2021年高考数学试题-(Ⅰ卷解析版).pdf

20212021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(1(1 卷）卷）数学数学（适用地区：山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建）（适用地区：山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建）本试卷共本试卷共 4 4 页，页，2222 小题，满分小题，满分 150150 分分.考试用时考试用时 120120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号考生号 考场号和座位号填写在答题卡上考场号和座位号填写在答题卡上.用用 2B2B 铅笔将试卷类型铅笔将试卷类型(A)(A)填填涂在答题卡相应位置上涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用2B2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上答案不能答在试卷上.3.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效不按以上要求作答无效.4.4.考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.设集合A x 2 x 4，B 2,3,4,5，则AB（）A.2【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求AB.【详解】由题设有A B 2,3，故选：B.2.已知z 2i，则zz i（）A.6 2i【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.2【详解】因为z 2i，故z 2i，故z z i 2i22i=4+4i2i2i 62iB.2,3C.3,4D.2,3,4B.4 2iC.62iD.4 2i故选：C.3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则l 22，解得l 2 2.故选：B.B.2 2C.4D.4 24.下列区间中，函数fx 7sinx单调递增的区间是（）6A.0,2B.,23C.,2D.3,22【答案】A【解析】【分析】解不等式2k2 x6 2k2kZ，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数y sin x的单调递增区间为2k,2kkZ，22fx 7sinx对于函数，由2k x 2kkZ，6262解得2k3 x 2k2kZ，3，2取k 0，可得函数fx的一个单调递增区间为,3322则0,，,，A 选项满足条件，B 不满足条件；23323358取k 1，可得函数fx的一个单调递增区间为,，333,223,且,23358358,2，,，CD 选项均不满足条件33233故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y Asinx形式，再求y Asinx的单调区间，只需把x 看作一个整体代入y sin x的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数x2y25.已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则MF1 MF2的最大值为94（）A.13【答案】C【解析】【分 析】本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 到MF1 MF22a6，借 助 基 本 不 等 式B.12C.9D.6 MF1 MF2MF1 MF2即可得到答案2【详解】由题，a29,b2 4，则MF1 MF22a6，2 MF1 MF2所以MF1 MF29（当且仅当MF1 MF23时，等号成立）2故选：C【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.6.若tan 2，则A.652sin1sin2（）sincosB.25C.25D.65【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(1 sin2cos2)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2即可得到结果【详解】将式子进行齐次化处理得：22sin1sin2sinsincos2sincossinsincossincossincossinsincostan2tan422sin2cos21tan2145故选：C【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2，求出sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论7.若过点a,b可以作曲线y ex的两条切线，则（）A.eb aC.0 a eb【答案】D【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线y ex的图象，根据直观即可判定点a,b在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线y ex上任取一点Pt,e，对函数y ex求导得y ex，tB.ea bD.0 b eatttt所以，曲线y ex在点P处的切线方程为ye ext，即y e x1te，ttttt由题意可知，点a,b在直线y e x1te上，可得b ae 1te a1te，tt令fta1te，则f tate.当t a时，f t0，此时函数ft单调递增，当t a时，f t0，此时函数ft单调递减，a所以，ftmax fae，a由题意可知，直线y b与曲线y ft的图象有两个交点，则b ftmaxe，当t a1时，ft 0，当t a1时，ft0，作出函数ft的图象如下图所示：由图可知，当0 b ea时，直线y b与曲线y ft的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线y ex的图象如图所示，根据直观即可判定点a,b在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0 b ea.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.8.有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（）A.甲与丙相互独立C.乙与丙相互独立【答案】B【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断11561P(甲)，P(乙)，P(丙)，P(丁)，【详解】，66363661P(甲丙)0 P(甲)P(丙)，P(甲丁)P(甲)P(丁)，361P(乙丙)P(乙)P(丙)，P(丙丁)0 P(丁)P(丙)，36B.甲与丁相互独立D.丙与丁相互独立故选：B【点睛】判断事件A,B是否独立，先计算对应概率，再判断P(A)P(B)P(AB)是否成立二二 选择题：本题共选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.9.有一组样本数据x1，x2，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，yn，其中yi xic(i 1,2,n),c为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C 利用两组数据的线性关系有E(y)E(x)c、D(y)D(x)，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断 B、D 的正误.【详解】A：E(y)E(xc)E(x)c且c 0，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为yi xic，显然不相同，错误；C：D(y)D(x)D(c)D(x)，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为xmax xmin，则第二组的极差为ymax ymin(xmaxc)(xminc)xmax xmin，故极差相同，正确；故选：CD10.已知O为坐标原点，点P1cos,sin，P2cos,sin，P3cos,sin，A 1,0，则（）A.OP1 OP2C.OAOP3OP1OP2【答案】AC【解析】【分析】A、B 写出OP，OP2、AP的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D1，AP12根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详 解】A：OPcos2sin21，1(cos,sin)，OP2(cos,sin)，所 以|OP1|OP2|(cos)2(sin)21，故|OP1|OP2|，正确；,sin)，AP,sin)，所以B：AP1(cos12(cos1|AP(cos1)2sin2cos22cos1sin22(1cos)4sin21|22，同理|AP2|(cos1)sin 2|sinB.AP1 AP2D.OAOP1OP2OP32 2|sin2|2|，故|AP1|,|AP2|不一定相等，错误；C：由题意得：OAOP31cos()0sin()cos()，OP1OP2 coscossin(sin)cos()，正确；D：由题意得：OAOP11cos0sin cos，OP2OP3 coscos()(sin)sin()cos cos 2，故一般来说OAOP1OP2OP3故错误；故错误；故选：AC11.已知点P在圆x 5y 516上，点A4,0、B0,2，则（）22A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时，PB 3 2D.当PBA最大时，PB 3 2【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断 AB选项的正误；分析可知，当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断 CD选项的正误.【详解】圆x 5y 516的圆心为M5,5，半径为4，22直线AB的方程为x4y1，即x 2y 4 0，2圆心M到直线AB的距离为525412221111 5 4，55所以，点P到直线AB的距离的最小值为B 选项错误；如下图所示：11 511 54 10，A 选项正确，4 2，最大值为55当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM PB，BM 05252234，MP 4，由勾股定理可得BP BM MP 3 2，CD22选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线l的距离的取值范围是d r,d r.12.正三棱柱ABC A1B1C1中，AB AA11，点P满足BPBCBB1，其中0,1，0,1，则（）A.当1时，AB1P的周长为定值B.当1时，三棱锥P A1BC的体积为定值C.当时，有且仅有一个点P，使得A1P BPD.当1时，有且仅有一个点P，使得A1B 平面AB1P212【答案】BD【解析】【分析】对于 A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于 B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于 C，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；对于 D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数【详解】易知，点P在矩形BCC1B1内部（含边界）对于 A，当1时，BP BCBB1=BCCC1，即此时P 线段CC1，AB1P周长不是定值，故 A 错误；对于 B，当1时，BPBCBB1=BB1BC故此时P点轨迹为线段B1C1，而B1C1/BC，11，B1C1/平面A1BC，则有P到平面A1BC的距离为定值，所以其体积为定值，故 B 正确对于 C，当11BPBCBB1，取BC，B1C1中点分别为Q，H，则BP BQQH，时，223P0,0,，所以P点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A12,0,1，311,0,1B0,0，则A1P BP 0,，A1PBP 1 0，所以 0或，2221故H,Q均满足，故 C 错误；对于 D，当11时，BPBCBB1，取BB1，CC1中点为M,NBP BM MN，所以22P点轨迹为线段MN设P0,y0,，因为A12331，0,0AP,y,，所以202，23 13111A1B,1y 0 y ，所以，此时P与N重合，故 D 正确00224222故选：BD【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.3xx13.已知函数fx xa2 2是偶函数，则a _.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a的值.3xx3xx【详解】因为fx xa2 2，故fx xa22，因为fx为偶函数，故fx fx，3xx3xxxx时xa2 2 xa22，整理得到a 12+2=0，故a 1，故答案为：114.已知O为坐标原点，抛物线C：y2 2px(p 0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ OP，若FQ 6，则C的准线方程为_.3【答案】x 2【解析】【分析】先用坐标表示P，Q，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p，即得结果.p【详解】抛物线C：y2 2px(p 0)的焦点F,0,2P 为C上一点，PF与x轴垂直，所以 P 的横坐标为p不妨设P(,p),2p，代入抛物线方程求得 P 的纵坐标为p,2因为 Q 为x轴上一点，且PQ OP，所以 Q 在 F 的右侧，又|FQ|6，Q(6p,0),PQ (6,p)2p6 p2 0,2因为PQ OP，所以PQOP p 0,p 3，3x 所以C的准线方程为23故答案为：x .2【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15.函数fx 2x1 2ln x的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】由解析式知f(x)定义域为(0,)，讨论0 x 究的单调性，即可求f(x)最小值.【详解】由题设知：f(x)|2x1|2ln x定义域为(0,)，11、x 1、x 1，并结合导数研221时，f(x)12x2ln x，此时f(x)单调递减；221当 x 1时，f(x)2x12ln x，有f(x)2 0，此时f(x)单调递减；2x2f(x)2x12ln xf(x)2 0，此时f(x)单调递增；x 1当时，有x当0 x 又f(x)在各分段的界点处连续，综上有：0 x 1时，f(x)单调递减，x 1时，f(x)单调递增；f(x)f(1)1故答案为：1.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm12dm的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1 240dm，对折2 次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三2种规格的图形，它们的面积之和S2180dm，以此类推，则对折4 次共可以得到不同规格图n2形的种数为_；如果对折n次，那么Sk_dm2.k1【答案】(1).5 (2).720【解析】153n2n4【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得Sn，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折 2 次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，5312，56，103；20所以对着三次的结果有：，共 4 种不同规格（单位dm2)；225533故对折 4 次可得到如下规格：12，6，53，10，20，共 5 种不同规格；4224（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为 120dm,第 n 次对折后的图形面积为2 11202n1，对于第 n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为n1120(n1)，2n1种（证明从略），故得猜想Sn设S Skk1n120212031204012222120n1，2n1112021203则S 22122120n120(n1)，2n12n两式作差得：111S 24012022221 120n1n122n1 601n12120n1 240n1212 360120n3120120n1，360n1nn222因此，S 720240n315n3.720nn42215n3.2n4故答案为：5；720【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于anbn结构，其中an是等差数列，bn是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于anbn结构，利用分组求和法；111 11（4）对于，结构，其中an是等差数列，公差为dd 0，则a adaaa ann1n1nnn1利用裂项相消法求和.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.an1,n为奇数,17.已知数列an满足a11，an1a 2,n为偶数.n（1）记bn a2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公式；（2）求an的前 20 项和.【答案】（1）b1 2,b2 5；（2）300.【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得bn1 bn3，从而可求bn的通项.（2）根据题设中的递推关系可得an的前20项和为S20可化为S20 2b1b2b9b1010，利用（1）的结果可求S20.【详解】（1）由题设可得b1 a2 a11 2,b2 a4 a31 a221 5又a2k2 a2k11，a2k1 a2k2，(kN*)故a2k2 a2k3，即bn1 bn3，即bn1bn3所以bn为等差数列，故bn 2n133n1.（2）设an的前20项和为S20，则S20 a1a2a3因为a1 a21,a3 a41,所以S20 2a2a4 2b1b2a20，,a19 a201，a18a2010910b9b1010 2102310 300.2【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为 0.8，能正确回答B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答 A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B类【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可（2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，100PX 010.80.2；PX 200.810.60.32；PX 1000.80.60.48所以X的分布列为XP0200.321000.480.2（2）由（1）知，EX00.2200.321000.4854.4若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100PY 010.60.4；PY 800.610.80.12；PX 1000.80.60.48所以EY00.4800.121000.4857.6因为54.4 57.6，所以小明应选择先回答B类问题19.记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2 ac，点D在边AC上，BDsinABC asinC.（1）证明：BD b；（2）若AD 2DC，求cosABC.【答案】（1）证明见解析；（2）cosABC【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有BD（2）由题设BD b,AD ac，结合已知即可证结论.b7.122bb,DC，应用余弦定理求cosADB、cos CDB，又332b411b2ADB CDB，可得2a 2，结合已知及余弦定理即可求cosABC.a3【详解】（1）由题设，BD BD asinCcbsinCc，由正弦定理知：，即，sinABCsinCsinABCsinABCbac，又b2 ac，bBD b，得证.2bb,DC，334b213b2b210b222222b ccb aa29992，同理cosCDB 92，cosADB 2bb4b2b2b2b3333ADB CDB，（2）由题意知：BD b,AD 13b210b222ca 11b29922，整理得2a c，又b2 ac，224b2b333b411b2a21a2342242a 2，整理得6a 11a b 3b 0，解得2或2，a3b3b22a2c2b24a2由余弦定理知：cosABC 2，2ac32b77a21a23当2时，cosABC 1不合题意；当2时，cosABC；b2612b3综上，cosABC 7.12【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB得到a,b,c的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cosABC.20.如图，在三棱锥A BCD中，平面ABD 平面BCD，AB AD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为 1 的等边三角形，点E在棱AD上，DE 2EA，且二面角E BC D的大小为45，求三棱锥A BCD的体积.【答案】(1)详见解析(2)【解析】分析】（1）根据面面垂直性质定理得 AO平面 BCD，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为 AB=AD,O 为 BD 中点，所以 AOBD因为平面 ABD平面 BCD=BD,平面 ABD平面 BCD，AO 平面 ABD，因此 AO平面 BCD，36【因为CD 平面 BCD，所以 AOCD(2)作 EFBD 于 F,作 FMBC 于 M,连 FM因为 AO平面 BCD，所以 AOBD,AOCD因为 FMBC，FM因为BE 2ED,FM 2从而 EF=FM=AO 13所以 EFBD,EFCD,BDCD D,因此 EF平面 BCD，即 EFBCEF F,所以 BC平面 EFM，即 BCMF则EMF为二面角 E-BC-D 的平面角,EMF 4因为BO OD,OCD为正三角形,所以OCD为直角三角形1112BF(1)2233AO 平面 BCD,所以V 1113AOSBCD113 3326【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1 17,0、F2迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x 1上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且217,0MF1 MF2 2，点M的轨TA TB TP TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.y2【答案】（1）x（2）0.1x 1；162【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点双曲线的右支，求出a、b的值，即可得出轨迹C的方程；11T,tyt kx（2）设点1，设直线AB的方程为，设点Ax1,y1、Bx2,y2，联立直22线AB与曲线C的方程，列出韦达定理，求出TA TB的表达式，设直线PQ的斜率为k2，同理可得出TP TQ的表达式，由TA TB TP TQ化简可得k1k2的值.【详解】因为MF1 MF2 2 F1F2 2 17，所以，轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点的双曲线的右支，x2y2设轨迹C的方程为221a 0,b 0，则2a 2，可得a 1，b 17a2 4，aby2所以，轨迹C的方程为x 1x 1；1621（2）设点T,t，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，211yt kx不妨直线AB的方程为1，即y k1xt k1，2212y k1xt k11222，消去y并整理可得k116 x k12t k1xt k116 0，联立22216x y 16设点Ax1,y1、Bx2,y2，则x111且x2.2221k122k1tt k116，由韦达定理可得x1 x22，2x1x2k116k121622t 12 1kx x11112212所以，TA TB 1k1 x1 x21k1x1x2，22224k 161t设直线PQ的斜率为k，同理可得TP TQ 222121k2k 16222，tTA TB TP TQ因为，即2121k12k 1621t2121k2k 162222，整理可得k1 k2，即k1k2k1k2 0，显然k1k2 0，故k1k2 0.因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22.已知函数fx x1lnx.（1）讨论fx的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna alnb a b，证明：2 11 e.ab【答案】（1）fx的递增区间为0,1，递减区间为1,+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；11 x,x2，原不等式等价于2 x1 x2 e，前者可构建新函数，利用极值点偏移（2）设1ab可证，后者可设x2 tx1，从而把x1 x2 e转化为t 1lnt 1tlnt 0在1,上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为0,，又f x1lnx1 lnx，当x0,1时，f x 0，当x1,+时，f x 0，故fx的递增区间为0,1，递减区间为1,+.（2）因为blna alnb a b，故blna1 alnb+1，即 1 1故f f，ab11 x,x2，由（1）可知不妨设0 x11,x21.设1ablna1lnb+1，ab因为x0,1时，fx x1lnx0，xe,时，fx x1lnx0，故1 x2 e.先证：x1 x2 2，若x2 2，x1 x2 2必成立.若x2 2，要证：x1 x2 2，即证x1 2 x2，而0 2 x21，故即证fx1 f2x2，即证：fx2 f2x2，其中1 x2 2.设gx fx f2x,1 x 2，则gx f x f 2x lnxln2x ln x2 x，因为1 x 2，故0 x2x1，故lnx2x0，所以gx 0，故gx在1,2为增函数，所以gx g1 0，故fx f2x，即fx2 f2x2成立，所以x1 x2 2成立，综上，x1 x2 2成立.设x2 tx1，则t 1，结合lna1lnb+111，x1,x2可得：x11lnx1 x21lnx2，ababt 1tlnt，t 1即：1lnx1t1lnt lnx1，故ln x1要证：x1 x2 e，即证t 1x1e，即证lnt 1lnx11，即证：lnt 1t 1tlnt1，即证：t 1lnt 1tlnt 0，t 1令Stt 1lnt 1tlnt,t 1，则St lnt 1t 1121lnt ln1，t 1tt 1先证明一个不等式：lnx1 x.设uxlnx1x，则ux1x1，x1x1当1 x 0时，ux0；当x 0时，ux0，故ux在1,0上为增函数，在0,+上为减函数，故uxmaxu00，故lnx1 x成立211由上述不等式可得当t 1时，ln1，故St0恒成立，ttt 1故St在1,上为减函数，故St S10，故t 1lnt 1tlnt 0成立，即x1 x2 e成立.综上所述，2 11 e.ab【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.