); f(2)>f(2)答案解析f(x)a|x|(a>0，且a1)，f(2)4，a24，a，f(x)|x|2|x|，f(2)>f(1)3函数f(x)ax(a>0，a1)的图象可能是_答案解析函数f(x)的图象恒过(1,0)点，只有图象适合4已知0x2，则y3·2x5的最大值为_答案解析令t2x，0x2，1t4，又y22x13·2x5，yt23t5(t3)2，1t4，t1时，ymax.题型一指数幂的运算例1化简：(1) (a>0，b>0)；(2)10(2)1()0.思维点拨可先将根式化成分数指数幂，再利用幂的运算性质进行计算解(1)原式.(2)原式110(2)11010201.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数(1)化简(x<0，y<0)得_(2)=_.答案(1)2x2y(2)解析(1). (2)原式.题型二指数函数的图象和性质例2(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是_a>1，b<0；a>1，b>0；0<a<1，b>0；0<a<1，b<0.(2)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_答案(1)(2)(，4解析(1)由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)令t|2xm|，则t|2xm|在区间，)上单调递增，在区间(，上单调递减而y2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4思维升华(1)对与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究(1)若函数y2x1m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是_(2)若函数f(x)ax1(a>0且a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.答案(1)(，2(2)解析(1)y2x1的图象过点(0,2)，y2x1m的图象过点(0,2m)，令2m0得m2.(2)当a>1时，x0,2，y0，a21，a212，即a.当0<a<1时，x0,2，ya21,0，此时定义域与值域不一致，无解综上，a.题型三指数函数的应用例3(1)k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R上的函数f(x)2x.若f(x)，求x的值；若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围解(1)函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示当k<0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解(2)当x<0时，f(x)0，无解；当x0时，f(x)2x，由2x，得2·22x3·2x20，看成关于2x的一元二次方程，解得2x2或，2x>0，2x2，即x1.当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，22t1>0，m(22t1)，t1,2，(22t1)17，5，故m的取值范围是5，)思维升华对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x)g(x)解的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数；解决有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构(1)如果函数ya2x2ax1(a>0，a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为_(2)若关于x的方程|ax1|2a (a>0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是_答案(1)或3(2)解析(1)令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a>1时，因为x1,1，所以t，a，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去)当0<a<1时，因为x1,1，所以ta，又函数y(t1)22在a，上单调递增，则ymax(1)2214，解得a(负值舍去)综上知a3或a.(2)方程|ax1|2a (a>0且a1)有两个实数根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点当0<a<1时，如图(1)，则0<2a<1，即0<a<.当a>1时，如图(2)，而y2a>1不符合要求综上，0<a<.忽略对底数的讨论致误典例：(14分)已知函数(a，b是常数且a>0，a1)在区间，0上有ymax3，ymin，试求a、b的值易错分析(1)误认为a>1，只按一种情况求解，而忽略了0<a<1的情况，从而造成失误当底数不确定时应分类讨论(2)搞错或忽视x22x的范围造成失误规范解答解令tx22x(x1)21，x，0，t1,02分(1)若a>1，函数f(x)at在1,0上为增函数，at，1，则b，b1，5分依题意得解得7分(2)若0<a<1，函数f(x)at在1,0上为减函数，at1，则b1，b，10分依题意得解得12分综上，所求a，b的值为或14分温馨提醒(1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a>1和0<a<1两种情况讨论(2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围.方法与技巧1通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较2指数函数yax (a>0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成失误与防范1恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来2复合函数的问题，一定要注意函数的定义域3对可化为a2xb·axc0或a2xb·axc0 (0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.A组专项基础训练(时间：40分钟)1函数f(x)ax21(a>0且a1)的图象必经过点_答案(2,2)解析a01，f(2)2，故f(x)的图象必过点(2,2)2已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围是_答案(0，)解析由0.71.3<0.7011.30<1.30.7，得0.71.3<1.30.7.又(0.71.3)m<(1.30.7)m，所以m>0.3若函数f(x)a|2x4|(a>0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是_答案2，)解析由f(1)得a2，a(a舍去)，即f(x)()|2x4|.由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减4已知函数f(x)是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是_答案(，解析由题意得<a.5已知实数a，b满足等式2 015a2 016b，下列五个关系式：0<b<a；a<b<0；0<a<b；b<a<0；ab.其中不可能成立的关系式有_个答案2解析设2 015a2 016bt，如图所示，由函数图象，可得(1)若t>1，则有a>b>0；(2)若t1，则有ab0；(3)若0<t<1，则有a<b<0.故可能成立，而不可能成立6若指数函数yax在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a_.答案解析若0<a<1，则a1a1，即a2a10，解得a或a(舍去)若a>1，则aa11，即a2a10，解得a或a(舍去)综上所述a.7已知正数a满足a22a30，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为_答案m>n解析a22a30，a3或a1(舍)函数f(x)3x在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.8若函数f(x)axxa(a>0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析令axxa0即axxa，若0<a<1，显然yax与yxa的图象只有一个公共点；若a>1，yax与yxa的图象如图所示有两个公共点9已知函数f(x)a·2xb·3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x1)>f(x)时x的取值范围解(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2R，x1<x2，则f(x1)f(x2)a()b()<，a>0a()<0，<，b>0b()<0，f(x1)f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数(2)f(x1)f(x)a·2x2b·3x>0，当a<0，b>0时，x>，则x>log1.5；当a>0，b<0时，x<，则x<log1.5.10已知函数f(x)b·ax(其中a，b为常数且a>0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)试确定f(x)；(2)若不等式()x()xm0在x(，1上恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，÷得a24，又a>0且a1，a2，b3，f(x)3·2x.(2)由(1)知()x()xm0在(，1上恒成立可转化为m()x()x在(，1上恒成立令g(x)()x()x，则g(x)在(，1上单调递减，mg(x)ming(1)，故所求实数m的取值范围是(，B组专项能力提升(时间：20分钟)1设f(x)|3x1|，c<b<a，且f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是_3c>3b; 3b>3a；3c3a>2; 3c3a<2.答案解析画出函数f(x)的图象，易知c<0，a>0.又f(c)>f(a)，|3c1|>|3a1|，13c>3a1，3c3a<2.2设函数f(x)若F(x)f(x)x，xR，则F(x)的值域为_答案(，12，)解析当x>0时，F(x)x2；当x0时，F(x)exx，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是增函数，F(x)F(0)1，所以F(x)的值域为(，12，)3函数y的图象大致为_答案解析y1，当x>0时，e2x1>0，且随着x的增大而增大，故y1>1随着x的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减又函数y是奇函数，故只有正确4关于x的方程x有负数根，则实数a的取值范围为_答案解析由题意，得x<0，所以0<x<1，从而0<<1，解得<a<.5已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t22t)f(2t21)<0.解(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，所以f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t22t)f(2t21)<0等价于f(t22t)<f(2t21)f(2t21)因为f(x)是减函数，由上式推得t22t>2t21，即3t22t1>0，解不等式可得t|t>1或t<12