初中数学竞赛专题选讲《观察法》.doc
初中数学竞赛专题选讲观察法初中数学竞赛专题选讲观察法一、内容提要一、内容提要数学题可以猜测它的结论（包括经验归纳法），但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确.观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础.观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论，再加以论证.敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握.例如：用观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系.一元方程各系数的和等于零时，必有一个解是 1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是1；n 次方程有 n 个根，这样才能判断是否已求出全部的根，当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒等式.对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，已知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法.选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势.二、例题二、例题例 1.解方程：x+x1=a+a1.解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根.根据方程解的定义，易知x=a；或 x=a1.观察本题的特点是：左边 x11x,右边 a11a.（常数 1 相同）.可推广到：若方程 f(x)+amaxfm)(（am0），则 f(x)=a；f(x)=am.如：方程 x2+22255aax,x2+3x83202 xx(8=101020).都可以用上述方法解.例 2.分解因式a3+b3+c33abc.分析：观察题目的特点，它是 a,b,c 的齐三次对称式.若有一次因式，最可能的是 a+b+c；若有因式 a+bc,必有 b+ca,c+ab；若有因式 a+b,必有 b+c,c+a；若有因式 bc,必有 ca,ab.解：用 a=bc 代入原式的值为零，有因式 a+b+c.故可设a3+b3+c33abc=(a+b+c)m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca).比较左右两边 a3的系数，得 m=1,比较 abc 的系数，得 n=1.a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)例 3.解方程xx 3333.分 析：观 察 题 目 的 特 点 猜 想xx 3用 自 身 迭 代 验 证：x=xxxx3333333333.解：x=x3，可化为 x2x3=0,x=2131.经检验2131是增根.原方程只有一个实数根 x=2131.例 4.求证：1)()()()()()(bcacbxaxabcbaxcxcabacxbx.证明：把等式看作是关于 x 的二次方程，最多只有两个实数根；但 x=a,x=b,x=c，都能使等式成立，且知 abc，这样，方程 就有三个解；方程的解的个数，超过了方程的次数.原等式是恒等式.证毕.例 5.选择题(只有一个正确的答案)1.四边形 ABCD 内接于圆，边长依次为 25，39，52，60，那么这个圆的直径长等于（）（A）66.（B）65.（C）63.（D）62.2.直角梯形 ABCD 的垂腰 AB=7，两底 AD=2，BC=3，如果边 AB 上的一点 P，使得以 P，A，D 为顶点的三角形和以 P，B，C 为顶点的三角形相似.这样的点 P 有几个？答：()(A)1 个.(B)2 个.(C)3 个.(D)4 个.解：1.选(B)；2.选(C).1.观察数字的特征:256065=51213；395265=345都是勾股数.直径等于 65，故选(B)2.观察 相似比可以是BCAD或PBAD.设 AP 为 x,则xx732；或372xx.解得：x=2.8，x=1，或 x=6.共有三解.故选(C).三、练习三、练习(1)(2)5239256560BABCDDACP一.填空题1.三角形的三边长分别为 192，256，320.则最大角等于_度.2.化简 48(72+1)(74+1)(78+1)(7n2+1)+1=_.3.方程 x2(4+3)x+3+3=0 的两个解是_.4.方程 x3+2x2+3x+2=0 的实数根是_.5.方程0212222xxx的实数解是_.6.若 x,y 为实数且 x+y=a,xy=b,则 x2+y2=_.7.方程2222212121212x的解是_.8.写出因式分解的结果：x37x2+36=_.(a+bc)3(a3+b3+c3)=_.9.方程(ax)3+(bx)3=(a+b2x)3的三个解是_，_，_.10.方程组zzwwwxyyzxxy172172172172的实数解是：wzyx11.有一个五位正奇数 x，将 x 的所有 2 都换成 5，所有 5 都换成 2，其他的数字不变，得到一个新五位数记作 y，若 x,y 满足等式 y=2(x+1),那么 x 是_(1987(1987 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题)12.如左图试问至少要用几种颜色，才能给图中的各边正常着色.(正常着色是指使图中有公共顶点的相邻的边涂上不同的颜色)(1983(1983 年福建省初中数学竞赛题年福建省初中数学竞赛题)二.选择题(只有一个正确的答案)1.四边形的边 a,b,c,d,满足等式 a4+b4+c4+d4=4abcd,那么这个四边形一定是()(A)矩形.(B)菱形.(C)等腰梯形.(D)不等边的四边形.2.当 k0 时，函数 y=kx+k 与 y=xk图象在同一直角坐标系内是()3.实数 a 和 b，ab0,a+b0,ab0,则 a,b 的大体位置是()abcdefg2-2-55Bq x h x-2-55Cg x fx-2-55Dgx fx-2-55Aq x h x 4.a=1+b1,b=1+a1,a,b 都不等于 0，那么 b=().(A)a.(B)a.(C)a1.(D)1a.5.a,b,c 中至少有一个是零，可表示为()(A)a+b+c0(B)abc0.(C)a2+b2+c20.(D)ab+ca+bc0.三.解方程：1.x2+2x+323222 xx；2.21142322132422222xxxxxxxx；3.xx 2222.四.求证：2222)()()()()()(xbcacbxaxcabcbaxcxbcabacxbxa.五.已知：x4+x3+x2+x+1=0.求：x1989+x1988+x1987+x1986的值.练习题参考答案练习题参考答案一.1.902.712n3.1，334.15.26.a22b,当 a22b0 时无解7.2，28.3（a+b）(b+c)(c+a)9.a,b,2ba 10.x=y=z=w=17二.BCCAC三.3，1，215341，1，52（增根1）四.（仿例 4）五.已知两边乘以 x-1 得 x5=1,原式=x1985(x4+x3+x2+x)=1(-1)=-1
