2021年2021年圆锥曲线与向量的综合性问题.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -圆锥曲线与向量的综合性问题一.常见基此题型：在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要为利用向量的相等.平行.垂直去查找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用；(1) 问题的条件以向量的形式出现，间接的考查向量几何性质.运算性质，例 1 .设F (1、0) ， M 点在 x 轴的负半轴上，点P 在 y 轴上，且MPPN、 PMPF 当点 P 在 y 轴上运动时，求点N 的轨迹 C 的方程；解：（解法一）MPPN ，故 P 为 MN 的中点设 N (x、 y ) ，由 M 点在 x 轴的负半轴上，就M (x、0) 、 P(0、y ) 、 ( x0) 2又 F (1、0) ，PM(x、y ) 、 PF(1、y )222又PMPF ，PMPFxy04所以，点 N 的轨迹 C 的方程为y 24 x ( x0)（解法二）MPPN ，故 P 为 MN 的中点设 N (x 、 y) ，由 M 点在 x 轴的负半轴上，就M (x、0) 、 P(0、y ) 、 (x0)- 222又由 MPPN、 PMPF ，故 FNFM ，可得222FNFM2由 F (1、0) ，就有 ( x1)y(x1) ，化简得：y4 x (x0)所以，点 N 的轨迹 C 的方程为y 24 x ( x0)例 2.已知椭圆的方程为xy1(ab0) ，它的一个焦点与抛物线y28x 的焦点22a2b2重合，离心率eA . B 两点25 ，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于5（ 1 ）求椭圆的标准方程；（ 2 ）设点M (1、0) ，且 ( MAMB)AB ，求直线 l 的方程；22解：（）设椭圆的右焦点为(c、0)，由于y28x 的焦点坐标为(2、0) ，所以 c2由于 ec a25 ，就5a5 ， b1第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -（）由（ I）得故椭圆方程为：F (2、0) ，设 l 的方程为x22xy 215yk ( x2) （ k0 ）代入y 21，得， 522设 A( x1、y1 )、 B(x2 、 y2 )、 就 x1x220k2、 x1 x220k5 ，25k15k1y1y2k( x1x24)、 y1y2k ( x1x2 )MAMB(x11、 y1)(x21、 y2)( x1x22、 y1y2 )、 AB(x2x1、 y2y1 )(MAMB)AB0、( x1x22)( x2x1)( y2y1)( y1y2 )020k 24k 220、3k 2310、 k5k 215k 213所以直线 l 的方程为 x3y20或 x3y20（ 2）所求问题以向量的形式出现例 3.已知椭圆E 的长轴的一个端点为抛物线y245x 的焦点，离心率为63（ 1）求椭圆E 的方程；（ 2）过点C（ 1， 0 ），斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A. B 两点，请问x 轴上为否存在点M ，使 MAMB 为常数？如存在，求出点M 的坐标；如不存在，请说明理由；解：（ 1）依据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且 a5、 又cea6530 、故ba2c2335105 、33x2故所求方程为5y2251、即 x33 y25 ，（ 2 ）假设存在点M 符合题意，设AB ： yk (x1)、 代入E : x 23y 25得： (3k 21) x26k 2 x3k 250第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -设A( x1 、 y1 )、 B(x2 、y2 )、 M (m、0) 就 x1x26k 222223k 2、 x1 x213k 253k 21MAMB( k1) x1x2( km)( x1x1)km2m2 m16m1433(3k21)要使上式与k 无关，就有 6 m140、解得 m7，存在点 M (37 、0)3满意题意；例 4 .线段 AB 过 y 轴上一点 N到 y 轴的距离之差为4k .0、 m ， AB 所在直线的斜率为kk0 ，两端点A . B( ) 求出以 y 轴为对称轴，过A . O . B 三点的抛物线方程；( ) 过该抛物线的焦点F 作动弦 CD ，过 C . D 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M ，求点 M 的轨迹方程，并求出FCFD的值 .FM 2解： ( ) 设 AB 所在直线方程为ykxm ，抛物线方程为x22 py ，且 A x1、 y1 ，B x2 、 y2，不妨设x10 ， x20x1x24k即 x1x24k把 ykxm 代入 x22 py 得 x22 pkx2 pm0x1x22 pk ，2 pk4k( ) 设p2故所求抛物线方程为x24 y12121121122424Cx3 、 4 x3， Dx4 、 4 x4就过抛物线上C . D 两点的切线方程分别为yx3xx3 ， yx4xx4两条切线的交点M 的坐标为x3x4 、 x3 x4 24设 CD 的直线方程为ynx1 ，代入 x24 y 得 x24nx40x3 x44故 M 的坐标为x3x4 、1 2点 M 的轨迹为y1第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -x12FCx3 、31412FDx4 、x414FCFDx3 x41212x3x444122x3x414x122x3x413x41422122xx342422而 FMx3x402112故 FA FB2x3x4412x3 x41222xx4434FM(3) 问题的条件及待求的问题均已向量的形式出现例 5.在直角坐标系xOy 中，长为21的线段的两端点C.D 分别在x 轴. y 轴上滑动， CP2 PD 记点 P 的轨迹为曲线E （ I）求曲线E 的方程；（ II ）经过点（ 0， 1 ）作直线l 与曲线E 相交于A.B 两点，OMOAOB、 当点M 在曲线 E 上时，求 cosOA、OB的值解：（）设C (m， 0) ， D (0 ， n )，P (x ， y )由2CPPD，得 ( x m ， y)2( x， ny )，x m 2x ，得y2( n y )，m (2 1) x，2 1n2y，|由CD| 2 1 ，得 m2 n2(2 1) 2， (2 1) 2 x2 (2 1) 22y 2 (21) 2 ，整理，得曲线E 的方程为x2y 2 2 1 （）设 A (x 1， y 1)， B (x 2， y 2) ，由 OM OA OB，知点 M 坐标为 (x 1 x 2， y1 y 2)设直线 l 的方程为y kx 1 ，代入曲线E 方程，得 (k 2 2) x 22 kx 1 0 ，2 k1就 x1 x2 k 2 2， x 1x 2 k 2 2y 1 y 2 k (x 1 x2 ) 2 4，k2 2第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -由点 M 在曲线 E 上，知 (x1 x 2)2( y1 y2 )22 1，4k 2即 (k2 2) 2(k 28 2)2 1，解得 k 2 2这时 x 1x 2 y 1y 2 x 1 x2 (kx 1 1)( kx 2 1) (1 k 2) x1x2 k(x2 x2 ) 1 3 ，411221212(x 2 y 2)( x2 y 2) (2 x2)(2 x 2) 42( x2 x2 ) (x1 x2 )2 4 2( x1 x2)2 2x 1x 2 (x 1x 2)2 33，16 ， x 1x 2 y1y 233cosOAOB1122(x2 y 2)( x2 y2 )11 二.针对性练习1. 已知圆 M ： ( x5) 2y 236 及定点N (5、0) ，点P 为圆 M 上的动点，点Q 在 NP 上，点 G 在 MP 上，且满意 NP2NQ、GQNP0.（1 ）求点 G 的轨迹 C 的方程；（2 ）过点 K（ 2，0 ）作直线l 、 与曲线 C 交于 A .B 两点，O 为坐标原点，设OSOAOB、为否存在这样的直线l 、 使四边形OASB的对角线相等？如存在，求出直线l 、 的方程；如不存在，说明理由.解：（ 1 ）由NP2 NQGQNP0Q 为 PN 的中点，且GQPNGQ 为 PN 的中垂线，PGGN ， PMGMGPGMGN6 25 .点 G 的轨迹为以M .N 为焦点的椭圆，又a3、 c5b2.x2y21.（ 2 ） . OS94OAOB四边形 OASB 为平行四边行，假设存在直线1，使 OSAB四边形 OASB 为矩形OAOB.如 1 的斜率不存在，就1 的方程为 x2、x2由x2y2x2y25OA OB16 0.9943第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -这与 OA OB0 相冲突， 1 的斜率存在 .设直线 1 的方程ykx2 、 A x1 、 y1、 Bx2 、 y2.yk x2x2y2，化简得：19k 24 x236k2 x36 k 210.94 x1x236k 22、 x1x236 k 212、9 k49k4 y1 y2k x12 .k x222kx1x22 x1x2420k29 k2436 k 2120k 23由 OAOB0x1 x2y1 y20 9k 249k 240k2 .存在直线1： 3 x2 y60 或 3x2 y60 满意条件 .二.针对性练习1. 已知过抛物线y22px p0 的焦点，斜率为22 的直线交抛物线于A( x1、 y2 ) 、Bx2 、 y2（ x1x2 ）两点，且AB9 （ 1）求该抛物线的方程；（ 2） O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，如OCOAOB ，求的值解：（ 1）直线 AB的方程为y22( xp ) 、 与2y22 px 联立，消去 y ，得4x25pxp25 p0 ，所以 x1x2，4由抛物线定义得：ABx1x2p9 ，所以 p=4，抛物线方程为：y28x2（ 2）由 p=4， 4x5 pxp20、 化简得 x25x40 ，从而 x11、 x24、 y122 、 y242 、 从而 A(1、22 )、B(4、42 )2设 OC(x3、 y3 )(1、22 )( 4、42 ) =(14、2242) ，2又由于 y38x3 ，即 22 218（ 41 ），第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -即 ( 21)41 ，解得0、 或222.在平面直角坐标系内已知两点A(1、0) .B(1、0)，如将动点P( x、 y) 的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原先的2 倍后得到点Q (x 、2 y) ，且满意AQBQ1.（）求动点P 所在曲线 C 的方程；（）过点B 作斜率为22的直线 l 交曲线 C 于 M . N 两点，且OMONOH0 ，又点 H 关于原点 O 的对称点为点G ，试问 M .G .N .H 四点为否共圆？如共圆，求出圆心坐标和半径；如不共圆，请说明理由.解（）设点P 的坐标为 (x 、 y) ，就点 Q 的坐标为 ( x、2 y ) ，22依据题意，有AQ( x1、2 y)、 BQ( x1、2 y).AQBQ1、x12 y1.2动点 P 所在曲线 C 的方程为x2y21.（）因直线l 过点 B ，且斜率为k2 ，故有2l : y2 (x21).联立方程组xy2122，消去 y ，得2x 22 x10.y2 ( x1)2设 M (x1 、 y1 ) .N ( x2 、 y 2 ) ，可得x1x2 x1x211 ，于为2x1x212 .y1y22又 OMONOH0 ，得 OH(xx 、yy )、 即 H ( 1、2 )1212而点 G 与点 H 关于原点对称，于为，可得点2G(1、2).2如线段 MN . GH 的中垂线分别为l 1 和 l2 ， kGH2，就有212l : y22( x1)、 l: y2 x.42y22( x1)12联立方程组y42，解得2xl1 和 l2 的交点为O1 (、).88第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -因此，可算得|O1H |(、9) 2( 322)3 11888|O M|( x1) 2( y2 )2311 .111888所以 M . G . N . H 四点共圆，且圆心坐标为O ( 1 、2 )、 半径为188311.8第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -