(word完整版)2015年全国高考数学新课标1卷(理)试题及答案word版,推荐文档.pdf

20152015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学注意事项：注意事项：1.1.本试卷分第卷本试卷分第卷(选择题选择题)和第卷和第卷(非选择题非选择题)两部分两部分.第卷第卷 1 1 至至 3 3 页，第卷页，第卷 3 3 至至 5 5 页页.2.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷第卷一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1+z（1）设复数 z 满足i，则|z|1 z(A)1(B)2(C)3(D)2(2)sin20cos10con160sin103311(A)(B)(C)(D)2222(3)设命题 P：nN，n22n，则P 为(A)nN，n22n(B)nN，n22n(C)nN，n22n(D)nN，n22n(4)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A)0.648(B)0.432(C)0.36(D)0.312x2(5)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：y2 1上的一点，F1、F2是 C 上的两个焦点，2uuuu r uuuu r若MF1MF20，则 y0的取值范围是3333，)(B)(，)33662 22 22 32 3(C)(，)(D)(，)3333(6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有(A)(A)14 斛(B)22 斛(C)36 斛(D)66 斛uuu ruuu r(7)设 D 为错误错误!未找到引用源。未找到引用源。ABC 所在平面内一点BC 3CD，则uuu rr4uuu ruuu r1uuu r4uuu r1uuu(A)AD ABAC(B)AD ABAC3333uuu r4uuu r1uuu ruuu r4uuu r1uuu r(C)AD ABAC(D)AD ABAC3333(8)函数 f(x)错误错误!未找到引用源。未找到引用源。的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为(A)(错误错误!未找到引用源。未找到引用源。)，k 错误错误!未找到引用源。未找到引用源。(b)(错误错误!未找到引用源。未找到引用源。)，k 错误错误!未找到引用源。未找到引用源。(C)(错误错误!未找到引用源。未找到引用源。)，k 错误!未找到引用源。(D)(错误错误!未找到引用源。未找到引用源。)，k 错误!未找到引用源。(9)执行右面的程序框图，如果输入的 t0.01，则输出的 n(A)5(B)6(C)7(D)8（10）(x2 x y)5的展开式中，x5y2的系数为2(A)10(B)20(C)30(D)60r（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，（12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的r（13）表面积为 16 20，则 r正视图(A)1r(B)2(C)4(D)8212.设函数 f(x)ex(2x1)axa，其中 a 1，若存在唯一的r整数 x0，使得 f(x0)0，则 a 的取值范围是()333333A.，1)B.,)C.,)D.，1)俯视图2e 42e 42e2e第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分(13)若函数 f(x)xln(xa x2)为偶函数，则 a(14)一个圆经过椭圆错误错误!未找到引用源。未找到引用源。的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 .x1 0y(15)若 x，y 满足约束条件x y 0，则的最大值为 .xx y4 0(16)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分 12 分)Sn为数列an的前 n 项和.已知 an0，错误错误!未找到引用源。未找到引用源。()求an的通项公式：()设错误错误!未找到引用源。未找到引用源。，求数列错误错误!未找到引用源。未找到引用源。的前 n 项和E(18)如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，FDF平面 ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面 AEC平面 AFCAD(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值CB(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响，对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.年销售量/t年宣传费(千元)8rxu ryu rw6.8i=18r(xix)2289.8i=18u r(wiw)21.6i=1r(xix)(yiu ry)1469(wii=1u ru rw)(yiy)108.8846.656.3u r1表中 wixi，w8i=18wi()根据散点图判断，yabx 与 ycdx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)()根据()的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；()以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z0.2yx.根据()的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u1v1)，(u2v2).(unvn)，其回归线 vu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：(u u)(v v)iii1n(u u)ii1n,vu2(20)(本小题满分 12 分)x2在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y与直线 l:ykxa(a0)交于 M，N 两点，4()当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；()y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由.(21)(本小题满分 12 分)1已知函数 f(x)x3ax,g(x)ln x4()当 a 为何值时，x 轴为曲线y f(x)的切线；()用minm,n表示 m，n 中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)(x 0)，讨论h(x)零点的个数请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(22)(本题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点 ECEDABO（I）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（II）若 OA3CE，求ACB 的大小.(23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中.直线C1:x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求C1，C2的极坐标方程；（II）若直线C3的极坐标方程为R，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN4的面积(24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数错误错误!未找到引用源。未找到引用源。|x1|2|xa|，a0.()当 a1 时，求不等式f(x)1 的解集；()若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围2015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案A 卷选择题答案一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。1+z（1）设复数 z 满足=i，则|z|=1 z（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】A（2）sin20cos10-cos160sin10=3311（A）（B）（C）（D）2222【答案】D【解析】cos（180-A）=-cosA1原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=，故选 D.2（3）设命题 P：nN，n22n，则P 为（A）nN,n22n（B）nN,n22n（C）nN,n22n（D）nN,n2=2n【答案】C【解析】p:nN,n2 2n，故选 C.（4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C320.620.40.63=0.648，故选 A.x2（5）已知 M（x0，y0）是双曲线 C：y2 1上的一点，F1、F2是 C 上的两个焦点，若2uuuu ruuuu rMF1MF20，则 y0的取值范围是3333，）（B）（-，）33662 22 22 32 3（C）（，）（D）（，）3333【答案】A（A）（-（6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有【答案】B【解析】A.14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛设圆锥底面半径为 r，则放的米约为1161116320，故堆23r 8=r，所以米堆的体积为3()25=4343393201.6222，故选 B.9（7）设 D 为 ABC 所在平面内一点=3，则（A）=（C）=【答案】A+(B)(D)=r4uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r1uuu ruuu r1uuu ruuu r1uuu【解析】由题知AD AC CD AC BC AC(AC AB)=ABAC，故选 A.3333(8)函数 f(x)=的部分图像如图所示，则 f（x）的单调递减区间为(A)（(C)（）,k）,k (b)（）,k）,k(D)（【答案】B（9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（A）5（B）6（C）7（D）8【答案】C（10）的展开式中，y的系数为（A）10（B）20（C）30（D）60【答案】A【解析】在(x2 x y)5的 5 个因式中，2 个取因式中x2剩余的 3 个因式中 1 个取x，其余因式取21252y,故x y的系数为C5C3C2=30，故选 A.（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20，则 r=（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的14r2r2r r22r2r=5r24r2=16+20，解得 r=2，故选 B.2x12.设函数f(x)=e(2x1)axa,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a高为 2r，其表面积为的取值范围是（）A.-，1）B.-，）C.，）D.，1）【答案】D第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若函数 f(x)=xln（x+a x2）为偶函数，则 a=【答案】1【解析】由题知y ln(xa x2)是奇函数，所以ln(xa x2)ln(xa x2)=ln(a x2 x2)lna 0，解得a=1.（14）一个圆经过椭圆325【答案】(x)2 y2243【解析】设圆心为（a，0），则半径为4|a|，则(4|a|)2|a|222，解得a ，故圆2325的方程为(x)2 y2.24的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为。（15）若 x,y 满足约束条件则y的最大值为 .x【答案】3y是可行域内一点与原点xy连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为 3.x【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，一、选择题（1）A（2）D（3）C（4）A（5）A（6）B（7）A（8）D（9）C（10）C（11）B（12）DA、B 卷非选择题答案二、填空题325（13）1（14）(x)2 y2（16）24（15）3二、解答题（17）解：222an 4Sn3，可知an（I）由an1 2an1 4Sn13.22可得an1an 2(an1a)4an1即222(an1an)an1an(an1a)(an1a)由于an 0可得an1an 2.又a12 2a1 4a13，解得a1 1(舍去)，a1 3所以an是首相为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为an 2n1.（II）由an 2n111111bn().ana1(2n1)(2n3)2 2n12n3设数列bn的前 n 项和为Tn，则Tn b1b2L bn1 111111()()L()()235572n12n3n.3(2n3)（18）解：（I）连结 BD，设 BDIAC=G，连结 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由ABC=120，可得 AG=GC=3.由BE平面 ABCD,AB=BC可知 AE=EC.又 AEEC，所以 EG=3，且 EGAC.在 RtEBG 中，26.在 RtFDG 中，可得 FG=.222在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE=2，DF=，23 2可得 FE=.从而EG2 FG2 EF2,所以EG FG2又AC I FG G,可得EG 平面AFC.因为EG 平面AEC所以平面 AEC 平面AFC可得 BE=2故 DF=（III）如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 的方向为 x 轴，y 轴正方向，uuu rGB为单位长，建立空间直角坐标系 G-xyz.23,0),E(1，0，2),F(1，0，),C(0，3,0)所以由（I）可得A(0，2uuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu rAECF32r uuu r .AE (1，3 2),CF (1，3,).故cos AE,CF uuu32AECF3所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为.3（19）解：（I）由散点图可以判断，y c dx适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型。2分（II）令w x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于d(w w)(y y)iii1n(w w)ii1n2108.8 681.6 563686.8 100.6。y dwc 100.668w，因此y 关于 x 的回归方程为所以 y 关于 w 的线性回归方程为y 100.6 68 x。6 分y（III）（i）由（II）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值 100.6 68 49 576.6y年利润 z 的预报值 576.60.249 66.32。9 分z（ii）根据（II）的结果知，年利润 z 的预报值 0.2(100.668 x)x x13.6 x 20.12z13.6取得最大值 6.8，即 x=46.24 时，z所以当x 2故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大。12分（20）解：xx2（-2 a,a）.又y=，故y 在x 2 a（I）有题设可得M(2 a,a),N(2 a,a),或M24处 的 导 数 值 为a，C在 点(2 a,a)出 的 切 线 方 程 为y a a(x2 a),即 ax y a 0 x2y 在x 2 a，即ax y a 0.4股所求切线方程为ax y a 0和 ax y a 0（III）存在符合题意的点，证明如下：设 P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线 PM，PN 的斜率分别为k1,k2y kxa代入C的方程得x24kx4a 0.故x1 x2 4k,x1x2 4a.从而kxa代入C的方程得x24kx4a 0.故x1 x2 4k,x1x2 4a.从而k1k2 2kx1x2(ab)(x1 x2)x1x2k(ab)a当 b=-a 时，有k1k2 0,则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故OPM=OPN，所以点P(0,-a)符合题意（21）解：(x0,0)则f(x0)0,f(x0)0即13x0ax0 0（I）设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点43x2a 0013解得x0,a 243因此，当a 时，x轴为曲线y f(x)的切线4（II）当x(1,)时，g(x)1nx0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,)无零点y1by2bx1x255当x 1时，若a 则f(1)a 0,h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故x 445是h(x)的零点；若a ,则f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)f(1)0,故x 1不是h(x的零点4当x(0,1)时，g(x)1nx 0.所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数（i）若a -3或a 0,则f（x）=3x2+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调15f(0),f(1)a,所以当a -3时，f(x)在（0,1）有一个零点；当a 0时f(x)在（1,0）没有零点44aa(ii)若3 a 0,则f(x)在（0，)单调递减，在（,1）单调递增，故在（0,1）中33a2aa1当x a时，f(x)取得最小值，最小值为f()33334a3若f()0.即 a 0,f(x)在（0,1）无零点；34a3若f()=0,即a=-则f(x)在(0,1)有唯一零点34a3153若f()0,即3 a ,由于f(0),f(1)a a 344445时，f(x)在（0,1）有两个零点；当-3a -时，f(x)在(0,1)有一个零点.4综上，当3535a 或a-时，h(x)有一个零点；当a 或a 时，h(x)有两个零点444453当 a 时，h(x)有三个零点.44（22）解：（I）链接 AE，由已知得，AE BC AC AB在RtAEC中，由已知得，DE=DC 故DEC DCE链接 OE，则OBE=OEB 又ACB+ABC=90所以DEC+OEB=90故OED 90o，DE 是e O得切线（II）设 CE=1，AE=X，由已知得AB 2 3，BE 12x2由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以x2 12 x2即x4 x212 0可得x 3，所以ACB 60o（23）解：（I）因为x cos，y sin，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos4sin4 0。5 分（II）将41 2 2，22。故122，即MN 2。代 入22cos4sin4 0，得23 2 4 0，解 得由于C2的半径为 1，所以C2MN的面积为1。10 分2（24）解：（I）当a 1时，fx1化为x1 2 x1 10，当x 1时，不等式化为x4 0，无解；2 x 1；3当x 1时，不等式化为x2 0，解得1 x 2。2所以fx1的解集为x x 2。5 分3x12a,x 1,（II）由题设可得，fx3x12a,1 x a,x12a,x a,当1 x 1时，不等式化为3x2 0，解得 2a1,0，所以函数fx的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A322B2a1,0，Ca,a1，ABC的面积为a1。322由题设得a1 6，故a 2。3所以 a 的取值范围为2,10分