四川省成都市2012-2013学年高二数学下学期2月月考试题 文 新人教A版.doc
1高高 20142014 级级 2012201220132013 学年度下期学年度下期 2 2 月月考月月考数学（文）数学（文）一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 5050 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合题目要求的题目要求的.1某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有()A30 辆B40 辆C60 辆D80 辆2已知直线01)10axyaxy 与直线(平行，则a=（）A0B1C21D213已知3(0,)sin,2sin()254且则=（）A15B15C75D754 点 E 是正四面体 ABCD 的棱 AD 的中点，则异面直线 BE 与 AC 所成的角的余弦值为（）A36B33C63D565 设等差数列 na的前 n 项和为nS,若111a ,376aa,则当nS取最小值时,n 等于（）A6B7C8D96设 A、B、C、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线若 AB=AC,DB=DC,则 ADBC若 AB=AC，DB=DC,则 AD=BC7某单位员工按年龄分为 A，B，C 三组，其人数之比为 5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本，已知 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是,451则该单位员工总数为（）A110B100C90D808某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的a的值为()A1B0C1D2Saa 2a输输出出开开始始1,1,0 aiSaSS 1 ii?2011 i是是否否（第（第 8 题）题）结束结束29.某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2 cm的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2 cm的圆（包括圆心），则该零件的体积是（）A433cmB833cmC43cmD2033cm10四面体的四个面的面积分别为1S、2S、3S、4S，记其中最大的面积为S，则SSii341的取值范围是()A.231(,B.231,C.(3432,D.3432,二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2 25 5 分分.11圆222430 xyxy的圆心到直线1xy的距离为.12.已知递增的等比数列 na中,28373,2,aaaa则1310aa.13.如图，在正方体1111ABCDABC D中，点 P 是上底面1111ABC D内一动点，则三棱锥PABC的主视图与左视图的面积的比值为_.14 在ABC中，60ABC，2AB，3BC，在BC上任取一点D，使ABD为钝角三角形的概率为_15空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，直线l与这三条直线所成的角都为，则tan=。三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 7575 分分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分 12 分）空气质量指数 PM2.5(单位：g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5 日均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市 2012 年 3 月 8 日4 月 7 日(30 天)对空气质量指数 PM2.5 进行检测，获得数据后整理第 9 题PDCBA1A1D1B1C左视主视3得到如下条形图：（）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；()从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率。17（本小题满分 12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB=AD=2，,xBAD BCD是正三角形（）将四边形 ABCD 的面积S表示为x的函数；()求S的最大值及此时的x值18（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且/ADBC，90ABC，侧面PAD 底面ABCD，90PAD.若12ABBCAD.（）求证：CD 平面PAC；（）设侧棱PA的中点是E，求证：BE平面PCD.ABPCDE419（本小题满分 12 分）已知平面区域00240 xyxy恰好被面积最小的圆222:()()Cxaybr及其内部所覆盖()试求圆C的方程()若斜率为 1 的直线l与圆C交于不同两点,.A B满足CACB,求直线l的方程20（本小题满分 13 分）如图，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形DCBA，其中A与A重合，且CCDDBB（）证明/AD平面CCBB，并指出四边形DCAB的形状；（）如果四边形DCAB中，2AD，5AB，正方形ABCD的边长为6，求多面体ABCD-DCAB的体积CD)(AABCDB5PnPn+1yox21（本小题满分 14 分）在xoy平面上有一系列点,),(),(222111 yxPyxP),(nnnyxP对每个自然数n,点nP位于函数)0(2xxy的图象上 以点nP为圆心的nP与x轴都相切，且nP与1nP又彼此外切若11x,且nnxx1()nN（）求证：数列1nx是等差数列；()设nP的面积为nS，nnSSST 21,求证：23nT高 2014 届第四学期入学考试数学（文）答案一、选择题（每题 5 分，共 50 分）1某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从6图中可以看出被处罚的汽车大约有(B)A30 辆B40 辆C60 辆D80 辆解析由题图可知，车速大于或等于 70 km/h 的汽车的频率为 0.02100.2，则将被处罚的汽车大约有 2000.240(辆)答案B2已知直线10 xyaxyax与直线平行，则a=（C）A0B1C21D213已知3(0,)sin,2sin()254且则=（B）A15B15C75D754 点 E 是正四面体 ABCD 的棱 AD 的中点，则异面直线 BE 与 AC 所成的角的余弦值为（A）A36B33C63D565 设等差数列 na的前 n 项和为nS,若111a ,376aa,则当nS取最小值时,n 等于（A）A6B7C8D96设 A、B、C、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 D若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线若 AB=AC,DB=DC,则 ADBC若 AB=AC，DB=DC,则 AD=BC7某单位员工按年龄分为 A，B，C 三组，其人数之比为 5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本，已知 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是,451则该单位员工总数为（B）A110B100C90D808某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的a的值为(C)A1 B0C1D29.某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2 cm的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2 cm的圆（包括第 9 题图Saa 2a输输出出开开始始1,1,0 aiSaSS 1 ii?2011 i是是否否（第（第 5 题）题）结束结束7圆心），则该零件的体积是(C)A433cmB833cmC43cmD2033cm10四面体的四个面的面积分别为1S、2S、3S、4S，记其中最大的面积为S，则SSii341的取值范围是(C)A.231(,B.231,C.(3432,D.3432,二、填空题（每题 5 分，共 25 分）11圆222430 xyxy的圆心到直线1xy的距离为2.答案答案212.已知递增的等比数列 na中,28373,2,aaaa则1310aa2.13.如图，在正方体1111ABCDABC D中，点 P 是上底面1111ABC D内一动点，则三棱锥PABC的主视图与左视图的面积的比值为_1_.14在ABC中，60ABC，2AB，3BC，在BC上任取一点D，使ABD为钝角三角形的概率为1315空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，直线l与这三条直线所成的角都为，则tan=2。三、解答题（共六道大题，75 分）PDCBA1A1D1B1C左视主视816（本小题满分 12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB=AD=2，,xBAD BCD是正三角形（1）将四边形 ABCD 的面积S表示为x的函数；（2）求S的最大值及此时的x值2222217.(1)2cos222 2 2cos88cos.2ABDBDABADAB ADxxx 解（本小题满分12分）在中由余弦定理得分分的面积为3.cos3232)cos88(433sin2121xxBDSBCDxxADABSABDsin2sin212的面积为4 分),0(,xABDx的一内角为5 分),0(,sin2cos323221xxxSSSABCD的面积四边形6 分(2)2 32 3cos2sin4sin()2 3,(0,)3Sxxxx9 分3233),0(xx10 分324,65,23maxSSxx取得最大时即当.12 分17.（本小题满分 12 分）空气质量指数 PM2.5(单位：g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染越严重：PM2.5 日均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市 2012 年 3 月 8 日4 月 7 日(30 天)对空气质量指数 PM2.5 进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个，求至少有一天空气质量类别为中度污9染的概率。(1)16由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为天168=3015所以此次检测结果中空气质量为良的概率为6(2)4,;2,.(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)15样本中空气质量级别为三级的有 天，设其编号为样本中空气质量级别为四级的有 天，设其编号为则基本事件有：共个a b c de fa ba ca da ea fb cb db eb fc dc ec fd ed fe f(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)993=155其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有：共 个，所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为a eb ec ed ea fb fc fd fe f1218（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且/ADBC，90ABC，侧面PAD 底面ABCD，90PAD.若12ABBCAD.（）求证：CD 平面PAC；（）设侧棱PA的中点是E，求证：BE平面PCD.解：（）因为90PAD，所以PAAD.又因为侧面PAD 底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，所以PA 底面ABCD.而CD 底面ABCD，所以PA CD.在底面ABCD中，因为90ABCBAD，12ABBCAD，所以22ACCDAD，所以AC CD.ABPCDEABPCDE10EFABPCD又因为PAACA，所以CD 平面PAC.6 分（）设侧棱PD的中点为F，连结BE，EF，FC，则EFAD，且12EFAD.由已知90ABCBAD，所以BCAD.又12BCAD，所以BCEF.且BCEF.所以四边形BEFC为平行四边形，所以BECF.因为BE 平面PCD，CF 平面PCD，所以BE平面PCD.1219（本小题满分 12 分）已知平面区域00240 xyxy恰好被面积最小的圆222:()()Cxaybr及其内部所覆盖()试求圆C的方程()若斜率为 1 的直线l与圆C交于不同两点,.A B满足CACB,求直线l的方程解:()由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)OPQ构成的三角形及其内部,且OPQ是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是5,所以圆C的方程是22(2)(1)5xy6()设直线l的方程是:yxb因为CACB,所以圆心C到直线l的距离是102,即22|2 1|10211b 解得:15b 所以直线l的方程是:15yx 1220（本小题满分 13 分）11如图，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形DCBA，其中A与A重合，且CCDDBB（1）证明/AD平面CCBB，并指出四边形DCAB的形状；（2）如果四边形DCAB中，2AD，5AB，正方形ABCD的边长为6，求多面体ABCD-DCAB的体积证明：（1）依题意，BB平面DCAB，CC平面DCAB，DD平面DCAB，所以/DDCCBB2 分（法 1）在CC上取点E，使得DDCE，连结BE，ED，如图 51因为/DDCE，且DDCE，所以ECDD是平行四边形，DCED/，且DCED又ABCD是正方形，ABDC/，且ABDC，所以ABED/，且ABED，故ABED是平行四边形，3 分从而BEAD/，又BE平面CCBB，AD平面CCBB，所以/AD平面CCBB4 分四边形DCAB是平行四边形（注：只需指出四边形DCAB的形状，不必证明）5分（法 2）因为/CCDD，CC平面CCBB，DD平面CCBB，所以/DD平面CCBB因为ABCD是正方形，所以BCAD/，又BC平面CCBB，AD平面CCBB，所以/AD平面CCBB3 分而DD平面ADD，AD平面ADD，DADDD，所 以 平 面/ADD平 面CCBB，又AD平 面ADD，所 以/AD平 面CCBB 4 分四边形DCAB是平行四边形（注：只需指出四边形DCAB的形状，不必证明）5分解：（2）依题意，在 RtABB中，1)5()6(2222ABABBB，在 RtADD中，2)2()6(2222ADADDD，所以3021AADDBBCC（注：或312BBDDECCECC）7 分连结AC，AC，如图 52，15图CD)(AABCDBECDBCB12在 RtACC中，33)32(2222CCACAC所以222ABCBAC，故CBAC 8 分V=CDCDACBBCVVA=26321（本小题满分 14 分）在xoy平面上有一系列点,),(),(222111 yxPyxP),(nnnyxP对每个自然数n,点nP位于函数)0(2xxy的图象上以点nP为圆心的nP与x轴都相切，且nP与1nP又彼此外切若11x,且nnxx1()nN（1）求证：数列1nx是等差数列；（2）设nP的面积为nS，nnSSST 21,求证：23nT解：（1）依题意，nP的半径2nnnxyr，nP与1nP彼此外切，11nnnnrrPP,12121)()(nnnnnnyyyyxx,3两边平方，化简得1214)(nnnnyyxx,即212214)(nnnnxxxx.01nnxx，112nnnnxxxx,1112()nnnNxx 数列nx1是等差数列 6(2)由题设，11x，1212)1(111nxnxxnn,8134422)12(nxyrSnnnn,10nnSSST 21222)12(151311n)12()32(15313111nn)121321()5131()311(211nn)1211(211n23)12(223n 14
