2021年2021年圆锥曲线中的最值问题.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -圆锥曲线最值问题一.构造直线的横.纵截距求最值例1.如实数x、 y 满意 x 2y 22x4 y0 、求 x2 y0 的最大值 .二.构造直线的斜率求最值例 2.如实数x、 y 满意 (x2) 2y 23 、求y 的最大值 .x三.构造点到直线的距离公式求最值例 3.已知圆 ( x3)2( y3) 21 ，求 2xy1 的最值 .第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -四.构造平面内两点间距离公式求最值例 4.平面内有两点A(1、0)、 B (1、0)、 P 为圆 (x3) 2( y4) 21上一点， 求22PAPB的最大值.最小值.五.构造三点共线的线段求最值x 2y 2例 5.已知椭圆1 的右焦点为F，且有定点A(1、1) ，又 P 为椭圆上任意一点，259求 PFPA 的最大值 .六.利用圆锥曲线的其次定义求最值例 6.如点A 的坐标为(3、2) ， F 为抛物线y 22 x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，求PAPF的最小值 .第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -七.利用圆锥曲线的参数方程求最值例 7.已知点P 为椭圆 x2坐标为（）8 y 28 上到直线l : xy40 的距离最小的点，就点P 的A. (8 、 1 )33B. ( 1 3、 8 )3C. (0、1)D.(22 、0)八.利用重要不等式求最值例 8. 已知圆C : ( xa) 2( yb)28、( ab0) 过坐标原点，就圆心C到直线xyl :1 距离的最小值等于（）a bA.2B.2C.22D.ab第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解答：例题 1 分析 :x2y 22 x4 y0 、即 (x1)2( y2) 25y(x、 y) 即为此圆上一点、Ox设 x2 yb、 就 x2 y 的最值即为直线x2 yb0在 x 轴截距的最值 、故可利用直线截距求解.解:如图 1，x、 y满意 x 2y 22x4 y0 .(x.y)为圆（ x1) 2( y2)25 上的点 、x2 y100设x2 yb、就当 直 线x2 yb0与圆 相 切时图 112(2)b有:55(5b) 225b 0或b10x2 y 的最大值为10.例题 2 分析 :k 的最大值 .yy0，联想到动点xx0y( x、y) 到原点的连线的斜率，就问题转化为求斜率解:如图 2、设 k、 就yxkx. ，y当直线与圆切于A 点、圆 ( x2) 2y 2A3 的圆心为C、就CAOA.OC(2、0)x易知 OC2、 AC3 、OA1 、 ktgAOC3.所以 y 的最大值为3图 2x例题 3 分析：P( x、 y) 到直线 2 x2xy1y10 的距离为y542xy1 即为圆 (x3) 2( y3) 2F1上的动点到3C2E直线 2 xy10 距离的5 倍，所以构造点到直线1AO1234x图 3第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -的距离公式求解.解:如图 3，作直线 2 xy10 ，过圆心C (3、3) 作直线 2 xy10 的垂线 AC 交圆 (x3) 2( y3) 21于两点 E. F.就 E 到直线 2 xy10 的距离最小，F 到直线 2 xy10 的距离最大 .圆心 C 到直线 2xy10 的距离为：AC23318552xy1 的最大值为5 (81)855 ，最小值为5 ( 81)85522例题 4 分析：设P( x、 y) 为圆 (x3)2( y4) 21上任意一点，22PAPB( x1)y(x1)y2( xy)22222E而 x2y 2 可构造为圆上的点到坐标原点距离的平方，y从而将问题转化为两点间距离问题，使原问题明朗化.4C解:设P (x、 y) 为圆 ( x3) 2( y4)21 上任意一点，就3D222222222PAPB( x1)y( x1)y2(xy )2A1B如图 4，过圆心C 作直线 OC 交圆 C 于 D.E 两点，-1O圆 C 上点 D 即为到原点距离的最小点，E 即为到原点距离的最大点.234xyF而： OC(30) 2( 40) 25图44C3E2OD514、 OE516、1AB222就 PAPB的最小值为24234 ，最大值为26 2274 .-1O1234x例题 5 分析：设椭圆的左焦点为F 、就由椭圆定义知PFPF图 410 ，PFPA10PFPA10PAPF问题转化为求PAPF的最大值 .联想到构造三点共线的线段，连结 AF延长交椭圆于P 点，由三角形学问易知PAPF的最大值为AF，问题得以解决.解:如图 5，设 F为椭圆的左焦点，就由椭圆定义PFPF10 ，第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -就 PFPA10PFPA10PAPFy连结 AF延长交椭圆于P 点，如 P 与 P 点不同 .就在APF 中PAPFAFP AP FAFFP0OxPAPF的最大值为AFPa5、 b3、c4图 5F (4、0)、 A(1、1)AF26 ，故 PFPA 得最大值为 1026例题 6 分析：A(3、2) 在抛物线内，设P 到准线的距离为PT ，就由抛物线定义PAPFPAPT，当且仅当P. A.T 三点共线时，PAPF 的值最小 .解:如图 6， P 为抛物线上任意一点，过 P 作 PT 垂直于准线l ，就y由抛物线定义知PFPTT0P0A 2就 PFPAPTPATP 1过A作准线l 的垂线交抛物线y22 x 于 P 点，-1OF123yFx交准线 l 于 T 点.4C由三角形学问知3E2PTPAP TP ATA图 6A1B准线 l 的方程为x1 ，2-1O1234xA T3(1)7图 4227故 PAPF 的最小值为2第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例题 7 分析 : 先将椭圆方程x28 y 28 化为标准方程x228y1 ，即 a22 、b1 、再将标准方程转化成参数方程的坐标 、x22 cos ysin(为参数） 就得到动点P( 22 cos、sin)利用点到直线的距离公式及三角函数的求最值的方法、问题得到解决.解:将 x28 y 28 化成参数方程x22 cos ysin( 为参数），设P (22 cos、 sin) ，22 cossin43sin()4221就 d（其中sin、cos）2233当 sin()1 时，2d min.2此时可以取得，从而可得到P(28 、 1 )33.应选 A.例题 8 分析： 由圆C : (xa) 2( y a 2b) 2b 28、 (ab0) 过坐标原点得a 2b 28 ，抓住定值 a 2b 28 、利用重要不等式ab 求最值， 但为不要忽视等号成立的条件(一正.2二定.三相等 ).解:由圆 C 过原点，就a 2b 28 .圆心 C (a、 b) 到直线l : x ay1的距离 bd Cla 2b 2aba 2b 2a 2b 2a 2a 2b 2242b 28所以圆心C ( a、 b) 到直线 l 距离的最小值为2 .第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -