安徽工业大学附属中学高中数学 4.1.2圆的一般方程教案 新人教B版必修2 .doc
-1-4.1.24.1.2 圆的一般方程圆的一般方程三维目标：知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径掌握方程x2y2DxEyF=0 表示圆的条件(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法求圆的方程。(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。过程与方法：通过对方程 x2y2DxEyF=0 表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 新疆 学案 王新敞教教具具：多媒体、实物投影仪 新疆 学案 王新敞教学过程：课题引入：问题：求过三点 A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式圆的一般方程。探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(xa)2(yb)2=r2，圆心(a，b)，半径 r把圆的标准方程展开，并整理：x2y22ax2bya2b2r2=0取222,2,2rbaFbEaD得022FEyDxyx这个方程是圆的方程-2-反过来给出一个形如 x2y2DxEyF=0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把 x2y2DxEyF=0 配方得44)2()2(2222FEDEyDx(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当 D2E24F0 时，方程表示（1）当0422FED时，表示以（-2D，-2E）为圆心,FED42122为半径的圆；（2）当0422FED时，方程只有实数解2Dx，2Ey，即只表示一个点（-2D，-2E）;（3）当0422FED时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 新疆 学案 王新敞综上所述，方程022FEyDxyx表示的曲线不一定是圆 新疆 学案 王新敞只有当0422FED时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022FEyDxyx的表示圆的方程称为圆的一般方程 新疆 学案 王新敞2214xy我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)x2和 y2的系数相同，不等于 0没有 xy 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。知识应用与解题研究：例 1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。22221 44412902 44412110 xyxyxyxy-3-学生自己分析探求解决途径：、用配方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于 221 4441290 xyxy来说，这里的91,3,4DEF 而不是D=-4,E=12,F=9.例 2：求过三点 A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 新疆 学案 王新敞解：设所求的圆的方程为：022FEyDxyx(0,0),(11AB，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于FED,的三元一次方程组，即02024020FEDFEDF解此方程组，可得：0,6,8FED 新疆 学案 王新敞所求圆的方程为：06822yxyx 新疆 学案 王新敞542122FEDr；32,42FD 新疆 学案 王新敞得圆心坐标为（4，-3）.或将06822yxyx左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(22yx,从而求出圆的半径5r，圆心坐标为(4,-3)新疆 学案 王新敞学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1、根据提议，选择标准方程或一般方程；2、根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组；3、解出 a、b、r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程。例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（4，3），端点 A 在圆上2214xy运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。分析：如图点 A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A 的坐标满足方程2214xy。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点 M 的坐标满足的条件，求出点 M 的轨迹方程。解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是00,.B4 3MABxy由于点的坐标是，且是线段的重点，所以-4-000043,2224,23xyxyxxyy于是有因为点A在圆2214xy上运动，所以点 A 的坐标满足方程2214xy,即220014xy220014xy把代入，得130p2224 1234,xy22312y3整理，得 x-2M3 3所以，点的轨迹是以，为圆心，半径长为1的圆2 2 6 4 2-2-4-5 5?M?O?B?A?y?x课堂练习：课堂练习：课堂练习130p第 1、2、3 题小结小结：1对方程022FEyDxyx的讨论(什么时候可以表示圆)新疆 学案 王新敞2与标准方程的互化 新疆 学案 王新敞3用待定系数法求圆的方程 新疆 学案 王新敞4求与圆有关的点的轨迹。课后作业：课后作业：130p习题 4.1 第 2、3、6 题-5-
