2021年全国新高考Ⅱ卷数学试题(带解析).pdf

20212021 年全国新高考卷数学试题（带解析）年全国新高考卷数学试题（带解析）一、单选题一、单选题1复数2i在复平面内对应的点所在的象限为（）13iA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限U2设集合U 1,2,3,4,5,6,A 1,3,6,B 2,3,4，则AA3B1,6C5,6B（）D1,33抛物线y2 2px(p 0)的焦点到直线y x 1的距离为2，则p（）A1B2C2 2D44北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）将地球看作是一个球心为O，半径 r 为6400km的球，其上点 A 的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S 2r2(1cos)（单位：km2），则 S 占地球表面积的百分比约为（）A26%B34%C42%D50%5正四棱台的上 下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（）A2012 3B28 2C2563D28 236某物理量的测量结果服从正态分布N10,，下列结论中不正确的是（）A越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B越小，该物理量在一次测量中大于10 的概率为 0.5C越小，该物理量在一次测量中小于9.99 与大于 10.01 的概率相等D越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等7已知a log52，b log83，c Ac b a1，则下列判断正确的是（）2Bb a cCa c bDabc8已知函数fx的定义域为R R，fx2为偶函数，f2x1为奇函数，则（）1 Af 02二、多选题二、多选题Bf10Cf20Df409下列统计量中，能度量样本x1,x2,xn的离散程度的是（）试卷第 1 页，共 4 页A样本x1,x2,C样本x1,x2,xn的标准差,xn的极差B样本x1,x2,D样本x1,x2,xn的中位数,xn的平均数10O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点如图，在正方体中，则满足MN OP的是（）ABCD11已知直线l:axbyr2 0与圆C:x2 y2 r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是（）A若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切 B若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离C若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离D若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C相切012设正整数n a02 a12ak12k1ak2k，其中ai0,1，记n a0a1ak则（）B2n3n1nD2 1 nA2nnC8n54n3三、填空题三、填空题x2y213若双曲线221的离心率为 2，则此双曲线的渐近线方程_.ab14写出一个同时具有下列性质的函数fx:_fx1x2 fx1fx2；当x(0,)时，f(x)0；f(x)是奇函数15已知向量abc 0，a 1，b c 2，abbcca _试卷第 2 页，共 4 页x16已知函数f(x)e 1,x10,x20，函数f(x)的图象在点Ax1,fx1和点Bx2,fx2的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于 M，N 两点，则_四、解答题四、解答题|AM|取值范围是|BN|17记Sn是公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和，若a3 S5,a2a4 S4（1）求数列an的通项公式an；（2）求使Sn an成立的 n 的最小值18在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b a1，c a2.（1）若2sinC 3sin A，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由19在四棱锥Q ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD 2,QD QA5,QC 3（1）证明：平面QAD 平面ABCD；（2）求二面角B QD A的平面角的余弦值x2y2620已知椭圆 C 的方程为221(a b 0)，右焦点为F(2,0)，且离心率为ab3（1）求椭圆 C 的方程；222（2）设 M，N 是椭圆 C 上的两点，直线MN与曲线x y b(x 0)相切证明：M，N，F 三点共线的充要条件是|MN|321一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X i)pi(i 0,1,2,3)（1）已知p0 0.4,p1 0.3,p2 0.2,p3 0.1，求E(X)；试卷第 3 页，共 4 页（2）设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：p0 p1x p2x2 p3x3 x的一个最小正实根，求证：当E(X)1时，p 1，当E(X)1时，p 1；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义22已知函数f(x)(x1)exax2b（1）讨论f(x)的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)只有一个零点1e2 a,b 2a；2210 a,b 2a2试卷第 4 页，共 4 页参考答案参考答案1A【分析】利用复数的除法可化简【详解】1 1 2i2i13i55i1i，所以该复数对应的点为,，2 213i101022i，从而可求对应的点的位置.13i该点在第一象限，故选：A.2B【分析】根据交集、补集的定义可求AUB.【详解】由题设可得故选：B.3B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.【详解】p抛物线的焦点坐标为,0，2p012其到直线x y 1 0的距离：，d 211UB 1,5,6，故AUB1,6，解得：p 2(p 6舍去).故选：B.4C【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：答案第 1 页，共 17 页2r(1cos)1cos4r22故选：C.5D【分析】216400640036000 0.42 42%.2由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为 2，所以该棱台的高h 22 2 2 222，下底面面积S116，上底面面积S2 4，11282.所以该棱台的体积V h S1S2S1S22 16464 333故选：D.6D【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于 A，2为数据的方差，所以越小，数据在10附近越集中，所以测量结果落在9.9,10.1内的概率越大，故 A 正确；对于 B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10 的概率为0.5，故 B正确；对于 C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于答案第 2 页，共 17 页9.99的概率相等，故 C 正确；对于 D，因为该物理量一次测量结果落在9.9,10.0的概率与落在10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在9.9,10.2的概率与落在10,10.3的概率不同，故 D 错误.故选：D.7C【分析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.【详解】a log52 log55 故选：C.8B【分析】1 log82 2 log83 b，即a c b.2推导出函数fx是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f1 0，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数fx2为偶函数，则f2 x f2 x，可得fx3 f1x，因为函数f2x1为奇函数，则f12x f2x1，所以，f1 x fx1，所以，fx3 fx1 fx1，即fx fx4，故函数fx是以4为周期的周期函数，因为函数Fx f2x1为奇函数，则F0 f1 0，故f1 f1 0，其它三个选项未知.故选：B.9AC【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.答案第 3 页，共 17 页【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC 的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【详解】设正方体的棱长为2，对于 A，如图（1）所示，连接AC，则MN/AC，故POC（或其补角）为异面直线OP,MN所成的角，在直角三角形OPC，OC 2，CP1，故tanPOC 故MN OP不成立，故 A 错误.12，22对于 B，如图（2）所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ NT，PQ MN，由正方体SBCM NADT可得SN 平面ANDT，而OQ 平面ANDT，故SN OQ，而SNMN N，故OQ 平面SNTM，又MN 平面SNTM，OQ MN，而OQPQ Q，答案第 4 页，共 17 页所以MN 平面OPQ，而PO 平面OPQ，故MN OP，故 B 正确.对于 C，如图（3），连接BD，则BD/MN，由 B 的判断可得OP BD，故OP MN，故 C 正确.对于 D，如图（4），取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC,PQ,OQ,PK,OK，则AC/MN，因为DP PC，故PQ/AC，故PQ/MN，所以QPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，答案第 5 页，共 17 页因为正方体的棱长为 2，故PQ 1AC 2，OQ AO2 AQ212 3，2222POPK2OK2415，QO PQ OP，故QPO不是直角，故PO,MN不垂直，故 D 错误.故选：BC.11ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2b2,r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心C0,0到直线 l 的距离d r2a b22，若点Aa,b在圆 C 上，则a2b2 r2，所以d 则直线 l 与圆 C 相切，故 A 正确；若点Aa,b在圆 C 内，则a b r，所以d 222r2a b22=r，r2a b22 r，则直线 l 与圆 C 相离，故 B 正确；若点Aa,b在圆 C 外，则a b r，所以d 222r2a b22 r，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；答案第 6 页，共 17 页若点Aa,b在直线 l 上，则a2b2r2 0即a2b2=r2，所以d r2a b22=r，直线 l 与圆 C 相切，故 D 正确.故选：ABD.12ACD【分析】利用n的定义可判断 ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.【详解】对于 A 选项，n a0a1所以，2n a0a1ak，2n a021a122ak12kak2k1，akn，A 选项正确；对于 B 选项，取n 2，2n3 7 120121122，73，而2 020121，则21，即721，B 选项错误；34对于 C 选项，8n5 a02 a12 ak2k35 120122 a023 a124 ak2k3，所以，8n5 2a0a14n3 a022 a123ak，ak2k2，ak2k23120121 a022 a123所以，4n3 2a0a1对于 D 选项，2n1 2021故选：ACD.13y 3x【分析】ak，因此，8n54n3，C 选项正确；n2n1，故2 1 n，D 选项正确.根据离心率得出c 2a，结合a2b2 c2得出a,b关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题可知，离心率e c 2，即c 2a，ab3，a又a2b2 c2 4a2，即b2 3a2，则故此双曲线的渐近线方程为y 3x.答案第 7 页，共 17 页故答案为：y 3x.2n*414fx x（答案不唯一，fx xnN均满足）【分析】根据幂函数的性质可得所求的fx.【详解】44 fx1fx2，满足，取fx x，则fx1x2x1x2 x14x24f x 4x3，x 0时有f x 0，满足，f x 4x3的定义域为R，3又f x 4x f x，故f x是奇函数，满足.2n*4故答案为：fx x（答案不唯一，fx xnN均满足）15【分析】由已知可得abc【详解】由已知可得a bc922 0，展开化简后可得结果.2 a b c 2 abbcca 9 2 abbcca 0，2229因此，abbcca .2故答案为：.160,1【分析】结合导数的几何意义可得x1 x2 0，结合直线方程及两点间距离公式可得AM 1e2x1 x1，BN 1e2x2 x2，化简即可得解.92【详解】xx1e,x 0e,x 0由题意，fx e 1 x，则f xx，e 1,x 0e,x 0 x答案第 8 页，共 17 页xxxx所以点Ax1,1e1和点Bx2,e21，kAM e,kBN e,12xx所以e e 1,x1 x2 0，12xxxx所以AM:y 1e1 e1x x1,M0,e1x1e11，所以AM x12ex1x11e2x1 x1，同理BN 1e2x2 x2,所以AMBN1e2x1 x11e2x21e2x11e2x1 ex10,1.2x22x11e1e x22故答案为：0,1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件x1 x2 0，消去一个变量后，运算即可得解.17(1)an 2n 6；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得a3的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前 n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：S5 5a3，则：a3 5a3,a3 0，2设等差数列的公差为d，从而有：a2a4a3da3d d，S4 a1a2a3a4a32da3da3a3d 2d，从而：d2 2d，由于公差不为零，故：d 2，数列的通项公式为：an a3n3d 2n6.(2)由数列的通项公式可得：a1 26 4，则：Sn n4nn122 n25n，则不等式Sn an即：n25n 2n6，整理可得：n1n6 0，解得：n 1或n6，又n为正整数，故n的最小值为7.答案第 9 页，共 17 页【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18（1）15 7；（2）存在，且a 2.4【分析】（1）由正弦定理可得出2c 3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由cosC 0结合三角形三边关系可求得整数a的值.【详解】（1）因为2sinC 3sin A，则2c 2a23a，则a 4，故b 5，c 6，cosCa2b2c22ab1213 7，所以，C为锐角，则sinC 1cos2C，88123 715 7；84因此，SABCabsinC 45（2）显然c b a，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，2a2b2c2a a1a2a22a3 0，由余弦定理可得cosC 2ab2aa12aa122解得1 a 3，则0 a 3，由三角形三边关系可得aa1 a2，可得a 1，aZ，故a 2.19（1）证明见解析；（2）【分析】（1）取AD的中点为O，连接QO,CO，可证QO 平面ABCD，从而得到面QAD 面ABCD.（2）在平面ABCD内，过O作OT/CD，交BC于T，则OT AD，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD、平面BQD的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】2.3答案第 10 页，共 17 页（1）取AD的中点为O，连接QO,CO.因为QA QD，OAOD，则QO AD，而AD 2,QA 5，故QO 51 2.在正方形ABCD中，因为AD 2，故DO1，故CO 5，因为QC 3，故QC2 QO2OC2，故QOC为直角三角形且QO OC，因为OCAD O，故QO 平面ABCD，因为QO 平面QAD，故平面QAD 平面ABCD.（2）在平面ABCD内，过O作OT/CD，交BC于T，则OT AD，结合（1）中的QO 平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系.则D0,1,0,Q0,0,2,B2,1,0，故BQ 2,1,2,BD 2,2,0.答案第 11 页，共 17 页设平面QBD的法向量n x,y,z，nBQ 02x y2z 01则即，取x 1，则y 1,z，2nBD 02x2y 01故n 1,1,.2而平面QAD的法向量为m 1,0,0，故cos m,n 113223.2二面角B QD A的平面角为锐角，故其余弦值为.3x220（1）y21；（2）证明见解析.3【分析】（1）由离心率公式可得a 3，进而可得b2，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN 3；充分性：设直线MN:y kxb,kb 0，由直线与圆相切得b2 k21，联立直线与椭圆方24k2程结合弦长公式可得1 k 3，进而可得k 1，即可得解.213k2【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c 2且e 222c6，所以a 3，a3x2又b a c 1，所以椭圆方程为 y21；3（2）由（1）得，曲线为x2 y21(x 0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x 1，不合题意；当直线MN的斜率存在时，设Mx1,y1,Nx2,y2，必要性：若 M，N，F 三点共线，可设直线MN:y k x 2即kx y 2k 0，2kk 12由直线MN与曲线x2 y21(x 0)相切可得1，解得k 1，答案第 12 页，共 17 页y x23 23联立x2可得4x26 2x3 0，所以x1 x2,x1x2，24 y21 3所以MN 11所以必要性成立；x1 x224x1x23,充分性：设直线MN:y kxb,kb 0即kx y b 0，由直线MN与曲线x2 y21(x 0)相切可得bk 121，所以b2 k21，y kxb222联立x2可得13kx 6kbx3b 3 0，2 y 1 36kb3b23,x1x2所以x1 x2，2213k13k所以MN 1k 2x1 x224x1x21k23b236kb 42213k13k224k23，1 k 13k22化简得3k21 0，所以k 1，2k 1k 1所以或，所以直线MN:y x 2或y x2，b 2b 2所以直线MN过点F(2,0)，M，N，F 三点共线，充分性成立；所以 M，N，F 三点共线的充要条件是|MN|3【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.21（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用公式计算可得E(X).（2）利用导数讨论函数的单调性，结合f1 0及极值点的范围可得fx的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.答案第 13 页，共 17 页【详解】（1）E(X)00.410.3 20.230.11.32（2）设fx p3x p2x p11x p0，32因为p3 p2 p1 p01，故fx p3x p2x p2 p0 p3x p0，若EX1，则p1 2p23p31，故p2 2p3 p0.f x3p3x22p2xp2 p0 p3，因为f 0 p2 p0 p30，f 1 p22p3 p00，故f x有两个不同零点x1,x2，且x1 0 1 x2，且x,x1x2,时，f x 0；xx1,x2时，f x 0；故fx在,x1，x2,上为增函数，在x1,x2上为减函数，若x21，因为fx在x2,为增函数且f1 0，而当x0,x2时，因为fx在x1,x2上为减函数，故fx fx2 f10，23故1为p0 p1x p2x p3x x的一个最小正实根，23若x21，因为f1 0且在0,x2上为减函数，故 1 为p0 p1x p2x p3x x的一个最小正实根，综上，若EX1，则p 1.若EX1，则p12p23p31，故p2 2p3 p0.此时f 0 p2 p0 p30，f 1 p22p3 p00，故f x有两个不同零点x3,x4，且x3 0 x41，且x,x3 x4,时，f x 0；xx3,x4时，f x 0；故fx在,x3，x4,上为增函数，在x3,x4上为减函数，而f1 0，故fx4 0，又f0 p00，故fx在0,x4存在一个零点p，且p 1.答案第 14 页，共 17 页23所以p为p0 p1x p2x p3x x的一个最小正实根，此时p 1，故当EX1时，p 1.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过 1，则若干代后被灭绝的概率小于1.22(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】x(1)由函数的解析式可得：f x xe 2a，当a 0时，若x,0，则f x0,fx单调递减，若x0,，则f x 0,fx单调递增；当0 a 时，若x,ln2a，则f x 0,fx单调递增，若xln2a,0，则f x0,fx单调递减，若x0,，则f x 0,fx单调递增；当a 当a 1时，f x0,fx在R上单调递增；2121时，若x,0，则f x 0,fx单调递增，2若x0,ln2a，则f x0,fx单调递减，若xln2a,，则f x 0,fx单调递增；(2)若选择条件：1e2由于a，故1 2a e2，则b2a1,f0b10，22bbf 1而aeababb 0，而函数在区间,0上单调递增，故函数在区间,0上有一个零点.答案第 15 页，共 17 页fln2a 2aln2a1aln2ab 2aln2a1aln2a2a 2aln2aaln2a222 aln2a2ln2a，1e2由于a，1 2a e2，故aln2a2ln2a 0，22结合函数的单调性可知函数在区间0,上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于0 a，故2a 1，则f0b12a10，当b 0时，e2124,4a2，f2e24ab0，而函数在区间0,上单调递增，故函数在区间0,上有一个零点.xx当b 0时，构造函数Hx e x1，则Hxe 1，当x,0时，Hx0,Hx单调递减，当x0,时，Hx0,Hx单调递增，注意到H0 0，故Hx0恒成立，从而有：ex x1，此时：fxx1exax2bx1x1ax2b1ax2b1，当x1b2时，1ax b10，1a1b1，则fx0 0，1a取x01b即：f00,f1a10，而函数在区间0,上单调递增，故函数在区间0,上有一个零点.fln2a 2aln2a1aln2ab答案第 16 页，共 17 页2 2aln2a1aln2a2a 2aln2aaln2a22 aln2a2ln2a，由于0 a，0 2a 1，故aln2a2ln2a 0，结合函数的单调性可知函数在区间,0上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用12答案第 17 页，共 17 页