2019年高考(理科)数学真题试卷(全国Ⅰ卷)及答案解析.pdf
20192019 年高考理数真题试卷（全国 I I 卷）一、选择题：本题共1212小题，每小题5 5分，共6060分。每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。D.Z2VXD.Z2VXV3V3A.xA.x卜B B g-g-4 v x v-4 v x v-M-2X2C4VXV34VXV31.(20191.(2019卷I)I)已知集合M=N-4X2M=N-4X2t N=t N=hlvhlv2 2X 60X 60t t则MMAN=()D.x2+(y+1)2=1D.x2+(y+1)2=1D.D.bcabca2.2.（20192019卷I I设复数z z满足z z在貝平面内对应的点为（x.yx.y）.A.A.（+1+1）-+-+护=1 B.1 B.（X X 1 1）+.+.）=1=13.3.（2019*2019*卷I I己知a=loga=log2 20.2.b=,c=0.20.2.b=,c=0.2U U3 3,则（），c.c.戏+OO 1 1）1=11=1A A abc abcB.acbB.acbC C cab ca2019卷I I）古希腊吋期.人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度Z Z比是0 618.称为黄金分割比例），著名的断劈维纳斯便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是2.若某人满足上述两个黄金分割比例.且腿长为105cm,105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm.26cm.则其身髙可能是（）A.165cmA.165cmB.175cmB.175cmC.185cmC.185cmD.190cmD.190cm1/111/11SilLY+x(2019(20190,b0)(a0,b0)的左、右焦点分别为斤.F F ,过F F】的2 2直线与C C的两条渐近线分别交于A AB B两点。若芹=益，菲瓦瓦0,0,则C C的离心率为 _.三、解答题：共7070分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步篥 第17211721题为必考題,每个试题考生都必须作答.第2222、2323题为选考题，考生根据要求作答.17.17.(2019(2019卷I)AABCI)AABC的内角A.BA.B C C的对边分别为a.b.c.S(sinB-sinC)a.b.c.S(sinB-sinC)2 2=sin=sin2 2A-sinBsinC.A-sinBsinC.(1)(1)求A A：若问d+bhNd+bhN，求sinC.sinC.18.18.(2019(2019卷I)I)如图.直四棱柱ABCD-AxBxCxDiABCD-AxBxCxDi的底面是菱形.AAf=4AAf=4 AB=2t Z BAD=6(T AB=2t Z BAD=6(T E,M.N E,M.N分别是BCBCBBi ABBi A】D D的中点(1)(1)证明：3(1)(1)若|AF|+|BF|=4|AF|+|BF|=4#求I I的方程：(2)(2)若JP=3PBJP=3PB#jR|AB|.jR|AB|.19.19.(2019*(2019*卷I)I)已知抛物线C C：y3x y3x的焦点为F,F,斜率为空的直线I I与C C的交点为A,B,A,B,与x x轴的交 点为P.P.20.20.(2019(2019卷I)I)已知函数f(x)=sinx-ln(l+x)F(x)f(x)=sinx-ln(l+x)F(x)为f(x)f(x)的导数证明：5/115/11（1 1）（2 2）f f（x x）在区间（1,21,2）存在唯一极大值点：f f（x x）有且仅有2 2个零点.21.21.（2019*2019*卷I I为治疗某种疾精，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试 验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治 愈的白鼠务4 4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问題.约定：对于每轮 试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 1分，乙药得分：若施以乙药的白鼠 治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 1分，甲药得J J分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0 0分甲、乙两种药的治愈率分别记为a a和乩一轮试验中甲药的得分记为X.X.1 1）求X X的分布列；（2 2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 4分.a（匸0,10,188）表示“甲药的累计得分为i i时，最终认为甲 药比乙药更有效的概率，则Po=O,Pg=,pPo=O,Pg=,p产apdbps+cpapdbps+cp沁（i=l,2,i=l,2,c=Pc=P（X=lX=l）.假设a=0.5.0=0.8.a=0.5.0=0.8.（i i）证明：9 9田一匕（i=0,l,2,i=0,l,2,7 7）为等比数列：7 7）,其中a=Pa=P（X=-lX=-l）,b=P,b=P（X=0X=0）,何求P P。，并根据P4P4的值解释这种试验方案的合理性.四.选考测 共1010分请考生在第2222、2323题中任选一作答.如果多做，则按所做的第一 题计分。22.22.（20192019卷I I）在直角坐标系xOyxOy中.曲线C C的参数方程为卩=帀（t t为参数）以坐标原点0 0为极点.x x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1 1）求C C和I I的直角坐标方程：求C C上的点到I I距离的最小值。（2 2）23.23.（20192019卷I I）已知a.b.a.b.（:为正数.且满足abc=labc=l证明:答案解析部分3 3一、选择题：木题共12123 3小題.每小題5 5分，共6060分.每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题口 要求的.(2)(a+b)(2)(a+b)+(b4C+(b4C)3 3Mc+a)Mc+a)24o24o1.1.【答案】C C2.2.【答案】C C3.3.【答案】B B4.4.【答案】B B6/116/115.5.【答案】D D6.6.【答案】A A7.7.【答案】B B8.8.【答案】A A9.9.【答案】A A10.10.【答案】B B11.11.【答案】C C12.12.【答案】D D二、填空題:本题共4 4小题，每小题5 5分，共2020分.13.13.【答案】y=3xy=3x】212114.14.【答案】3 315.15.【答案】0.180.1816.16.【答案】2 2三、解答題：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第22、23题为选考題,考生根据要求作答。17.17.【答案】(1)1)解：(sinB一sinC)=snrJ一smsinC,sirrB+siirC一sm2J=sinBsinC,由正弦定理得：=cosJ=&艺=与,*=奇或/=誓,由余弦定理得：7/117/11在三角形中.(2)(2)解：匝a+2sinC,?sinJ+smB18.18.【答案】解：连结6CME6CME因为MME E分别为BBbBC的中点，所以ME|ME|场C,C,且 场C C又因为川为的中点，所以NDpQ.由题设知J J11 H11 H=DC=DC,可得 丙*11=/*11=/忆故*(E|=ND.*(E|=ND.因此四边形MNDE为平行四边形,MNllED.MNllED.又MNC平面CQE,所以MN平面CQE.(2)2)解：建立空间直角坐标系，点N N在底面投影为点F.F.8/118/11禺（0,0,4）皿=（一厶0,2）,设平而A%!”的法向虽为n=（x,yz）,阳芥n=0Vn由-5什2必易知平而的一个法向量为示=（，1，），.*.cosO?,7)i)=sin伉w)=-i-匝所以二面角一的正弦值为5 19.【答案】解：设直线/的方程为：尸尸+勿矗易恥必 陆J，汪0,可+x2=笔也，_铜+|亦=丑+七+空=+2=4 b=_g,._ r_7/的方程为：2A 8$=寻x+b 1(2)护=3x,2y2y+b=Oj儿+卩2=厶V?=5解:3由AP=3PB y=一联立上式得 g 一公儿=3，儿=T9/11专疋+3方 f+（22.窗顾购 5 一需眄+為珅吨皿十 5 和輕+击,X.存在(1(1+巧=sinxsinx(4W VO)=O.(EXQ)+/AGO,yA Ao（号）rw7T7T2 20厂(x)极大值所以/2丿存（Q 在在唯一证明/(号)=_吨+号)O,/(e_l)=sin(e_l)_lvO,递减.又/(0)=0,A/Cv)0;3.3.当XIX2TT时，siav/(.Xj),/./(x)0;siav/(.Xj),/./(x)2x2兀时.sin.vlue=Lsin.vlue=L/(x)0;/(x)0;综上所述，丿(天)有且仅有2 2个零点。10/1110/112121.【答案】(1)1)解：P=4=4；=(l-a)A/=(l-a)A/5 5(=l)=(l-P(=0)=(l-aXl-ZO(=l)=(l-P(=0)=(l-aXl-ZOA A所以x x的分布列为:X XP P-1-10 0l+2a0a-0l+2a0a-01 1P-apa-afi(2)(i)(2)(i)证明：a=04,b=0a=04,b=05,c=05,c=0l,l,则=12,3,=12,3,A,AP P汁fPfP严4(p4(p厂啓),Q=1,2,3,),Q=1,2,3,，7),7),利用等比数列的定义证出：数列H-1-（1=04,21=04,2.7.7）为等比数列.P（ii ii）P 応Pi=4（pp 严歼4：P P8 8=6?=6?8 8-?-?7 7）+（?7 7-?-?6 6）+（Pi_PPi_P0 0）=（l+4+l+4+4/+4/）竹=1,1,-1一4-3矿l+4+l+4+47=E=R+47=E=R卩4=4=（卩4_4_卩3 3）+（卩3_3_卩2 2）+92_+92_卩1 1）+卫1=1=（1+4+1+4+“+4+4为1=1=击，表示在初始4 4分的情况下.甲药累计得分为4 4时，1认为甲药比乙药更有效的概率仅为257!o.oi257!85 5）,故这种试验方案是合理的.四、选考題：共1010分。请考生在第2222、2323题中任选一題作答.如果多做，则按所做的第一题计分。5因为一】書”所以C C的直角坐标方程为疋+寸=l=l（xHxH 1 1）詢7裔“所以直线1 的直角坐标方程为匕+屁+11=011=011/1111/11p=COSO,p=COSO,(2)(2)由(1)1)可设曲线c c的参数方程为b=2smab=2sma(a a为参数.一兀vav/r).vav/r).曲线ct的点到/的 0 0盼2$sinoH-11|2$sinoH-11|4cos(a4cos(a33)+ll+ll_ 迦a=当y时.4cos(a-4cos(a-)+ll+ll取得最小值7,7,故c c上的点到/距离的最小值为帀.23.23.【答案】(1)1)解：因为a?+ba?+b，+c2 2 ab+be+ca=+c2 2 ab+be+ca=2ab,bz+c 2bct c+a2act又abc=lt故有=+*+?+*+?所以寺+舟+2+h+2 3V+C+3V(a+b)(b+c(a+c)a+b)(b+c(a+c)=3=3(时汎広吃)3X(2F)x xQ 阪)x)x(2ac)=24.=24.所以(d+b)4(b+c)+(c+d)d+b)4(b+c)+(c+d)勺242412/1112/11
