浙江专用2016高考数学二轮复习专题规范练4解析几何问题理.doc

规范练四解析几何问题1已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，右焦点到直线l1：3x4y0的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l2：ykxm(km0)与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点恰好在直线l1上，求OAB的面积S的最大值(其中O为坐标原点)解(1)由题意，得e.右焦点(c,0)到直线3x4y0的距离为，c1，a2.椭圆的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线l2：ykxm代入椭圆方程1，得(4k23)x28kmx4m2120，因此x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2m.AB中点M，又点M在直线l1上，得3×4×0，k1，故x1x2，x1x2，|AB|x1x2|，原点O到AB的距离为d|m|，S×，当且仅当m2时取到等号，经检验此时>0成立故OAB的面积S的最大值为.2已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：xy0与以原点为圆心， 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1k24，证明：直线AB过定点.(1)解等轴双曲线离心率为，椭圆C的离心率e.e2，a22b2.由xy0与圆x2y2b2相切，得b1，a22.椭圆C的方程为y21.(2)证明若直线AB的斜率不存在，设方程为xx0，则点A(x0，y0)，B(x0，y0)由已知4，得x0.此时AB方程为x，显然过点.若直线AB的斜率存在，设AB方程为ykxm，依题意m±1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(12k2)x24kmx2m220.则x1x2，x1x2.由已知k1k24，可得4，4，即2k(m1)4，将x1x2，x1x2代入得k2，k2(m1)，m1.故直线AB的方程为ykx1，即yk1.直线AB过定点.综上，直线AB过定点.3设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C：1(a>b>0)上两点，已知m，n，若m·n0且椭圆的离心率e，短轴长为2，O为坐标原点(1)求椭圆的方程；(2)试问AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由解(1)2b2，b1，e.a2，c.故椭圆的方程为x21.(2)当直线AB斜率不存在时，即x1x2，y1y2，由m·n0，得x0y4x.又A(x1，y1)在椭圆上，所以x1，|x1|，|y1|，S|x1|y1y2|x1|·2|y1|1.当直线AB斜率存在时，设AB的方程为ykxb(其中b0)，代入x21，得(k24)x22kbxb240.有(2kb)24(k24)(b24)16(k2b24)>0，x1x2，x1x2，由已知m·n0得x1x20x1x20，代入整理得2b2k24，代入中可得b2>0满足题意，S|AB|b| 1.综上，所以ABC的面积为定值4如图，已知A是圆x2y24上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2.它们与椭圆y21都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.(1)若A(2,0)，求直线l1，l2的方程；(2)求证：对于圆上的任一点A，都有l1l2成立；求AMN面积的取值范围(1)解设过点A的直线的方程为yk(x2)，代入y21得(13k2)x212k2x12k230，由0得，k210，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，得k11，k21.直线l1，l2的方程分别为yx2，yx2.(2)证明()当l1，l2斜率都存在时，设点A(x0，y0)，则xy4.设经过点A(x0，y0)与椭圆只有一个公共点的直线为yk(xx0)y0，代入y21化简得(13k2)x26k(y0kx0)x3(y0kx0)230，由0化简整理得(3x)k22x0y0k1y0，xy4，(3x)k22x0y0x30.设l1，l2的斜率分别为k1，k2，l1，l2与椭圆只有一个公共点，k1，k2是方程(3x)k22x0y0kx30的两个根，即k1k21，l1，l2垂直()当l1，l2其中有一条直线斜率不存在时，设l1斜率不存在l1与椭圆只有一个公共点，其方程为x±，当l1方程为x时，此时l1与圆交于点(，±1)，l2方程为y1(或y1)；显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为x时，直线l1，l2垂直综上，对于圆上的任意一点A，都有l1l2成立解记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则AMN的面积S2d1d22·2.92x1,9，S2，4AMN面积的取值范围为2，44