【备战2013】高考数学 6年高考母题精解精析 专题10 圆锥曲线03 文.doc
-1-备战备战 20132013 高考数学高考数学（文文）6 6 年高考母题精解精析专题年高考母题精解精析专题 1010 圆锥曲线圆锥曲线 0303一、选择题一、选择题:1.（20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 9)9)设 M(0 x，0y)为抛物线 C：28xy上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、FM为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则0y的取值范围是(A)(0，2)(B)0，2(C)(2，+)(D)2，+)【答案】C3.3.（20112011 年高考海南卷文科年高考海南卷文科 9)9)已知直线已知直线l过抛物线过抛物线 C C 的焦点的焦点,且与且与 C C 的对称轴垂直的对称轴垂直,l与与 C C 交交于于 A,BA,B 两点两点,|AB|=12,P,|AB|=12,P 为为 C C 的准线上一点的准线上一点,则则ABP的面积为的面积为()A.18A.18B.24B.24C.36C.36D.48D.484.(2011(2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 3)3)双曲线xy的实轴长是-2-（A）2(B)(C)4(D)4【答案】C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】xy可变形为22148xy，则24a，2a，24a.故选 C.5 5(2011(2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 8)8)设圆设圆 C C 与圆与圆外切外切，与直线与直线0y 相切相切则则C C 的圆心轨迹为（的圆心轨迹为（）A A 抛物线抛物线B B 双曲线双曲线C C 椭圆椭圆D D 圆圆6.（20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 9)9)已知椭圆22122:1xyCab（ab0）与双曲线222:14yCx 有公共的焦点，2C的一条渐近线与1C2C的长度为直径的圆相交于,A B两点.若1C恰好将线段AB三等分，则（A）2132a（B）213a（C）212b(D)22b【答案】C【解析】：由1c恰好将线段 AB 三等分得133AAxxxx由2225,5Ayxxaxy52 5,1515xa ya22222252 5()()52 51515(,)1111515aaaaabab 在椭圆上,又22215,2abb，故选 C.-3-7.7.(20112011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 6)6)已知双曲线已知双曲线22221(0,0)xyabab的左顶点与抛物线的左顶点与抛物线22(0)ypx p的焦点的距离为的焦点的距离为 4,4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),(-2,-1),则双曲线的焦距为则双曲线的焦距为A.A.2 3B.B.2 5C.C.4 3D.D.4 5【答案】B B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为2x ,所以4p,又42pa,所以2a,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为12yx,即12ba,所以1b,即25c,22 5c,选 B.8.（20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 11)11)设圆锥曲线 I的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 I上存在点 P 满足1PF：12FF：2PF=4:3:2，则曲线 I的离心率等于A.1322或B.223或C.122或D.2332或【答案】A【解析】由1PF：12FF：2PF=4:3:2，可设14PFk,123FFk,22PFk,若圆锥曲线为椭圆,则26ak,23ck,12e;若圆锥曲线为双曲线,则22ak,23ck,32e,故选 A.9.（20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 11)11)在抛物线 y=x2+ax-5(a0)上取横坐标为 x1=-4,x2=2 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆225536xy相切，则抛物线的顶点坐标是（）（A）(-2,-9)（B）(0,-5)(C)(2,-9)（D）(1,6)-4-10.（20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 2)2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x ，则抛物线的方程是（A）28yx（B）24yx(C)28yx(D)24yx【答案】C【解析】：设抛物线方程为2yax，则准线方程为4ax 于是24a 8a故选 C11（20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 6)6)设双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程为320,xy则a的值为（）A4B3C2D1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3yxa，故可知2a。12（20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 4)4)将两个顶点在抛物线22(0)ypx p上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则A.0n B.1n C.2n D.3n 答案：C-5-解析：设满足条件的正三角形的三顶点为 A、B、F(,0)2P，依题意可知，A、B 必关于 x 轴对称，故设200(,)2yAyP0(0)y，则200(,)2yByP，则0|2ABy，故由抛物线定义可得20|22yPAFP，则由|ABAF，解得220040yPyP，由判别式计算得0，故有两个正三角形，可知选 C.13.（20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 7)7)已知 F 是抛物线2yx的焦点，AB 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为(A)34(B)1(C)54(D)74答案：C解析：设 A、B 的横坐标分别是 m、n，由抛物线定义，得AFBF3=m+14+n+14=m+n+12=3，故 m+n=52，524mn，故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为54。二、填空题：二、填空题：14.（20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 15)15)已知双曲线22221(0b0)xyaab，和椭圆22xy=1169有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为.-6-16.（20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 14)14)双曲线2216436xy上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4，那么点 P 到左准线的距离是.答案：16解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12 舍去），设 P 到左准线的距离是 d，由第二定义，得20108d，解得16d.17.（20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 16)16)已知F1、F2分别为双曲线C:29x-227y=1 的左、右焦点，点AC，点 M 的坐标为(2，0)，AM 为F1AF2的平分线则|AF2|=.已知F1、F2分别为双曲线C:29x-227y=1 的左、右焦点，点 AC，点 M 的坐标为(2，0)，AM为F1AF2的平分线则|AF2|=.【答案】6【解析】：12(6,0),(6,0)FF，由角平分线的性质得1122824AFFMAFMF又122 36AFAF 26AF18（20112011 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 9)9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为A(0,2)B(1,2)C2(,1)2D(2，)【答案】B三、解答题：三、解答题：18.（20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 22)22)（本小题满分 14 分）-7-在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:13xCy.如图所示，斜率为(0)k k且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x 于点(3,)Dm.（）求22mk的最小值；（）若2OGODOE，（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（）（i）证明:由题意知:n0,因为直线 OD 的方程为3myx,所以由22313myxxy 得交点G 的纵坐标为223Gmym,又因为21 3Enyk,Dym,且2OGODOE，所以22231 3mnmmk,又由（）知:1mk,所以解得kn,所以直线l的方程为:l ykxk,即有:(1)l yk x,令1x 得,y=0,与实数 k 无关,所以直线l过定点(-1,0).（ii）假设点B，G关于x轴对称,则有ABG的外接圆的圆心在 x 轴上,又在线段 AB 的中-8-垂线上,由（i）知点 G(23(,3m2)3mm,所以点 B(23(,3m2)3mm,又因为直线l过定点(-1,0),所以直线l的斜率为223313mmkm，又因为1mk，所以解得21m 或 6，又因为230m,所以26m 舍去,即21n，此时 k=1，m=1，E3(,41)4，AB 的中垂线为 2x+2y+1=0，圆心坐标为1(,0)2，G(3(,21)2,圆半径为52，圆的方程为2215()24xy.综上所述,点B，G关于x轴对称,此时ABG的外接圆的方程为2215()24xy.19.（20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 19)19)(本小题满分 12 分）已知过抛物线022ppxy的焦点，斜率为22的直线交抛物线于12,A x y22,B xy（12xx）两点，且9AB（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OBOAOC，求的值【解析】（1）直线 AB 的方程是,05x4px2y),2(22222ppxpxy联立，从而有与所以：4521pxx，由抛物线定义得：921pxxAB，所以 p=4，抛物线方程为：xy82（2）由 p=4，,05x422ppx化简得0452 xx，从而,4,121xx24,2221yy,从而 A:(1,22),B(4,24)设)24,4()22,1()(3,3yxOC=)2422,41(，又3238xy，即212228（41），即14)12(2，解得2,0或.20.（20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 18)18)（本小题满分 12 分）-9-如图，直线 l：y=x+b 与抛物线 C：x2=4y 相切于点 A。（1）求实数 b 的值；（11）求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.【解 析】（I）由24yxbxy得2440 xxb()因 为 直 线l与 抛 物 线C相 切,所 以2(4)4(4)0b ,解得1b .（II）由（I）可 知1b ,故 方 程()即 为2440 xx,解得2x,将其代入24xy,得 y=1,故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的距离等于圆 A 的半径r,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为22(2)(1)4xy.【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.21（20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 21)21)已知平面内一动点P到点 F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的等等于 1（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l，设1l与轨迹C相交于点,A B，2l与轨迹C相交于点,D E，求AD EB的最小值解析：（I）设动点P的坐标为(,)x y，由题意为22(1)|1.xyx化简得222|,yxx当20,4;0 xyxx时当时,y=0.、所以动点 P 的轨迹 C 的方程为2,4(0)0)yx xx和y=0(.（II）由题意知，直线1l的斜率存在且不为 0，设为k，则1l的方程为(1)yk x-10-由2(1)4yk xyx，得2222(24)0.k xkxk设1122(,),(,),A x yB xy则12,x x是上述方程的两个实根，于是1212242,1xxx xk因为12ll，所以2l的斜率为1k设3344(,),(,),D xyB xy则同理可得2343424,1xxkx x故12342222()()|(1)(1)(1)(1)41(2)1 1(24)1184()AD EBAFFDEFFBAF EFAF FBFD EFFD FBAFFBFDEFxxxxkkkk 22184 216kk 当且仅当221kk即1k 时，AD EB取最小值 1622.（20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 17)17)（本小题满分 12 分）设椭圆 C:222210 xyabab过点（0，4），离心率为35（）求 C 的方程；（）求过点（3，0）且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点坐标解：（）将（0，4）代入 C 的方程得2161bb=4 又35cea得222925aba即2169125a，5a C 的方程为2212516xy（）过点3,0且斜率为45的直线方程为435yx，设直线与的交点为11,x y，22,xy，将直线方程435yx代入的方程，得22312525xx，即2380 xx，解得13412x，23412x，-11-AB 的 中 点 坐 标12322xxx，1212266255yyyxx，即 中 点 为36,25。注：注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。23.（20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 21)21)（本小题共 12 分）过点(0,1)C的椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，椭圆与x轴交于两点,0A a、(,0)Ba，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（）当点 P 异于点 B 时，求证：OP OQ为定值.解 析：（I）因 为 椭 圆 过 C(1,0)，所 以 b=1.因 为 椭 圆 的 离 心 率 是32，所 以2223,2cabca又，故2,3ac，椭圆方程为2214xy.当直线l过椭圆右焦点时，直线l的方程为13xy，由221,41,3xyxy得8 3,71,7xy 或0,1.xy则8 30,1,17CD,故228 31|177CD 167.（）直线CA的方程为12xy.设点P0,0 x0(2)x ，则直线AP的方程为01xyx.-12-把代入椭圆方程，得02084Dxxx，从而可求200220084,44xxDxx.因为 B(-2,0),所以直线 BD 的方程为002222xyxx，由可得04Qxx，从而求得0042,1Qxx.00042014OP OQxxx，所以OP OQ为定值.24.（20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 22)22)(本小题满分 12 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知O为坐标原点，F为椭圆22:12yC x 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为2的直线l与C交与A、B两点，点P满足0.OAOBOP()证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【解析】()证明：由221(0,1)2yxF 得，:21l yx，由2221242 21012yxxxyx 得设111112 284 4(1)26(,),(,),2 44A x yB x yx 则22 284 4(1)262 44x ，126312142y ，226132142y 0.OAOBOP12122()2()1ppxxxyyy -13-222221()1222ppyx 故点 P 在 C 上（）法一：点 P2(,1)2，P 关于点 O 的对称点为 Q，2(,1)2Q，221112211131()111121122261()22242AQAPyyyKKxxx ，即90PAQ，同理1PBBQKK 即90PBQ，180PAQPBQA、P、B、Q 四点在同一圆上.法二：由已知有1,22Q则PQ的中垂线为：xy22设A、B的中点为33,yxD 2121212242211213213xxyyyxxx21,42D则AB的中垂线为：4122xy则PQ的中垂线与AB的中垂线的交点为81,82O8113|QOPO81,82O到直线AB的距离为8333|181822|d22343|21221221221xxxxyyxxAB81132|22dABBOAO即|QOPOBOAOA、P、B、Q四点在同一圆上。25.（20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 21)21)（本小题满分 13 分）平面内与两定点12(,0),(,0)(0)AaA aa连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹，加上 A1、A2两点所在所面的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线.()求曲线 C 的方程，并讨论 C 的形状与 m 的位置关系；-14-()当 m=-1 时，对应的曲线为 C1：对给定的(1,0)(0,)m，对应的曲线为 C2，设 F1、F2是 C2的两个焦点，试问：在 C1上，是否存在点 N，使得F1NF2的面积2Sm a，若存在，求12tan F NF的值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.解析：（1）设动点为 M，其坐标（x,y）.当xa 时，由条件可得21222,yyykmkmmxa xaxa即222().mxymaxa 又12(,0),(,0)AaA a的坐标满足222.mxyma故依题意，曲线 C 的方程为222.mxyma当1m 时，曲线 C 的方程为22221xyama，C 是焦点在y轴上的椭圆；当1m 时，曲线 C 的方程为222xya，C 是圆心在原点的圆；当10m 时，曲线 C 的方程为22221xyama，C 是焦点在x轴上的椭圆；当0m 时，曲线 C 的方程为22121xyama，C 是焦点在x轴上的双曲线.（2）由（1）知，当1m 时，C1的方程为222xya；当(1,0)(0,)m 时，C2的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FamF am.对于给定的(1,0)(0,)m，C1上存在点000(,)(0)N xyy 使得2|Sm a的充要条件是22200020,0 121|.2xyayam ym a由得00|ya，由得0|.1m aym当|0,1m aam即1502m，或1502m时.存在点 N,使2|;Sm a-15-当|,1m aam即1512m，或152m时，不存在满足条件的点 N.当1515,0)(0,22m时，由100200(1,),(1,)NFamxyNFamxy，可得22221200(1).NFNFxm ayma 令112212|,|,FNF=NFrNFr则由2121 2cos,NFNFrrma 可得21 2cosmarr，从而221 21sin1sintan,22cos2maSrrma 于是由2|.Sm a可得221tan|2mam a，即2|tan.mm 综上可得：当15,0)2m时，在 C1上，存在点 N，使得2|Sm a，且12tan2;F NF 当15(0,2m时，在 C1上，存在点 N，使得2|Sm a，且12tan2;F NF ；当1515(1,)(,)22m 时，在 C1上，不存在满足条件的点 N.
