2021年(全国新高考1卷)高考数学试卷真题(Word版,含答案解析).pdf
绝密启用前2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合A x|2 x 4，B 2,3,4,5，则AA2B2,3B D2,3,4C3,42已知z 2i，则z(z i)A62iB42iC6 2iD42i3已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A2B2 2C4D4 24下列区间中，函数f(x)7sin(x)单调递增的区间是6A(0,)2B(,)2C(,3)2D(3,2)2x2y25已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|MF2|的最大值94为A136若tan 2，则6A5B12sin(1sin2)sin cos2B5C9D6C25D657若过点(a,b)可以作曲线y ex的两条切线，则Aeb aBea bC0 a ebD0 b ea8有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则A甲与丙相互独立C乙与丙相互独立二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得 0 分。9有一组样本数据x1,x2,yi xi c(i 1,2,B甲与丁相互独立D丙与丁相互独立,xn，由这组数据得到新样本数据y1,y2,yn，其中,n)，c为非零常数，则A两组样本数据的样本平均数相同C两组样本数据的样本标准差相同B两组样本数据的样本中位数相同D两组样本数据的样本极差相同10已知O为坐标原点，点P1(cos,sin)，P2(cos,sin)，P3(cos(),sin()，A(1,0)，则A|OP1|OP2|B|AP1|AP2|DOAOP1 OP2OP3COAOP3 OP1OP211已知点P在圆(x 5)2(y 5)216上，点A(4,0)，B(0,2)，则A点P到直线AB的距离小于 10C当PBA最小时，|PB|3 2B点P到直线AB的距离大于 2D当PBA最大时，|PB|3 212在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB AA11，点P满足BP BC BB1，其中0,1，0,1，则A当 1时，AB1P的周长为定值B当 1时，三棱锥P A1BC的体积为定值C当 D当 1时，有且仅有一个点P，使得A1P BP21时，有且仅有一个点P，使得A1B 平面AB1P2三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数，则a _y2 2px(p 0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴14已知O为坐标原点，抛物线C：垂直，Q为x轴上一点，且PQ OP若|FQ|6，则C的准线方程为_15函数f(x)|2x 1|2ln x的最小值为_16某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为20dm12dm的长方形纸，对折1 次共可以得到10 dm12 dm，20 dm6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1 240dm2，对折2次共可以得到5dm12dm，10 dm6 dm，20 dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180dm2，以此类推则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次，那么Sk_k 1ndm2四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）18（12 分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束 A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分。已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能（1）若小明先回答 A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由正确回答问题的概率与回答次序无关an1,n为奇数,已知数列an满足a11，an1a 2,n为偶数.n（1）记bn a2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公式；（2）求an的前 20 项和19（12 分）20（12 分）如图，在三棱锥A BCD中，平面ABD平面（1）证明：OA CD；（2）若OCD是边长为 1 的等边三角形，点E在BOCDAE记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知b2 ac，点D在边AC上，（1）证明：BD b；（2）若AD 2DC，求cosABCBDsinABC asinCBCD，AB AD，O为BC的中点棱AD上，DE 2EA，且二面角E BC D的大小为45，求三棱锥A BCD的体积21（12 分）在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中，已 知 点F1(17,0)，F2(17,0)，点M满 足|MF1|MF2|2记M的轨迹为C（1）求C的方程；（2）设点T在直线 x 1上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，2且|TA|TB|TP|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和22（12 分）已知函数f(x)x(1lnx)（1）讨论f(x)的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna alnb a b，证明：2 11 eab绝密启用前试卷类型：B2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1设集合Ax|2 x 4，B 2,3,4,5，则AA2【答案】B2已知z 2i，则z z i（）A62i【答案】C3已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A2B2 2C4D4 2B42iC6 2iD42iB2,3C3,4B（）D2,3,4【答案】B4下列区间中，函数fx 7sinx 单调递增的区间是（）633A0，B,C,D,22222【答案】Ax2y25已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则MF1 MF2的最大值94为（）A13B12sin1sin2sincos2B5C9D6【答案】C6若tan 2，则6A5（）C25D65【答案】C7若过点a,b可以作曲线y ex的两条切线，则（）Aeb a【答案】D8有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A甲与丙相互独立C乙与丙相互独立【答案】B二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题。每小题小题。每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分。分。B甲与丁相互独立D丙与丁相互独立Bea bC0 a ebD0 b ea9有一组样本数据x1，x2，xn，由这组数据得到的新样本数据y1，y2，yn，其中yi xici 1,2,n，c为非零常数，则（）A两组样本数据的样本平均数相同B两组样本数据的样本中位数相同C两组样本数据的样本标准差相同D两组样本数据的样本极差相同【答案】CD10已知O为坐标原点，点P1cos,sin，P2cos,sin，P3cos,sin，A1,0，则（）AOP1 OP2BAP1 AP2DOAOP1 OP2OP3COAOP3 OP1OP2【答案】AC11已知点P在圆x 5y 516上，点A4,0，B0,2，则（）22A点P到直线AB的距离小于10B点P到直线AB的距离大于2C当PBA最小时，PB 3 2D当PBA最大时，PB 3 2【答案】ACD12 在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB AA11，点P满足BP BC BB1，其中0,1，0,1，则（）A当=1时，AB1P的周长为定值B当1时，三棱锥P A1BC的体积为定值C当D当1时，有且仅有一个点P，使得A1P BP21时，有且仅有一个点P，使得A1B 平面AB1P2【答案】BD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13已知函数fx x3a2x2x是偶函数，则a【答案】114已知O为坐标原点，抛物线C：y2 2pxp 0的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ OP若FQ 6，则C的准线方程为3【答案】x 215函数fx 2x 1 2ln x的最小值为【答案】116某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折 规格为20 dm12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm12 dm，20 dm6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1 240 dm2，对折2次共可以得到5 dm12 dm，10 dm6 dm，20 dm3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180 dm2，以此类推则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么Sk1nkdm2【答案】5，720240n3n2四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）a 1n为奇数已知数列an满足a11，an1na 2n为偶数n（1）记bn a2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公式；（2）求an的前20项和【答案】（1）2n为偶数，则a2n1 a2n 2，a2n2 a2n11，a2n2 a2n 3，即bn1 bn 3，且b1 a2 a11 2，bn是以2为首项，3 为公差的等差数列，b1 2，b2 5，bn 3n 1（2）当n为奇数时，an an11，an的前20项和为a1 a2 a20a1 a3 a19a2 a4 a20 a20 a21a41a201a2 a4 2a2 a4 a2010由（1）可知，a2 a4 a20 b1 b2 b10 21015510932an的前20项和为215510 30018（12 分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由【答案】（1）X的取值可能为0，20，100，PX 010.8 0.2，PX 20 0.810.6 0.32，PX 100 0.80.6 0.48，X的分布列为XP0201000.20.320.48（2）假设先答B类题，得分为Y，则Y可能为0，80，100，PY 010.6 0.4，PY 80 0.610.8 0.12，PY 100 0.60.8 0.48，Y的分布列为YP0801000.40.120.48EY 00.4800.121000.48 57.6，由（1）可知EX 00.2 200.321000.4854.4，EY EX，应先答B类题19（12 分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知b2 ac，点D在边AC上，BDsinABC asinC（1）证明：BD b；（2）若AD 2DC，求cosABC【答案】（1）在ABC中，ACAB，sinABCsinCBDsinABC asinC，BDa，sinCsinABCABAC，即ac bBD，BDa联立得b2 ac，BD b（2）若AD 2DC，a2b2c2，ABC中，cosC 2abba b23，BCD中，cosC b2a322=，2ba2b2c2 3a2b2，3b2整理得a b c 3a 3b2，3112a2b2c2 0，32222b2 ac，c36a211ac 3c2 0，即a 或a c，32c2c2若a 时，b ac，33a2c2b2则cosABC 2acc2c22 c 9322c372c922c37（舍），633若a c，b2 ac c2，22a2c2b2则cosABC 2ac923c c2c22423c72c423c20（12 分）7.12如图，在三棱锥A BCD中，平面ABD平面BCD，AB AD，O是BD的中点（1）证明：OA CD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE 2EA，且二面角E BC D的大小为45，求三棱锥A BCD的体积【答案】（1）AB AD，O为BD中点，AO BD，AO 面ABD，面ABD面BCD且面ABD面BCD BD，AO 面BCD，AO CD（2）以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴，垂直OD且过O的直线为x轴，3 11 2C,0D 0,1,0B 0,1,0A 0,0,m设，E0,m,223 33 342,0，EB=0，,m，BC 2233设n1x1,y1,z1为面EBC法向量，42EBn y mz1 01133，BCn 3x 3y 0111222y1 mz1 0，x 3y 011令y11，z1 2，x1 3，m2 n1 31，m面BCD法向量为OA 0,0,m，cos n1,OA 2m44m22，解得m 1，2OA1，SABD11BDOA211，22ABD xc1VABCDS33621（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1 17,0，F217,0，点M满足MF1 MF2 2记M的轨迹为C（1）求C的方程；（2）设点T在直线x 1上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，2且TA TB TP TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和【答案】（1）MF1 MF2 2，轨迹C为双曲线右半支，c217，2a 2，a21，b216，y2x 1x 016 1（2）设T,n，221 设AB：y n k1x，21y n kx 12联立，2x2y116116 k12x2k12 2k1nx k12n2 k1n 16 0，4k12 2k1nx1 x22，k11612k1 n2 k1n 16x1 x24，k12161TA 1 k12x1，21TB 1 k12x2，211 TA TB 1 k12x1x222n2121 k12k1216，1设PQ：y n k2x，2n同理TP TQ 2121 k22k2216，TA TB TP TQ，1 k121 k22171722，12，12k116k216k116k216k1216 k2216，即k12 k22，k1 k2，k1 k2 0.22（12 分）已知函数fx x1lnx（1）讨论fx的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna alnb a b，证明：2【答案】（1）fx x1lnx,x0,f 11 eabx1 ln x 1 ln xx0,1,f x 0,fxx1,f x 0,fx fx在0,1单调递增，fx在1,单调递减111111（2）由blna alnb a b，得lnlnaabbba1 1 11即1ln1lnaabb令x111，x2ab则x1,x2为fx k的两根，其中k0,1不妨令x10,1，x21,e，则2 x11先证2 x1 x2，即证x2 2 x1即证fx2 fx1 f2 x1令hx fx f2 x则h x f x f 2 x lnx ln2 x lnx2 xx0,1x2 x0,1h x 0恒成立，hxhx h1 0 fx1 f2 x12 x1 x2得证同理，要证x1 x2 e即证fx2 fx1 fe x1令x fx fe x,x0,1 则 x lnxe x，令x0 0 x0,x0,x 0,xxx0,1,x 0,x又x 0，fx 0，且fe 0故x 0，0 0，1=f1 fe1 0 x 0恒成立x1 x2 e得证2 11 eab
