最新高考全国1卷数学理科试卷含答案.pdf

精品文档20072007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第卷本试卷分第卷（选择题）（选择题）和第卷和第卷（非选择题）（非选择题）两部分两部分 第卷第卷 1 1 至至 2 2 页页 第第卷卷 3 3 至至 4 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷第卷注意事项：注意事项：1 1答题前，考生在答题卡上务必用直径答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2 2每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效3 3本卷共本卷共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的参考公式：参考公式：如果事件A，B互斥，那么球的表面积公式P(A B)P(A)P(B)S 4R其中R表示球的半径球的体积公式2如果事件A，B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率kkPn(k)Cnp(1 p)nk(k 0，1，2，n)43R3其中R表示球的半径V 一、选择题一、选择题5，则sin（）121155ABCD551313a1i（2）设a是实数，且是实数，则a（）1i213AB1CD222（1）是第四象限角，tan 6)，b b (6，5)，则a a与b b（）（3）已知向量a a (5，A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向0)，(4，0)，则双曲线方程为（）（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，x2y21A412精品文档x2y21B124x2y21C106x2y21D610精品文档（5）设a，bR R，集合1，ab，a0，b，则ba（）A1B1C2D2ba（6）下面给出的四个点中，到直线x y 1 0的距离为的平面区域内的点是（）A(11)，B(11)，C(1，1)x y1 0，2，且位于表示2x y1 0D1A1C1B1D(1，1)（7）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1 2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A15B25C35D45DCAB1，则a 2（8）设a 1，函数f(x)logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为（）A2B2C2 2D4（9）f(x)，g(x)是定义在R R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的（）A充要条件C必要而不充分的条件nB充分而不必要的条件D既不充分也不必要的条件1（10）x2的展开式中，常数项为15，则n（）xA3B4C5D62（11）抛物线y 4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A4B3 32C4 32D8（12）函数f(x)cos x2cosA，x的一个单调增区间是（）2C0，233B，6 23D，6 6第卷第卷注意事项：注意事项：精品文档精品文档1 1答题前，考生先在答题卡上用直径答题前，考生先在答题卡上用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2 2第卷共第卷共 2 2 页，请用直径页，请用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效答，在试题卷上作答无效3 3本卷共本卷共 1010 题，共题，共 9090 分分二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在横线上分把答案填在横线上（13）从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种（用数字作答）（14）函数y f(x)的图像与函数y log3x(x 0)的图像关于直线y x对称，则f(x)（15）等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上 已知正三棱柱的底面边长为 2，则该三角形的斜边长为三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 10 分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a 2bsin A（）求B的大小；（）求cosAsinC的取值范围（18）（本小题满分 12 分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为P10.420.230.240.150.1商场经销一件该商品，采用1 期付款，其利润为200 元；分2 期或 3 期付款，其利润为250元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元表示经销一件该商品的利润（）求事件A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率P(A)；（）求的分布列及期望E（19）（本小题满分 12 分）四棱锥S ABCD中，底 面ABCD为平行四 边形，侧面SBC 底面ABCD已知ABC 45，AB 2，BC 2 2，SA SB 3（）证明SA BC；（）求直线SD与平面SAB所成角的大小精品文档CDASB精品文档（20）（本小题满分 12 分）设函数f(x)e e（）证明：f(x)的导数f(x)2；（）若对所有x0都有f(x)ax，求a的取值范围（21）（本小题满分 12 分）xxx2y21的左、已知椭圆右焦点分别为F1，F2 过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F232的直线交椭圆于A，C两点，且AC BD，垂足为P22x0y01；（）设P点的坐标为(x0，y0)，证明：32（）求四边形ABCD的面积的最小值（22）（本小题满分 12 分）已知数列an中a1 2，an1(2 1)(an2)，n 1，2，3，（）求an的通项公式；（）若数列bn中b1 2，bn13bn4，n 1，2，3，2bn3证明：2 bna4n3，n 1，2，3，精品文档精品文档20072007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修理科数学试题（必修+选修）参考答案选修）参考答案一、选择题：一、选择题：（1）D（2）B（7）D（8）D二、填空题：二、填空题：（13）36（3）A（9）Bx（4）A（10）D（5）C（11）C（6）C（12）A（14）3(xR R)（15）13（16）2 3三、解答题：三、解答题：（17）解：（）由a 2bsin A，根据正弦定理得sin A 2sin Bsin A，所以sin B 由ABC为锐角三角形得B 1，26 A（）cos AsinC cos Asin cos Asin A613 cos Acos Asin A223sinA3由ABC为锐角三角形知，A B，B 2222632 A，336所以13sinA232333sinA 3，232由此有3 3所以，cosAsinC的取值范围为2，2（18）解：（）由A表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”精品文档精品文档知A表示事件“购买该商品的3 位顾客中无人采用 1 期付款”P(A)(10.4)2 0.216，P(A)1 P(A)10.216 0.784（）的可能取值为200元，250元，300元P(200)P(1)0.4，P(250)P(2)P(3)0.20.2 0.4，P(300)1 P(200)P(250)10.40.4 0.2的分布列为P2000.42500.43000.2E 2000.42500.43000.2 240（元）（19）解法一：（）作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD因为SA SB，所以AO BO，又ABC 45，故AOB为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得SABC（）由（）知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由AD BC 2 2，SA S3，AO 2，得SO 1，SD 11COASAB的面积S11AB2 1SA2AB222BD连结DB，得DAB的面积S21AB ADsin135 22设D到平面SAB的距离为h，由于VDSABVSABD，得11h S1SO S2，33解得h 2精品文档精品文档设SD与平面SAB所成角为，则sinh222SD11112211所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin解法二：（）作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD因为SA SB，所以AO BO又ABC 45，AOB为等腰直角三角形，AOOB如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O xyz，zA(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，0)，S(0，0，1)，0，1)，SA (2，CB (0，2 2，0)，SA CB 0，所以SABCSGCDA220（）取AB中点E，E2，2，OEBy22 1连结SE，取SE中点G，连结OG，G4，4，222 122AB (2，2，0)OG 14，4，SE 2，2，2xSE OG 0，AB OG 0，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直所以OG 平面SAB，OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余D(2，2 2，0)，DS (2，2 2，1)cosOG DSOG DS2222，sin，11112211所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin（20）解：（）f(x)的导数f(x)e exx精品文档精品文档由于exe-x2 exex 2，故f(x)2（当且仅当x 0时，等号成立）（）令g(x)f(x)ax，则yADxg(x)f(x)a exexa，B（）若a2，当x 0时，g(x)e ea 2a0，xxPF1OF2C故g(x)在(0，)上为增函数，所以，x0时，g(x)g(0)，即f(x)axaa24（）若a 2，方程g(x)0的正根为x1 ln，2此时，若x(0，x1)，则g(x)0，故g(x)在该区间为减函数所以，x(0，x1)时，g(x)g(0)0，即f(x)ax，与题设f(x)ax相矛盾综上，满足条件的a的取值范围是，2（21）证明：（）椭圆的半焦距c 32 1，22由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x0 y01，2222y0 x0y0 x211所以，32222（）（）当BD的斜率k存在且k 0时，BD的方程为y k(x1)，代入椭圆方程x2y21，并化简得(3k2 2)x26k2x3k26 032设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则6k23k26x1 x2 2，x1x223k 23k 2精品文档精品文档BD 1k24 3(k21)x1 x2(1k)(x2 x2)4x1x23k22；22因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为1，k 14 3214 3(k21)k所以，AC 212k 3322k四边形ABCD的面积124(k21)2(k21)296S BD AC 222222(3k 2)(2k 3)(3k 2)(2k 3)252当k 1时，上式取等号（）当BD的斜率k 0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S 4综上，四边形ABCD的面积的最小值为（22）解：（）由题设：29625an1(2 1)(an2)(2 1)(an2)(2 1)(22)(2 1)(an2)2，an12 (2 1)(an2)所以，数列an2是首项为22，公比为2 1的等比数列，an2 2(2 1)n，即an的通项公式为ann2(2 1)1，2，3，n 1（）用数学归纳法证明（）当n 1时，因2 2，b1 a1 2，所以精品文档精品文档2 b1a1，结论成立（）假设当n k时，结论成立，即2 bka4k3，也即0bk2a4k3 3当n k 1时，bk12 3bk422bk3(32 2)bk(43 2)2bk3(32 2)(bk2)0，2bk311 32 2，2bk32 2 3又所以bk12(3 2b 2k)(2bk32)(32 2)2(bk2)(2 1)4(a4k32)a4k12也就是说，当n k 1时，结论成立根据（）和（）知2 bna4n3，n 1，2，3，精品文档