2021年高考数学真题试题(北京卷)(Word版+答案+解析).pdf

20212021 年高考数学真题试卷（北京卷）年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共一、选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（共要求的一项（共 1010 题；共题；共 4040 分）分）1.已知集合 =|1 1，=|0 2，则 =（）A.(1,2)B.(1,2C.0,1)D.0,12.在复平面内，复数 满足(1 )=2，则 =（）A.2+B.2 C.1 D.1+3.已知()是定义在上 0,1 的函数，那么“函数()在 0,1 上单调递增”是“函数()在 0,1上的最大值为(1)”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.3+3 B.4 C.3+3 D.225.双曲线:A.2232222=1 过点(2,3)，且离心率为 2，则该双曲线的标准方程为（）23 =1 C.22323=1 D.323=1 B.2=16.和 是两个等差数列，其中(1 5)为常值，1=288，5=96，1=192，则 3=（）A.64 B.128 C.256 D.5127.函数()=cos cos2，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为 2 B.偶函数，最大值为 2C.奇函数，最大值为8D.偶函数，最大值为88.定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度其中小雨（10mm），中雨（10mm 25mm），大雨（25mm 50mm），暴雨（50mm 100mm），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）99A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨9.已知圆:2+2=4，直线:=+，当 变化时，截得圆 弦长的最小值为 2，则=（）A.2B.2C.3D.510.数列 是递增的整数数列，且 1 3，1+2+=100，则 的最大值为（）A.9B.10C.11D.12二、填空题二、填空题 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分（共分（共 5 5 题；共题；共 2525 分）分）11.(3)4展开式中常数项为_12.已知抛物线:2=4，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且|=6，则 的横坐标是_；作 轴于 ，则=_13.若点(cos,sin)与点(cos(+6),sin(+6)关于 轴对称，写出一个符合题意的 =_14.已知函数()=|lg|2，给出下列四个结论：若 =0，则()有两个零点；0，使得()有一个零点；0，使得()有三个零点以上正确结论得序号是_=(2,1)，)=_15.=(2,1)，=(0,1)，则(+=_；1三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8585 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（共分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（共 6 6 题；题；共共 8585 分）分）16.已知在 中，=2cos，=（1）求 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度23 =2；周长为 4+23；面积为=33；417.已知正方体 1111，点 为 11中点，直线 11交平面 于点 （1）证明：点 为 11的中点；5（2）若点 为棱 11上一点，且二面角 的余弦值为，求3111的值18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合 1 检测法”，即将 k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测现有100人，已知其中 2 人感染病毒（1）若采用“10 合 1 检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；已知10人分成一组，分10 组，两名感染患者在同一组的概率为11，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数 X 的分布列和数学期望 E(X)；（2）若采用“5 合 1 检测法”，检测次数 Y 的期望为 E(Y)，试比较 E(X)和 E(Y)的大小(直接写出结果)19.已知函数()=2+（1）若 =0，求 =()在(1,(1)处切线方程；（2）若函数()在 =1 处取得极值，求()的单调区间，以及最大值和最小值20.已知椭圆:22321+2=1(0)过点(0,2)，以四个顶点围成的四边形面积为 45 2（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）过点 P(0，-3)的直线 l 斜率为 k，交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 交 y=-3 于点 M、N，直线 AC 交 y=-3 于点 N，若|PM|+|PN|15，求 k 的取值范围21.定义 数列 ：对实数 p，满足：1+0，2+=0；,414；+,+1，,（1）对于前 4 项 2，-2，0，1 的数列，可以是 2数列吗？说明理由；（2）若 是 0数列，求 5的值；（3）是否存在 p，使得存在 数列 ，对 ,10？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由答案解析部分一、选择题共10 小题，每小题4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.【答案】B【考点】并集及其运算【解析】【解答】解：根据并集的定义易得 =|1 2，故答案为：B【分析】根据并集的定义直接求解即可.2.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：=1=(1)(1)=1，故答案为：D【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：【充分性】若函数 f(x)在0,1上单调递增，根据函数的单调性可知:函数 f(x)在0,1的最大值为 f(1),所以“函数 f(x)在0,1.上单调递增”为“函数 f(x)在0,1的最大值为 f(1)“的充分条件；【必要性】若函数 f(x)在0,1的最大值为 f(1)，函数 f(x)在0,1上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，所以“函数 f(x)在0,1.上单调递增”不是“函数 f(x)在0,1的最大值为 f(1)“的必要条件，所以“函数 f(x)在0,1上单调递增”是“函数 f(x)在0,1的最大值为 f(1)“的充分而不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.4.【答案】A【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积22(1)【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示：该四面体为直三棱锥，其中SA平面 ABC，SA=AB=AC=1，则 SB=SC=BC=2，则所求表面积为=3 (1 1)+2 2 sin60=22113+32故答案为：A【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.5.【答案】A【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由=2得 c=2a，则 b2=c2-a2=3a2则可设双曲线方程为：将点22232=1，2(2,3)代入上式，得2)2(3)322=1解得 a2=1,b2=3故所求方程为：2故答案为：A【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.6.【答案】B【考点】等差数列的性质23=115【解析】【解答】解：由题意得=192=2，则=2，则5=35=64，所以3=15288332152=192642=128.故答案为：B【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.7.【答案】D【考点】偶函数，二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x)f(x)为偶函数又 f(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1令 t=cosx，则 y=-2t2+t+1，t-1,1，则当=2(2)=4时，y 取得最大值=(2)(1)11=9.448故答案为：D【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可.8.【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：如图所示，112由题意得100=300，则 r=50则雨水的体积为=3r2h=3 502 150，则降雨的厚度（高度）为=故答案为：B【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.100211150=150215031002=12.5()9.【答案】C【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线 l 的距离为 d，则2=2()=4，2422则当 n 取最小值 2 时，d 取得最大值为3，则=|12 3当 k=0 时，d 取得最大值为3，则|=3解得=3故答案为：C【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.10.【答案】C【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和【解析】【解答】解：数列 是递增的整数数列，n 要取最大，d 尽可能为小的整数，故可假设 d=1 a1=3，d=1 an=n+2=(32)2=252则 S11=88100，故 n 的最大值为 11.故答案为：C【分析】根据等差数列的通项公式及前n 项和公式求解即可.二、填空题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11.【答案】-4【考点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用1(3)4(【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为1=41)124()=4令 12-4k=0，得 k=33(故常数项为4=31=41)3=4故答案为：-4【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.12.【答案】5；45【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用【解析】【解答】解：由题意知焦点F 为（1,0），准线为 x=-1，设点 M 为（x0,y0）,则有|FM|=x0+1=6，解得 x0=5，则0=25，不妨取点 M 为(5,25)则点 N 为(5,0)则|FN|=5-1=4则=2|=2 4 25=45故答案为：5，45【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.13.【答案】12（满足 =【考点】诱导公式sin=sin(+6)551211+,即可）)，对比诱导公式 sin=sin(-)，cos=-cos(-)【解析】【解答】解：由题意得cos=cos(+6)得+=+2k，6解得=5+k,k Z12当 k=0 时，=512故答案为：512【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.14.【答案】【考点】函数的零点【解析】【解答】解：令|lgx|-kx-2=0，即 y=|lgx|与 y=kx+2 有几个交点，原函数就有几个零点，当 k=0 时，如图 1 画出函数图像，f(x)=|lgx|-2，解得 x=100 或=100，所以有两个零点，故项正确；当 k0 时，y=kx+2 过点(0,2)，如图 2 画出两个函数的图像，0，使得两函数存在两个交点，故项正确；当 k0 时，y=kx+2 过点(0,2)，如图 3 画出两个函数的图像，不存在k0 时，y=kx+2 过点(0,2)，如图 4 画出两个函数的图像，0，使得两函数存在三个交点，故项正确.故答案为：【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.15.【答案】0；3【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意得+=(4,0)，则(+)=4 0+0 1=0，=2 2+1(1)=31故答案为：0，3【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.【答案】（1）=2cos，则由正弦定理可得 sin=2sincos，sin2=sin23=32，=2，(0,3)，2 (0,323)，2=，解得 =；36（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得=sin与 =2 矛盾，故这样的 不存在；若选择：由（1）可得 =6，设 的外接圆半径为 ，则由正弦定理可得 =2sin6=，=2sin23sin3212=3，=3，则周长 +=2+3=4+23，解得 =2，则 =2,=23，由余弦定理可得 边上的中线的长度为：(23)2+12 2 23 1 cos6=7；若选择：由（1）可得 =6，即 =，则=sin=2=222113334，解得 =3，则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：2+()2 2 cos2223=3+34332=212.【考点】正弦定理，余弦定理，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可；（2）选择：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；选择：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；选择：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.17.【答案】（1）如图所示，取 11的中点，连结,，由于 1111为正方体，,为中点，故 ，从而,四点共面，即平面CDE 即平面，据此可得：直线 11交平面 于点，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合，即点 为 11中点.（2）以点 为坐标原点，,1方向分别为 轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐标系 ，不妨设正方体的棱长为2，设111=(0 1)，则：(2,2,2),(0,2,0),(1,2,2),(1,0,2)，=(2,2 2,2),=(1,0,2),=(0,2,0)，从而：=(1,1,1)，则：设平面 的法向量为：=21+(2 2)1 21=0 ，=1+21=0 =(2,1)，令 1=1 可得：1=(2,2,2)，则：设平面 的法向量为：=22=0，=2+22=0=(2,0,1)，令 1=1 可得：从而：=5,|=5+(111)2,|=5，,=|=则：cos|1 55(12)51=53，3整理可得：(1)2=4，故=2（=2舍去）.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）根据正方体的性质，结合直线与平面相交的性质定理求证即可；（2）根据向量法求二面角，结合方程的思想求解即可.18.【答案】（1）对每组进行检测，需要10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10 次；所以总检测次数为 20 次；由题意，可以取 20，30，(=20)=，(=30)=111=11，1111101则 的分布列:所以()=20113011=（2）由题意，可以取 25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，(=25)=，(=30)=1，则()=2530(1)=305，若 =11时，()=()；若 11时，()()；若 11时，()().【考点】简单随机抽样，互斥事件与对立事件，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）根据“k 合 1 检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；根据“k 合 1 检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可；（2）根据“k 合 1 检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.19.【答案】（1）当 =0 时，()=3222221102011320111301011；，则()=2(3)3，(1)=1，(1)=4，此时，曲线 =()在点(1,(1)处的切线方程为 1=4(1)，即 45=0；（2）因为()=2，则()=2(4)322(2)2(32)(2)2=2(23)(2)2，由题意可得(1)=(1)2=0，解得 =4，故()=24，()=()()322(1)(4)(24)2，列表如下：-10极大值(1,4)-减40极小值(4,)+增(,1)+增所以，函数()的增区间为(,1)、(4,)，单调递减区间为(1,4).当 0；当 2时，()0，解得 1.又 12=452,12=452，故 12 0，所以 012又|=|=|1222|3025=|11+21|=|212(1+2)+1|=|故 5|15 即|3，综上，3 1或 1 3.12212(1+2)50304+524+52252302+124+54+52|=5|【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.21.【答案】（1）由性质结合题意可知 0=3 1+2+2,1+2+2+1=2,3，矛盾，故前 4 项 2,2,0,1的数列，不可能是 2数列.（2）性质 1 0,2=0，由性质+2,+1，因此 3=1或 3=1+1，4=0 或 4=1，若 4=0，由性质可知 3 4，即 1 0 或 1+1 0，矛盾；若 4=1,3=1+1，由 3 4有 1+1 1，矛盾.因此只能是 4=1,3=1.又因为 4=1+3或 4=1+3+1，所以 1=2或 1=0.若 1=2，则 2=1+1 1+1+0,1+1+0+1=21,21+1=1,2，不满足 2=0，舍去.当 1=0，则 前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明 4+=(=1,2,3),4+4=+1()：当 =0 时，经验证命题成立，假设当 (0)时命题成立，当 =+1 时：若 =1，则 4(+1)+1=4+5=+(4+5)，利用性质：+4+5 ,1 4+4=,+1，此时可得：4+5=+1；否则，若 4+5=，取 =0 可得：5=0，而由性质可得：5=1+4 1,2，与 5=0 矛盾.同理可得：+4+6 ,1 4+5=,+1，有 4+6=+1；+4+8 ,2 4+6=+1,+2，有 4+8=+2；+4+7 ,1 4+6=+1，又因为 4+7 4+8，有 4+7=+1.即当 =+1 时命题成立，证毕.综上可得：1=0，5=41+1=1.（3）令=+，由性质可知：,+=+,+1=+,+1，由于 1=1+0,2=2+=0,41=41+4+=4，因此数列 为 0数列.11由（2）可知:若 ,4=(=1,2,3),44=1 ；11 10=11=423=2 0，9 10=10=422=(2 )0，因此 =2，此时 1,2,10 0，0(11)，满足题意.【考点】数列的概念及简单表示法，数学归纳法，数学归纳法的证明步骤【解析】【分析】（1）根据新数列 Rp数列的定义进行判断即可；（2）根据新数列 Rp数列的定义，结合数学归纳法求解即可；（3）根据新数列 Rp数列的定义，结合 an与 sn的关系进行判断即可.