初等矩阵和初等变换讲稿.ppt
线性代数关于初等矩阵和初等变换第一页，讲稿共六十三页哦线性代数2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵求矩阵的秩求可逆矩阵的逆矩阵解线性方程组 2.5.1 2.5.1 矩阵的初等变换2.5.2 2.5.2 初等矩阵 2.5.32.5.3*分块矩阵的初等变换第二页，讲稿共六十三页哦线性代数2.5.1 2.5.1 矩阵的初等变换定义2.5.1 矩阵A的下列变换称为它的初等行（或列）变换：(1)互换矩阵A的第 i行与第 j行（或第 i列与第 j列）的位置，记为 rirj(或cicj);（互换）(2)用常数 k0去乘矩阵 A的第 i行(或第 j列)，记为kri(或 kcj);（倍乘）第三页，讲稿共六十三页哦线性代数(3)将矩阵 A的第 j行（或第 j列）各元素的 k倍加到第 i行(或第 i列)的对应元素上去，记为 ri+krj(或ci+kcj);（倍加）矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.第四页，讲稿共六十三页哦线性代数定义2.5.2 如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵 B,则称 A与 B等价，记为 AB，或 AB.第五页，讲稿共六十三页哦线性代数等价是矩阵间的一种关系，具有以下基本性质:(1)自反性：AA；(2)对称性：若 AB,则 AB;(3)传递性：若AB,BC,则AC.在数学中把具有上述三个基本性质的关系称为等价关系.第六页，讲稿共六十三页哦线性代数利用矩阵的初等变换，可以把矩阵化为简单的阶梯形矩阵阶梯形矩阵对求逆、求秩、求解线性方程组都非常有用 第七页，讲稿共六十三页哦线性代数定义2.5.3 如果矩阵A满足下列条件：(1)若有零行，则零行全在矩阵A的下方；(2)A的各非零行的第一个非零元的列序数小于下一行中第一个非零元的列序数；则称 A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵.例如 第八页，讲稿共六十三页哦线性代数如果矩阵 A除满足上述条件(1)、(2)外，还满足条件：(3)各非零行的第一个非零元素均为1，且所在列的其它元素都为零，则称 A为简化阶梯形矩阵.例如 为简化阶梯形矩阵；第十页，讲稿共六十三页哦线性代数定理2.5.1 任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形矩阵.第十一页，讲稿共六十三页哦线性代数证 设矩阵第十二页，讲稿共六十三页哦线性代数记 依次减去第一行的 倍，则A可化为 .从矩阵的第二行起，再对矩阵 A1应用上述方法，继续进行下去，即可把 A化为阶梯形矩阵.证毕.第十三页，讲稿共六十三页哦线性代数设矩阵A已通过初等行变换化为阶梯形矩阵，我们再对它的第k行分别乘以 初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶梯形 ，然后再对矩阵作第三种第十四页，讲稿共六十三页哦线性代数（2.5.2）再对矩阵（2.5.2）作初等列变换和初等行变换，则可以把它化成如下更加简单的形式 第十五页，讲稿共六十三页哦线性代数（2.5.3）矩阵（2.5.3）的左上角是一个单位矩阵，我们称（2.5.3）为矩阵A的标准形.第十六页，讲稿共六十三页哦线性代数由以上讨论，我们可以得到如下结论定理2.5.2 任意非零矩阵A=(aij)mn都与它的标准形等价,即存在矩阵 ，使 其中Er为 r阶单位矩阵,1rmin m,n.后面还要说明：一个矩阵的标准形是唯一的，它反映了矩阵在初等变换下的一种不变性.第十七页，讲稿共六十三页哦线性代数例2.5.12.5.1 用初等行变换把矩阵化为阶梯形和简化阶梯形.第十八页，讲稿共六十三页哦线性代数解r4+r1第十九页，讲稿共六十三页哦线性代数第二十页，讲稿共六十三页哦线性代数这就是矩阵 A的阶梯形.再对其进行初等行变换 第二十一页，讲稿共六十三页哦线性代数r2+(-2)r3第二十二页，讲稿共六十三页哦线性代数此即到矩阵A的简化阶梯形矩阵.如果再对 A的简化阶梯形作列的初等变换,可得矩阵A的标准形 第二十三页，讲稿共六十三页哦线性代数第二十四页，讲稿共六十三页哦线性代数c4c5第二十五页，讲稿共六十三页哦线性代数2.5.2 2.5.2 初等矩阵定义2.5.4 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.由于矩阵的初等变换有三种，所以对应的初等矩阵有三类：第二十六页，讲稿共六十三页哦线性代数i 行j行(1)互换E的第i行（列）与第 j 行（列），第二十七页，讲稿共六十三页哦线性代数(2)用数k0乘 E的第i行行(列)，记为 i行第二十八页，讲稿共六十三页哦线性代数(3)用数k乘 E的第j行行(i列)加到第i行行(j列)上，记为 i 行j 行第二十九页，讲稿共六十三页哦线性代数我们把 分别称为互换、倍乘、倍加初等矩阵.(1)初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；初等矩阵的性质：(3)初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且(2)初等矩阵都是可逆矩阵；第三十页，讲稿共六十三页哦线性代数对于初等矩阵，我们有如下定理定理2.5.3 设A是一个 mn矩阵,对 A作一次初等行变换，相当于在 A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对 A作一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的 n阶初等矩阵.这个定理建立了初等变换和初等矩阵的联系.第三十一页，讲稿共六十三页哦线性代数证 仅就对行作第三种初等变换的情形给出证明.设矩阵 A=(aij)mn，用m阶初等矩阵E(i,j(k)左乘以A，则 第三十二页，讲稿共六十三页哦线性代数上式右端相当于对矩阵A作第三种初等行变换(即把矩阵 A的第 j行乘以常数 k加到第 i行上).证毕.第三十三页，讲稿共六十三页哦线性代数利用定理2.5.3和矩阵等价的定义,立即可以得到如下定理 定理2.5.4 mn矩阵A与B等价有m阶初等矩阵P1,P2,Ps与n阶初等矩阵 Q1,Q2,Qt,使得 若记P=Ps P2P1，Q=Q1Q2Qt，则 P为 m阶可逆矩阵，Q为 n阶可逆矩阵，于是得到以下推论。第三十四页，讲稿共六十三页哦线性代数推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q,使得 推论2 对于任意非零mn矩阵A，必存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使得 （2.5.4）这里 是矩阵A的标准形.第三十五页，讲稿共六十三页哦线性代数推论3 若A为n阶可逆矩阵，则A E 若不然，它的标准形矩阵主对角线上至少含有一个零元素，对（2.5.4）两端取行列式，|PAQ|=0即|P|A|Q|=0此与矩阵A,P,Q可逆，|A|P|Q|0矛盾.第三十六页，讲稿共六十三页哦线性代数 若n阶矩阵A可逆，由推论3，存在 n阶初等矩阵 P1,P2,Pt,Pt+1,Ps，使 即可逆矩阵 A可以表示成有限个初等矩阵的乘积；反之，若A能表示成有限个初等矩阵的乘积，根据可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵的结论，A一定是可逆的.第三十七页，讲稿共六十三页哦线性代数因此，得到如下结论推论4 n阶矩阵 A可逆的充分必要条件是它可表示成有限个初等矩阵的乘积.应用这个结论，可以得到一个应用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法.设矩阵A可逆，则 A-1可表示成有限个初等矩阵的乘积，即 A-1=P1P2Pt.由 A-1A=E，有（2.5.5）(2.5.6)即第三十八页，讲稿共六十三页哦线性代数（2.5.5）式表明，可逆矩阵A经过有限次初等行变换可化为单位矩阵 E；(2.5.6)式则表明，这些初等行变换同时可以把单位矩阵 E化为 A-1.根据分块矩阵的乘法，（2.5.5），(2.5.6)两式可合并为或第三十九页，讲稿共六十三页哦线性代数 例2.5.2 设用初等行变换法求A-1 第四十页，讲稿共六十三页哦线性代数解 第四十一页，讲稿共六十三页哦线性代数r3+r2 第四十二页，讲稿共六十三页哦线性代数r2+(-3)r3第四十三页，讲稿共六十三页哦线性代数所以第四十四页，讲稿共六十三页哦线性代数作业Page67习题2.4：2.；3.（1）、（2）.第四十五页，讲稿共六十三页哦线性代数感感谢谢大大家家观观看看第六十三页，讲稿共六十三页哦
