数列求和的基本方法和技巧 (2).ppt
关于数列求和的基本关于数列求和的基本方法和技巧方法和技巧(2)现在学习的是第1页，共69页数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面谈谈数列求和的基本方法和技巧.现在学习的是第2页，共69页一一.公式法公式法：等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式 现在学习的是第3页，共69页例例1 1：求和：求和：现在学习的是第4页，共69页错位相减法：错位相减法：如果一个数列的各项是由一如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法可采用错位相减法.既既an nbn n型型等差等比现在学习的是第6页，共69页2错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由一个如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列等差数列和一个等比数列的对应项之积构的对应项之积构成的，那么这个数列的前成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求项和即可用此法来求.【错位相减法错位相减法】设设 an的前的前n项和为项和为Sn，ann2n，则，则Sn现在学习的是第7页，共69页例例4 求数列 前n项的和解：由题可知，解：由题可知，的通项是等差数列的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项与等比数列 的通项之积的通项之积设设 （设制错位）（设制错位）得得现在学习的是第8页，共69页2022/9/279已知数列现在学习的是第9页，共69页2022/9/2710解解：第一步，写出该数列求和的展开等式第二步，上式左右两边乘以等比数列公比现在学习的是第10页，共69页2022/9/2711第三步，两式进行错位相减得：化简整理得:现在学习的是第11页，共69页 解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：例例3 求和：现在学习的是第12页，共69页现在学习的是第16页，共69页现在学习的是第17页，共69页2022/9/27231、2、已知数列求该数列的前n项和。现在学习的是第23页，共69页四、分组法求和四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可并即可.现在学习的是第24页，共69页 cn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。）为等差或等比数列。）项的特征项的特征反思与小结：反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差要善于从通项公式中看本质：一个等差 n n 一个等比一个等比22n n ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.分组求和法分组求和法现在学习的是第25页，共69页 ,+n 11.求数列求数列 +2 3 ,+的前的前n项和项和。,2 2 2 ,3 2 n 2 +1 2 3 n 解：解：=(1+2+3+n)Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+(+)2 2 3 2 2 +(2+2 +2 +2 )n23=n(n+1)22(2 -1)2-1n+=n(n+1)2+2 -2n+1分组求和法分组求和法现在学习的是第26页，共69页例例5.求下面数列的前求下面数列的前n项和项和 现在学习的是第27页，共69页解（解（1）：该数列的通项公式为）：该数列的通项公式为 现在学习的是第28页，共69页n n个个现在学习的是第30页，共69页例例8 求数列求数列n(n+1)(2n+1)的前的前n项和项和.解：设解：设 将其每一项拆开再重新组合得将其每一项拆开再重新组合得 Sn（分组）（分组）现在学习的是第31页，共69页例例6 6：1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2=？局部重组转化为常见数列并项求和并项求和现在学习的是第33页，共69页练习：练习：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+(-1)=-1+3-5+7+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21现在学习的是第34页，共69页五五.相间两项成等差等比综合相间两项成等差等比综合现在学习的是第35页，共69页现在学习的是第36页，共69页an是等差数列，是等差数列，an=1+(n-1)=n1.若若a1=1,且且an+am=an+m(n,mN*),则则an=_解解:n=m=1时，时，a2=a1+a1=2,得得a1=1,a2=2m=1时时,由由an+am=an+m 得得an+1=an+1，即，即an+1-an=1n2.若若b1=2，且，且bmbn=bm+n，则，则bn=_解：解：n=m=1时，时，b2=b1b1=4,即即b1=2，b2=4，m=1时时,由由bnbm=bn+m 得得bn+1=bn b1=2bn，故故bn是首项为是首项为b1=2，公比为，公比为q=2的等比数列，的等比数列，bn=22n-1=2n 2n 练习练习现在学习的是第37页，共69页列项求和法：列项求和法：把把数数列列的的通通项项拆拆成成两两项项之之差差，即即数数列列的的每每一一项项都都可可按按此此法法拆拆成成两两项项之之差差，在在求求和和时时一一些些正正负负项项相相互互抵抵消消，于于是是前前n n项项的的和和变变成成首首尾尾若若干干少少数数项项之之和和，这这一一求求和和方方法法称称为为分分裂裂通通项项法法.（见见到分式型的要往这种方法联想到分式型的要往这种方法联想）现在学习的是第38页，共69页求数列前求数列前n项和方法之一：项和方法之一：裂项相消法裂项相消法现在学习的是第39页，共69页1特别是对于特别是对于 ，其中，其中 是各项均不为是各项均不为0的等差数列，通常用裂项的等差数列，通常用裂项相消法，即利用相消法，即利用 (其中其中dan1an)现在学习的是第40页，共69页常见的拆项公式有：现在学习的是第41页，共69页常见的裂项公式有：现在学习的是第42页，共69页练习：求和练习：求和裂项法求和裂项法求和提示：提示：现在学习的是第43页，共69页现在学习的是第44页，共69页例例9 在数列在数列an中，中，又，又求数列求数列bn的前的前n项项的和的和 解：解：（裂项）（裂项）数列数列bn的前的前n项和项和 现在学习的是第45页，共69页现在学习的是第46页，共69页现在学习的是第47页，共69页现在学习的是第48页，共69页七、利用数列的通项求和七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方项和，是一个重要的方法法.现在学习的是第49页，共69页例例7 7：已知数列：已知数列5 5，5555，555555，55555555，求满足前求满足前4 4项条件项条件的数列的通项公式及前的数列的通项公式及前n n项和公式。项和公式。练习：求和练习：求和S Sn n=1+(1+2)+(1+2+2=1+(1+2)+(1+2+22 2)+(1+2+2)+(1+2+22 2+2+23 3)+)+(+(1+2+21+2+22 2+2+2n-1n-1)通项分析求和通项=2n-1现在学习的是第50页，共69页先求通项再处理通项现在学习的是第51页，共69页现在学习的是第52页，共69页现在学习的是第53页，共69页例例14 求求之和之和.解：由于解：由于（找通项及特征）（找通项及特征）现在学习的是第54页，共69页例例15 已知数列已知数列an：的的值值.解：解：（找通（找通项项及特征）及特征）（设制分组）（设制分组）（裂项）（裂项）（分组、裂项求和）（分组、裂项求和）现在学习的是第55页，共69页综合练习综合练习现在学习的是第56页，共69页现在学习的是第57页，共69页现在学习的是第58页，共69页现在学习的是第59页，共69页解：解：(1)证明：由题意得证明：由题意得2bn1bn1，bn112bn22(bn1)又又a12b111，b10，b1110.故数列故数列bn1是以是以1为首项，为首项，2为公比的等比数列为公比的等比数列现在学习的是第60页，共69页现在学习的是第61页，共69页现在学习的是第62页，共69页现在学习的是第63页，共69页现在学习的是第64页，共69页现在学习的是第65页，共69页现在学习的是第66页，共69页现在学习的是第67页，共69页3已知二次函数已知二次函数f(x)x25x10，当，当x(n，n1(nN*)时，把时，把f(x)在此区间内的整数值的个数表示为在此区间内的整数值的个数表示为an.(1)求求a1和和a2的值；的值；(2)求求n3时时an的表达式；的表达式；现在学习的是第68页，共69页2022/9/27感谢大家观看现在学习的是第69页，共69页
