2021年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(解析版).pdf

20212021 年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分）.1设集合 Mx|0 x4，Nx|x5，则 MN N（）Ax|0 xBx|x4Cx|4x5Dx|0 x52为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为6%B该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计为10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5 万元D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至 8.5 万元之间3已知（1i）2z3+2i，则 z（）A1iB1+iC+iDi4青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足 L5+lgV 已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（A1.51.259）B1.2C0.8D0.65已知 F1，F2是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则 C 的离心率为（）ABCD6在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥AEFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）ABCD7等比数列an的公比为 q，前n 项和为 Sn设甲：q0，乙：Sn是递增数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件82020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一 如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45，ABC60由 C 点测得 B 点的仰角为 15，BB与 CC的差为 100；由 B 点测得 A 点的仰角为 45，则 A，C 两点到水平面 ABC的高度差 AACC约为（）（1.732）A3469若（0，AB373），tan2BC446，则 tan（）CD473D10将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）ABCD11已知 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且 ACBC，ACBC1，则三棱锥 OABC 的体积为（）ABCD12设函数 f（x）的定义域为R R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x1，2时，f（x）ax2+b若 f（0）+f（3）6，则 f（）（）ABCD二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13曲线 y在点（1，3）处的切线方程为141）0）已知向量 （3，（1，+k 若 ，则 k15已知 F1，F2为椭圆 C：+1 的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，则四边形 PF1QF2的面积为16 已知函数 f（x）2cos（x+）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）f（f（x）f（）0 的最小正整数 x 为）三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：（一）必考题：共共 6060 分。分。17甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如下表：甲机床乙机床合计一级品150120270二级品5080130合计200200400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2P（K2k）k0.0503.8410.0106.6350.00110.82818已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前 n 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列an是等差数列；数列是等差数列；a23a1注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分19已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B 为正方形，ABBC2，E，F 分别为 AC和 CC1的中点，D 为棱 A1B1上的点，BFA1B1（1）证明：BFDE；（2）当 B1D 为何值时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小？20抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直线 l：x1 交 C 于 P，Q 两点，且OPOQ已知点 M（2，0），且M 与 l 相切（1）求 C，M 的方程；（2）设A1，A2，A3是 C 上的三个点，直线A1A2，A1A3均与M 相切判断直线A2A3与M 的位置关系，并说明理由21已知 a0 且 a1，函数 f（x）（x0）（1）当 a2 时，求 f（x）的单调区间；（2）若曲线 yf（x）与直线 y1 有且仅有两个交点，求a 的取值范围（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。第一题计分。选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2cos（1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 A 的直角坐标为（1，0），M 为 C 上的动点，点 P 满足的轨迹 C1的参数方程，并判断C 与 C1是否有公共点 选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2|，g（x）|2x+3|2x1|（1）画出 yf（x）和 yg（x）的图像；（2）若 f（x+a）g（x），求 a 的取值范围，写出 P参考答案参考答案一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题）小题）.1设集合 Mx|0 x4，Nx|x5，则 MN N（）Ax|0 xBx|x4Cx|4x5Dx|0 x5解：集合 Mx|0 x4，Nx|x5，则 MN Nx|x4，故选：B2为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为6%B该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计为10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5 万元D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至 8.5 万元之间解：对于 A，该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率为（0.02+0.04）10.066%，故选项 A 正确；对于 B，该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率为（0.04+0.023）10.110%，故选项 B 正确；对于 C，估计该地农户家庭年收入的平均值为30.02+40.04+50.1+60.14+70.2+80.2+90.1+100.1+110.04+120.02+130.02+140.027.686.5 万元，故选项 C错误；对于 D，家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）10.640.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间，故选项 D 正确故选：C3已知（1i）2z3+2i，则 z（）A1iB1+iC+iDi解：因为（1i）2z3+2i，所以故选：B4青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足 L5+lgV 已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（A1.51.259）B1.2C0.8D0.6解：在 L5+lgV 中，L4.9，所以 4.95+lgV，即 lgV0.1，解得 V100.10.8，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8故选：C5已知 F1，F2是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则 C 的离心率为（）ABCD解：F1，F2为双曲线 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，|PF1|3|PF2|，设|PF1|3m，|PF2|m，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2m2a，即 ma，所以|PF1|3a，|PF2|a，因为F1PF260，|F1F2|2c，所以 4c29a2+a223aacos60，整理得 4c27a2，所以 e故选：A6在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥AEFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）ABCD解：由题意，作出正方体，截去三棱锥AEFG，根据正视图，可得 AEFG 在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，可得相应的侧视图是 D 图形，故选：D7等比数列an的公比为 q，前n 项和为 Sn设甲：q0，乙：Sn是递增数列，则（A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：若 a11，q1，则 Snna1n，则Sn是递减数列，不满足充分性；Sn（1qn），则 Sn+1（1qn+1），）Sn+1Sn（qnqn+1）a1qn，若Sn是递增数列，Sn+1Sna1qn0，则 a10，q0，满足必要性，故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：B82020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一 如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45，ABC60由 C 点测得 B 点的仰角为 15，BB与 CC的差为 100；由 B 点测得 A 点的仰角为 45，则 A，C 两点到水平面 ABC的高度差 AACC约为（）（1.732）A346B373C446D473解：过 C 作 CHBB于 H，过 B 作 BMAA于 M，则BCH15，BH100，ABM45，CHCB，ABBMAM，BBMA，CAB75tanBCHtan15tan（4530）（45+30）则在 RtBCH 中，CH100（2+），CB100（2+），sin75sin在ABC中，由正弦定理知，AB100（+1），AM100（+1），+1）+100373，AACCAM+BH100（故选：B9若（0，A），tan2B，得，），cos0，则 tan（）C，D解：由 tan2即（0，则 2sin（2sin）12sin2，解得 sin，则 cos，tan故选：A10将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）ABCD解：4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，共有种，2 个 0 不相邻，先将 4 个 1 全排列，再用插空法将2 个 0 放入共有故 2 个 0 不相邻的概率为故选：C种，11已知 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且 ACBC，ACBC1，则三棱锥 OABC 的体积为（）ABCD解：因为 ACBC，ACBC1，所以底面 ABC 为等腰直角三角形，所以ABC 所在的截面圆的圆心 O1为斜边 AB 的中点，所以 OO1平面 ABC，在 RtABC 中，AB在 RtAOO1中，故三棱锥 OABC 的体积为故选：A，则，12设函数 f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x1，2时，f（x）ax2+b若 f（0）+f（3）6，则 f（）（）ABCD解：f（x+1）为奇函数，f（1）0，且 f（x+1）f（x+1），f（x+2）偶函数，f（x+2）f（x+2），f（x+1）+1f（x+1）+1f（x），即 f（x+2）f（x），f（x+2）f（x+2）f（x）令 tx，则 f（t+2）f（t），f（t+4）f（t+2）f（t），f（x+4）f（x）当 x1，2时，f（x）ax2+bf（0）f（1+1）f（2）4ab，f（3）f（1+2）f（1+2）f（1）a+b，又 f（0）+f（3）6，3a6，解得 a2，f（1）a+b0，ba2，当 x 1，2时，f（x）2x2+2，f（）f（）f（）（2+2）故选：D二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13曲线 y解：因为 y所以 y所以 y|x15，则曲线 y在点（1，3）处的切线方程为：在点（1，3）处的切线方程为5xy+20，（1，3）在曲线上，y（3）5x（1），即 5xy+20故答案为：5xy+2014已知向量（3，1），（1，0），+k 若 ，则 k解：因为向量（3，1），（1，0），+k，由 ，则解得 k故答案为：32+12+k（31+10）10+3k0，15已知 F1，F2为椭圆 C：+1 的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，则四边形 PF1QF2的面积为8解：因为 P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，所以四边形 PF1QF2为矩形，设|PF1|m，|PF2|n，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|m+n2a8，所以 m2+2mn+n264，因为|PF1|2+|PF2|2|F1F2|24c24（a2b2）48，即 m2+n248，所以 mn8，所以四边形 PF1QF2的面积为|PF1|PF2|mn8故答案为：816 已知函数 f（x）2cos（x+）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）f（f（x）f（）0 的最小正整数 x 为2）解：由图像可得观察图像可知当，即 x2 时最小且满足题意，故答案为：2，即周期为，T，三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：（一）必考题：共共 6060 分。分。17甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如下表：甲机床乙机床一级品150120二级品5080合计200200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2P（K2k）k0.0503.8410.0106.6350.00110.828解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200 件，因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为（2）根据 22 列联表，可得 K210.2566.635；所以有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异18已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前 n 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列an是等差数列；数列是等差数列；a23a1注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分解：选择为条件，结论证明过程如下：由题意可得：a2a1+d3a1，d2a1，数列的前 n 项和：故据此可得数列是等差数列，选择为条件，结论：设数列an的公差为 d，则：，数列即：为等差数列，则：，整理可得：d2a1，a2a1+d3a1选择为条件，结论：由题意可得：S2a1+a24a1，则数列通项公式为：据此可得，当 n2 时，1）a1，当 n1 时上式也成立，故数列的通项公式为：an（2nan2（n+1）1a11）a12a1，可知数列an是等差数列由 an+1（2n19已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B 为正方形，ABBC2，E，F 分别为 AC和 CC1的中点，D 为棱 A1B1上的点，BFA1B1（1）证明：BFDE；（2）当 B1D 为何值时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小？的公差为，【解答】（1）证明：连接 AF，E，F 分别为直三棱柱 ABCA1B1C1的棱 AC 和 CC1的中点，且 ABBC2，CF1，BF，BFA1B1，ABA1B1，BFABAF3，AC，AC2AB2+BC2，即 BABC，故以 B 为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F（0，2，1），设 B1Dm，则 D（m，0，2），（2）解：AB平面 BB1C1C，平面 BB1C1C 的一个法向量为由（1）知，（1m，1，2），（1，1，1），即，（1，0，0），（0，2，1），（1m，1，2），0，即 BFDE设平面 DEF 的法向量为（x，y，z），则令 x3，则 ym+1，z2m，（3，m+1，2m），cos，当 m时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，故当 B1D时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小20抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直线 l：x1 交 C 于 P，Q 两点，且OPOQ已知点 M（2，0），且M 与 l 相切（1）求 C，M 的方程；（2）设A1，A2，A3是 C 上的三个点，直线A1A2，A1A3均与M 相切判断直线A2A3与M 的位置关系，并说明理由解：（1）因为x1 与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C 的方程为：y22px（p0），令 x1，则，根 据 抛 物 线 的 对 称 性，不 妨 设P在 x 轴 上 方，Q在 X轴 下 方，故，因为 OPOQ，故抛物线 C 的方程为：y2x，因为M 与 l 相切，故其半径为 1，故M：（x2）2+y21（2）设 A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）当 A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时），设直线 A1A2方程为 kxy0，根据点 M（2，0）到直线距离为 1 可得1，解，得 k，联立直线 A1A2与抛物线方程可得 x3，此时直线 A2A3与M 的位置关系为相切，当 A1，A2，A3都不是坐标原点时，即 x1x2x3，直线 A1A2的方程为 x（y1+y2）y+y1y20，此时有，即，同理，由对称性可得，所以 y2，y3是方程，的两根，依题意有，直线 A2A3的方程为 x（y2+y3）y+y2y30，令 M 到直线 A2A3的距离为 d，则有，此时直线 A2A3与M 的位置关系也为相切，综上，直线 A2A3与M 相切21已知 a0 且 a1，函数 f（x）（x0）（1）当 a2 时，求 f（x）的单调区间；（2）若曲线 yf（x）与直线 y1 有且仅有两个交点，求a 的取值范围解：（1）a2 时，f（x），f（x），当 x（0，）时，f（x）0，当 x（）上单调递增，在（，+）时，f（x）0，+）上单调递减故 f（x）在（0，（2）由题知 f（x）1 在（0，+）有两个不等实根，f（x）1xaaxalnxxlna令 g（x）单调递减，又g（x），g（e），g（1）0，g（x）0，g（x），g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上作出 g（x）的图象，如图所示：由图象可得 0，解得 a1 且 ae，即 a 的取值范围是（1，e）（e，+）（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。第一题计分。选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2cos（1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 A 的直角坐标为（1，0），M 为 C 上的动点，点 P 满足，写出 P的轨迹 C1的参数方程，并判断C 与 C1是否有公共点解：（1）由极坐标方程为 2化为直角坐标方程是 x2+y22即cos，得 22x，0），半径为的圆cos，+y22，表示圆心为 C（2）设点 P 的直角坐标为（x，y），M（x1，y1），因为 A（1，0），所以由即（x1，y），（x11，y1），解得，所以 M（2，（x1）+1，y），代入C 的方程得+化简得点 P 的轨迹方程是圆；化为参数方程是计算|CC1|（3）+y24，表示圆心为 C1（30），半径为 2 的，为参数；|322，所以圆 C 与圆 C1内含，没有公共点 选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2|，g（x）|2x+3|2x1|（1）画出 yf（x）和 yg（x）的图像；（2）若 f（x+a）g（x），求 a 的取值范围解：（1）函数 f（x）|x2|，g（x）|2x+3|2x1|画出 yf（x）和 yg（x）的图像；（2）由图像可得：f（6）4，g（）4，若 f（x+a）g（x），说明把函数f（x）的图像向左或向右平移|a|单位以后，f（x）的图像不在 g（x）的下方，由图像观察可得：a2+4a 的取值范围为，+）