2018年全国高考新课标1卷理科数学试题.pdf

20182018 年普通高等学校招生全国统一考试新课标年普通高等学校招生全国统一考试新课标 1 1 卷卷理科数学理科数学注意事项：注意事项：1 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 2 回答选择题时，回答选择题时，选出每小题答案后，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。在答题卡上。写在本试卷上无效。3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。中，只有一项是符合题目要求的。1-i1-i1 1设设 z=z=+2i+2i，则，则|z|=|z|=1+i1+i1 1A A0 B0 B C C1 D1 D 2 22 21-i1-i解析：选解析：选 C z=C z=+2i=-i+2i=i+2i=-i+2i=i1+i1+i2 2已知集合已知集合 A=x|xA=x|x2 2-x-20-x-20，则，则RA=A A x|-1x2 Bx|-1x2 B x|-1x|-1x x2 C2 C x|x-1x|x2 Dx|x2 D x|xx|x-1-1x|xx|x22解析：选解析：选 B A=x|x-1B A=x|x2x23 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是则下面结论中不正确的是A A新农村建设后，种植收入减少新农村建设后，种植收入减少B B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C C新农村建设后，养殖收入增加了一倍新农村建设后，养殖收入增加了一倍D D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选解析：选 A A4 4设设 S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前 n n 项和，若项和，若 3S3S3 3=S=S2 2+S+S4 4，a a1 1=2=2，则，则 a a5 5=A A-12-12B B-10-10C C1010D D1212解析：选解析：选3(3a3(3a1 1+3d)=(2a+3d)=(2a1 1+d)+(4a+d)+(4a1 1+6d)a+6d)a1 1=2=2d=-3 ad=-3 a5 5=-10=-105 5设函数设函数 f(x)=xf(x)=x3 3+(a-1)x+(a-1)x2 2+ax+ax，若，若 f(x)f(x)为奇函数，则曲线为奇函数，则曲线 y=f(x)y=f(x)在点在点(0,0)(0,0)处的处的切线方程为切线方程为A Ay=-2xy=-2xB By=-xy=-xC Cy=2xy=2xD Dy=xy=x解析：解析：选选 D Df(x)f(x)为奇函数为奇函数a=1a=1f(x)=xf(x)=x3 3+x+xf(x)f(x)=3x=3x2 2+1+1f(f(0)=10)=1故选故选 D D=6 6在在ABCABC 中，中，ADAD 为为 BCBC 边上的中线，边上的中线，E E 为为 ADAD 的中点，则的中点，则EBEB3 31 11 13 33 31 11 1A A ABAB-ACACB BABAB-ACACC C ABAB+ACACD DABAB4 44 44 44 44 44 44 43 3+ACAC4 41 1 1 11 11 11 1 3 31 1解析：选解析：选 A A结合图形，结合图形，EBEB=-=-(BA(BA+BD+BD)=-)=-BABA-BCBC=-=-BABA-(AC(AC-AB-AB)=)=ABAB-ACAC2 22 24 42 24 44 44 47 7某圆柱的高为某圆柱的高为 2 2，底面周长为，底面周长为 1616，其三视图如图圆柱表面上的点，其三视图如图圆柱表面上的点M M 在正视图在正视图上的对应点为上的对应点为 A A，圆柱表面上的点圆柱表面上的点 N N 在左视图上的对应点为在左视图上的对应点为 B B，则在此圆柱侧面上，则在此圆柱侧面上，从从 M M 到到 N N 的路径中，最短路径的长度为的路径中，最短路径的长度为A A2 2 1717B B2 2 5 5C C3 3D D2 2解析：选解析：选 B B所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长2 28 8设抛物线设抛物线 C C：y y=4x=4x 的焦点为的焦点为 F F，过点（，过点（2 2，0 0）且斜率为）且斜率为 的直线与的直线与 C C 交于交于 M M，3 32 2N N 两点，则两点，则FMFMFNFN=A A5 5B B6 6C C7 7D D8 82 2解解析析：选选 D DF(1,0)F(1,0)，MNMN 方方程程为为 y=y=(x+2),(x+2),代代入入抛抛物物线线方方程程解解得得交交点点3 3=(3,4)=(3,4)M(1,2),N(4,4),M(1,2),N(4,4),则则FMFM=(0,2),FN=(0,2),FN=8=8FMFMFNFNx x e e，x x0 09 9已知函数已知函数 f(x)=f(x)=lnxlnx，x0 x0，g(x)=f(x)+x+ag(x)=f(x)+x+a若若 g g（x x）存在）存在 2 2 个零点，个零点，则则 a a 的取值范围是的取值范围是A A 1 1，0 0）B B00，+），+）C C 1 1，+），+）D D11，+），+）解析：选解析：选C g(x)=0C g(x)=0 即即 f(x)=-x-af(x)=-x-a，即，即y=f(x)y=f(x)图象与直线图象与直线 y=-x-ay=-x-a 有有 2 2 个交点，结个交点，结合合 y=f(x)y=f(x)图象可知图象可知-a1-a11010下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形三个半圆的直径分别为直角三角形 ABCABC 的斜边的斜边 BCBC，直角边，直角边 ABAB，ACACABCABC 的三边的三边所围成的区域记为所围成的区域记为 I I，黑色部分记为黑色部分记为 IIII，其余部分记为其余部分记为 IIIIII在整个图形中随机取在整个图形中随机取一点，此点取自一点，此点取自 I I，IIII，IIIIII 的概率分别记为的概率分别记为 p1p1，p2p2，p3p3，则，则A Ap1=p2p1=p2B Bp1=p3p1=p3C Cp2=p3p2=p3D Dp1=p2+p3p1=p2+p31 13 31 11 15 5解析：选解析：选 A AAC=3AC=3，AB=4AB=4，BC=5BC=5，AC=AC=，AB=2,AB=2,BC=BC=2 22 22 22 22 21 13 32 21 12 22525以以 ACAC 和和 ABAB 为直径的两个半圆面积之和为为直径的两个半圆面积之和为()+2 2=2 22 22 28 81 15 52 21 1以以 BCBC 为直径的半圆面积与三角形为直径的半圆面积与三角形 ABCABC 的面积之差为的面积之差为()-3 32 22 22 225254=4=-6-6；8 825252525两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于-(-(-6)=6=-6)=6=ABCABC 面积面积8 88 8p1=p2p1=p2x x2 21111已知双曲线已知双曲线 C C：-y-y2 2=1=1，O O 为坐标原点，为坐标原点，F F 为为 C C 的右焦点，过的右焦点，过 F F 的直线与的直线与 C C3 3的两条渐近线的交点分别为的两条渐近线的交点分别为 M M、N.N.若若OMNOMN 为直角三角形，则为直角三角形，则|MN|=|MN|=3 3A AB B3 3C C2 2 3 3D D4 42 23 3x,MNx,MN 的斜率为的斜率为 3 3，方程为，方程为3 3解析：选解析：选 B B依题依题 F(2,0),F(2,0),曲线曲线 C C 的渐近线为的渐近线为 y=y=3 33 3y=y=3(x-2),3(x-2),联立方程组解得联立方程组解得 M(M(,-,-),N(3,),N(3,3),3),|MN|=3|MN|=32 22 21212已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为 1 1，每条棱所在直线与平面每条棱所在直线与平面 所成的角相等，所成的角相等，则则 截此截此正方体所得截面面积的最大值为正方体所得截面面积的最大值为3 3 3 32 2 3 33 3 2 23 3B BC CD D4 43 34 42 2A A解析：选解析：选 A A如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时，面积最大的中点时，面积最大此时正六边形的边长为此时正六边形的边长为2 23 32 23 3 3 3，其面积为，其面积为 6 6()2 2=2 24 42 24 4二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。x-2y-2x-2y-20 01313若若 x x，y y 满足约束条件满足约束条件 x-y+1x-y+10 0 y y0 0解析：答案为解析：答案为 6 6，则则 z=3z+2yz=3z+2y 的最大值为的最大值为_1414记记 S Sn n为数列为数列aan n 的前的前 n n 项和，若项和，若 S Sn n=2a=2an n+1+1，则，则 S S6 6=_=_解析：解析：a a1 1=-1=-1，n n2 2 时，时，a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=2a=2an-1n-1，a an n=-2=-2n-1n-1，S S6 6=2a=2a6 6+1=-64+1=-63+1=-64+1=-631515从从2 2 位女生，位女生，4 4 位男生中选位男生中选 3 3 人参加科技比赛，且至少有人参加科技比赛，且至少有1 1 位女生入选，则不位女生入选，则不同的选法共有同的选法共有_种种（用数字填写答案）（用数字填写答案）解析：合条件的选法有解析：合条件的选法有 C C6 63 3-C-C4 43 3=16=161616已知函数已知函数 f(x)=2sinx+sin2xf(x)=2sinx+sin2x，则，则 f(x)f(x)的最小值是的最小值是_解析：由题意可得解析：由题意可得 T=2T=2是是 f f（x x）=2sinx+sin2x=2sinx+sin2x 的一个周期，故只需考虑的一个周期，故只需考虑 f f（x x）=2sinx+sin2x=2sinx+sin2x 在在00，2 2）上的最小值。）上的最小值。f f（x x）=2cosx+2cos2x =2cosx+2(2cos=2cosx+2cos2x =2cosx+2(2cos2 2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)，1 15 5令令 f f（x x）=0=0 可解得可解得 cosx=cosx=或或 cosx=-1cosx=-1，可得此时可得此时 x=x=，或，或；2 23 33 35 5y=2sinx+sin2xy=2sinx+sin2x 的最大值和最小值只能在点的最大值和最小值只能在点 x=x=，或或和边界点和边界点x=0 x=0中取到，中取到，3 33 33 3 3 35 53 3 3 3计算可得计算可得 f f（）=，f f（）（）=0=0，f f（）=-=-，f f（0 0）=0=0，函数的最函数的最3 32 23 32 23 3 3 3小值为小值为-2 2三、解答题：共三、解答题：共7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17211721 题题为必考题，为必考题，每个试题考生都必须作答。每个试题考生都必须作答。第第 2222、2323 题为选考题，题为选考题，考生根据要求作答。考生根据要求作答。（一）必考题：（一）必考题：6060 分。分。1717（1212 分）分）在平面四边形在平面四边形 ABCDABCD 中，中，ADC=90ADC=900 0，A=45A=450 0，AB=2AB=2，BD=5.BD=5.（1 1）求）求 coscosADBADB；（2 2）若）若 DC=2DC=2 2 2，求，求 BC.BC.BDBDABAB2 2解：解：（1 1）在）在ABDABD 中，由正弦定理得中，由正弦定理得=.由题设知，由题设知，sinsinADB=ADB=.sinAsinA sinsinADBADB5 52323由题设知，由题设知，ADB 90ADB 90，所以，所以 coscosADB=ADB=.5 50 02 2（2 2）由题设及（）由题设及（1 1）知，）知，coscosBDC=sinBDC=sinADB=ADB=.5 5在在BCDBCD 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 BCBC2 2=BD=BD2 2+DC+DC2 2-2BD-2BDDCDCcoscosBDC=25BDC=25所以所以 BC=5.BC=5.1818（1212 分）分）如图，四边形如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，为正方形，E E，F F 分别为分别为 ADAD，BCBC 的中点，以的中点，以 DFDF 为折痕把为折痕把DFCDFC折起，使点折起，使点 C C 到达点到达点 P P 的位置，且的位置，且 PFPFBF.BF.（1 1）证明：平面）证明：平面 PEFPEF平面平面 ABFDABFD；（2 2）求）求 DPDP 与平面与平面 ABFDABFD 所成角的正弦值所成角的正弦值.解：解：（1 1）由已知可得，）由已知可得，BFBFPFPF，BFBFEFEF，所以，所以 BFBF平面平面 PEF.PEF.又又 BFBF平面平面 ABFDABFD，所以平面，所以平面 PEFPEF平面平面 ABFD.ABFD.（2 2）作）作 PHPHEFEF，垂足为，垂足为 H.H.由（由（1 1）得，）得，PHPH平面平面 ABFD.ABFD.|为单位长，建立如图所示的空间为单位长，建立如图所示的空间以以 H H 为坐标原点，为坐标原点，HFHF的方向为的方向为 y y 轴正方向，轴正方向，|BF|BF直角坐标系直角坐标系 H Hxyz.xyz.由由（1 1）可得，可得，DEDEPE.PE.又又 DP=2DP=2，DE=1DE=1，所以所以 PE=PE=3.3.又又 PF=1PF=1，EF=2EF=2，故故 PEPEPF.PF.可可得得 PH=PH=3 33 32 2,EH=,EH=2 2.则则 H(0,0,0),P(0,0,H(0,0,0),P(0,0,3 33 32 2),D(-1,-),D(-1,-2 2,0),DP,0),DP=(1,=(1,3 32 2,3 32 2),),HPHP=(0,0,=(0,0,3 32 2)为平面为平面 ABFDABFD 的法向量的法向量.设设 DPDP 与平面与平面 ABFDABFD 所成角为，则所成角为，则 sinsin=|=|DPDPHPHP|DP|DP|HP|HP|=|=3 34 4.所以所以 DPDP 与平面与平面 ABFDABFD 所成角的正弦值为所成角的正弦值为3 34 4.1919（1212 分）分）x x2 2设椭圆设椭圆 C:C:2 2+y+y2 2=1=1 的右焦点为的右焦点为 F F，过，过 F F 的直线的直线 l l 与与 C C 交于交于 A,BA,B 两点，点两点，点标为标为(2,0).(2,0).（1 1）当）当 l l 与与 x x 轴垂直时，求直线轴垂直时，求直线 AMAM 的方程；的方程；（2 2）设）设 O O 为坐标原点，证明：为坐标原点，证明：OMA=OMA=OMB.OMB.解：解：（1 1）由已知得）由已知得 F(1,0)F(1,0)，l l 的方程为的方程为 x=1.x=1.由已知可得，点由已知可得，点 A A 的坐标为的坐标为(1,(1,2 22 22 2)或或(1,-(1,-2 2).).M M 的坐的坐2 22 2所以所以 AMAM 的方程为的方程为 y=-y=-x+x+2 2或或 y=y=x-x-2.2.2 22 2（2 2）当）当 l l 与与 x x 轴重合时，轴重合时，OMA=OMA=OMB=0OMB=00 0.当当 l l 与与 x x 轴垂直时，轴垂直时，OMOM 为为 ABAB 的垂直平分线，所以的垂直平分线，所以OMA=OMA=OMB.OMB.当当 l l 与与 x x 轴不重合也不垂直时，轴不重合也不垂直时，设设 l l 的方程为的方程为 y=k(x-1)(ky=k(x-1)(k0)0)，A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2,y,y2 2)，y y1 1y y2 2则则 x x1 1 2,x2,x2 2 2 2，直线，直线 MAMA，MBMB 的斜率之和为的斜率之和为 k kMAMA+k+kMBMB=+.x x1 1-2-2 x x2 2-2-22kx2kx1 1x x2 2-3k(x-3k(x1 1+x+x2 2)+4k)+4k由由 y y1 1=kx=kx1 1-k,y-k,y2 2=kx=kx2 2-k-k 得得 k kMAMA+k+kMBMB=(x(x1 1-2)(x-2)(x2 2-2)-2)2 2x x2 24k4k将将 y=k(x-1)y=k(x-1)代入代入+y y2 2=1=1 得得(2k(2k2 2+1)x+1)x2 2-4k-4k2 2x+2kx+2k2 2-2=0-2=0所所以，以，x x1 1+x+x2 2=,2 2 2k 2k2 2+1+12k2k2 2-2-2x x1 1x x2 2=.2 2 2k 2k+1+14k4k3 3-4k-12k-4k-12k3 3+8k+8k3 3+4k+4k则则 2kx2kx1 1x x2 2-3k(x-3k(x1 1+x+x2 2)+4k=)+4k=0=0 2k 2k2 2+1+1从而从而 k kMAMA+k+kMBMB=0=0，故，故 MAMA，MBMB 的倾斜角互补，所以的倾斜角互补，所以OMA=OMA=OMB.OMB.综上，综上，OMA=OMA=OMB.OMB.2020（1212 分）分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 2020件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为合格品的概率都为 p(0p1)p(0p0p)0；当；当 p p,1),1)时，f(时，f(p)0.p)400EX400，故应该对余下的产品作检验，故应该对余下的产品作检验.2121（1212 分）分）1 1已知函数已知函数 f(x)=f(x)=-x+alnx-x+alnxx x（1 1）讨论）讨论 f(x)f(x)的单调性；的单调性；f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)（2 2）若）若 f(x)f(x)存在两个极值点存在两个极值点 x x1 1,x,x2 2，证明：，证明：a-22a2，令，令 f(f(x)=0 x)=0 得，得，x=x=或或 x=x=.2 22 2a-a-a a2 2-4-4a+a+a a2 2-4-4当当 x x(0,(0,)(,+,+)时，f(时，f(x)0 x)0.x)0.2 22 2a-a-a a2 2-4-4a+a+a a2 2-4-4a-a-a a2 2-4-4 a+a+a a2 2-4-4所以所以 f(x)f(x)在在(0,(0,)、(,+,+)单调递减，在单调递减，在(,)2 22 22 22 2单调递增单调递增.（2 2）由（）由（1 1）知，）知，f(x)f(x)存在两个极值点当且仅当存在两个极值点当且仅当 a2.a2.由于由于 f(x)f(x)的两个极值点的两个极值点 x x1 1,x,x2 2满足满足 x x2 2-ax+1=0-ax+1=0，所以所以 x x1 1x x2 2=1=1，不妨设不妨设 x x1 1x1.1.f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)1 1lnxlnx1 1-lnx-lnx2 2lnxlnx1 1-lnx-lnx2 2-2lnx-2lnx2 2由于由于=-=-1+a-1+a=-2+a=-2+a=-2+a=-2+a，x x1 1-x-x2 2 x x1 1x x2 2 x x1 1-x-x2 2 x x1 1-x-x2 21 1-x-x2 2x x2 2f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)1 1所以所以a-2a-2 等价于等价于 x x2 2+2lnx+2lnx2 20.0.x x1 1-x-x2 2x x2 21 1设函数设函数 g(x)=g(x)=-x+2lnx-x+2lnx，由（，由（1 1）知，）知，g(x)g(x)在在(0,+(0,+)单调递减，单调递减，x x又又 g(1)=0g(1)=0，从而当，从而当 x x(1,+(1,+)时，时，g(x)0.g(x)0.1 1f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)所以所以 x x2 2+2lnx+2lnx2 200，即，即a-2.1f(x)1 的解集；的解集；（2 2）若）若 x x(0,1)(0,1)时不等式时不等式 f(x)xf(x)x 成立，求成立，求 a a 的取值范围的取值范围.-2 x-1-2 x1f(x)1 2 x1 2 x1 1 1的解集为的解集为(,+,+)2 2（2 2）当）当 x x(0,1)(0,1)时时|x+1|-|ax-1|x|x+1|-|ax-1|x 成立等价于当成立等价于当 x x(0,1)(0,1)时时|ax-1|1|ax-1|0a0，|ax-1|1|ax-1|1 的解集为的解集为(0,(0,)，所以，所以 1 1，故，故(0,2(0,2a aa a综上，综上，a a 的取值范围为的取值范围为(0,2(0,2