江苏省2015届高三数学第五次联考试题 文.doc

江 苏 大 联 考 2015届高三第五次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共160分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前4次联考内容+概率与统计+算法初步+推理与证明+复数.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1.已知复数z=(1+i)(2-i)(i为虚数单位),则=. 2.集合M=x|0<x3,N=xN|0x-11,则MN=. 3.某算法流程图如图所示,则输出k的值是. 4.用反证法证明命题“若正整数a,b,c满足b2-2ac=0,则a,b,c中至少有一个是偶数”时,反设应为. 5.已知i是虚数单位,则|-|=. 6.下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为. 7.某商品在5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如下表所示:价格x(元)99.51010.511销售量y(件)11a865由散点图可知,销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是=-3.2x+4a,则a=. 8.关于x,y的不等式组所构成的区域面积为. 9.某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩,绘制成频率分布直方图如图所示,若要从成绩在85,90),90,95), 95,100三组内的学生中,用分层抽样的方法抽取12人参加面试,则成绩在90,100内的学生应抽取的人数为. 10.在ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若acos B+bcos A=2,则c=. 11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上一点,直线OA的斜率为(O为坐标原点),且A到F的距离为3,则p=. 12.已知Sn是数列an的前n项和,向量a=(an-1,-2),b=(4,Sn),满足ab,则= . 13.已知2a=3b=6c,kZ,不等式>k恒成立,则整数k的最大值为. 14.设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:若此数阵中第i行从左到右的第j个数是-588,则i+j=. 二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间作为样本分成5组,如下表所示(单位:min):组别候车时间人数一 0,5)2二5,10)6三10,15)a四15,20)2五20,25)1(1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;(2)若从上表第三、四组的乘客中选2人做进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.16.(本小题满分14分)设a,b,c均为正实数.(1)若a+b+c=1,求证:a2+b2+c2;(2)求证:.17.(本小题满分14分)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的监测数据,统计结果如下:API0,50(50,100(100,150(150,200(200,250(250,300>300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元)与空气质量指数API(记为)的关系式为:S=试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率;(2)若以上表统计的频率作为概率,求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率.(假定这三天中空气质量互不影响)18.(本小题满分16分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,AC=BC=CC1=2,M,N分别为AC,B1C1的中点.(1)求证:MN平面ABB1A1; (2)线段CC1上是否存在点Q,使A1B平面MNQ?说明理由.19.(本小题满分16分)已知点P(4,4),圆C:(x-m)2+y2=5 (m<3)与椭圆E:+=1 (a>b>0)有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.(1)求m的值与椭圆E的方程;(2)设Q为椭圆E上的一个动点,求·的取值范围.20.(本小题满分16分)定义函数fk(x)=为f(x)的k阶函数.(1)求f(x)的一阶函数f1(x)的单调区间;(2)讨论方程f2(x)=1的解的个数.2015届高三第五次联考·数学试卷参 考 答 案1.3-i由z=(1+i)(2-i)得z=3+i,故=3-i.2.1,2N=1,2,则MN=1,2.3.5因为10-(1+2+3+4)=0,所以输出k的值为4+1=5.4.假设a,b,c都是奇数“至少有一个偶数”的否定为“都不是偶数”,即反设应为“假设a,b,c都是奇数”.5.|-|=|-|=|-2-i|=.6.由题意可得甲的平均成绩为90,设被污损的数字为x,则依题意可得83+83+87+99+90+x<450,解得x<8,所以x的值可以为0、1、2、3、4、5、6、7,所以所求事件的概率为=.7.10由题意得=10,=+6,回归直线必过点(,),所以+6=-3.2+4a,解得a=10.8.9根据约束条件画出可行域,如图所示.直角梯形ABCD的面积为×3(2+4)=9.9.6(0.016+0.064+0.06+a+0.02)×5=1,解得a=0.040.第3组的人数为0.060×5×50=15,第4组的人数为0.040×5×50=10,第5组的人数为0.020×5×50=5,所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生,第4组应抽取×12=4人,第5组应抽取×12=2人. 则成绩在90,100内的学生应抽取的人数为6.10.2由acos B+bcos A=2得a·+b·=2c=2.11.2设A(a,b),则有=,即b=a,(a)2=2pa,可得p=a,又a+=3,p=2.12.由题意得4an-4-2Sn=0,当n2时,4an-1-4-2Sn-1=0,两式相减得=2,又a1=2.由等比数列的定义及通项公式可得an=2n,所以=.13.4设2a=3b=6c=m,则a=log2m,b=log3m,c=log6m,所以=+=+=2+,+>2=2,+=log23+log32<3,4<<5,则整数k的最大值为4.14.29设数列an的公差为d,由S8=4a3,a7=-2得a1=10,d=-2,则an=12-2n,令an=12-2n=-588,解得n=300.在数阵中,从第1行到第m行共有1+3+5+2m-1=m2个数,172=289<300<182=324,i=18,j=300-289=11,则i+j=29.15.解:(1)候车时间少于10分钟的概率约为=,所以候车时间少于10分钟的人数约为60×=32.6分(2)将第三组乘客编号为a1,a2,a3,a4,第四组乘客编号为b1,b2.从6人中任选两人包含以下基本事件:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)共15个基本事件,其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,故所求事件的概率为.14分16.解:(1)a+b+c=1,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,2aba2+b2,2bcc2+b2,2aca2+c2,a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=13(a2+b2+c2),a2+b2+c2.7分(2)由已知得a+b+c>0,欲证,只需证,只需证3(a2+b2+c2)(a+b+c)2,只需证2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0,即证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,上述不等式显然成立,故原不等式成立.14分17.解:(1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A,由200<S600,得150<250,频数为39,P(A)=.6分(2)记空气质量轻度污染为事件B,由(1)知P(B)=,则P()=,记三天中恰有一天空气质量轻度污染为事件C,则P(C)=××+××+××=0.441.故三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率为0.441.14分18.解:(1)取AB中点D,连接DM,DB1.在ABC中,M为AC中点,DMBC,DM=BC. 在矩形B1BCC1中,N为B1C1中点,B1NBC,B1N=BC,DMB1N,DM=B1N,四边形MDB1N为平行四边形,所以MNDB1.MN平面ABB1A1,DB1平面ABB1A1,MN 平面ABB1A1.8分(2)线段CC1上存在点Q,且Q为CC1中点时,有A1B平面MNQ.证明如下:连接BC1.在正方形BB1C1C中易证QNBC1 .又A1C1平面BB1C1C,所以A1C1QN,从而NQ平面A1BC1,A1BQN.同理可得 A1BMQ,A1B平面MNQ.故线段CC1上存在点Q,使得A1B平面MNQ.16分19.解:(1)将点A代入圆C方程,得(3-m)2+1=5.m<3,m=1.故圆C:(x-1)2+y2=5.设直线PF1的斜率为k,则PF1:y=k(x-4)+4,即kx-y-4k+4=0.直线PF1与圆C相切,=,解得k=,或k=. 当k=时,直线PF1与x轴的交点横坐标为,不合题意,舍去.当k=时,直线PF1与x轴的交点横坐标为-4,符合题意.c=4,F1(-4,0),F2(4,0),则2a=AF1+AF2=5+=6,a=3,a2=18,b2=2,故椭圆E的方程为+=1.8分(2)=(1, 3),设Q(x,y),则=(x-3, y-1),·=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6,设z=x+3y,则是直线l:3y+x-z=0在y轴上的截距,所以当l与椭圆E相切时,z取得最大值与最小值.把直线方程代入椭圆方程得2x2-2zx+z2-18=0,由=4z2-8(z2-18)=-4(z2-36)0,得-6z6, 则x+3y的取值范围是-6,6.·=x+3y-6的取值范围是-12,0.16分20.解:(1)f1(x)=(x>0),f1'(x)=(x>0),令f1'(x)=0,当a0时,x=e.当a=0时,f1(x)无单调区间;当a>0时,f1(x)的单增区间为(0,e),单减区间为(e,+);当a<0时,f1(x)的单增区间为(e,+),单减区间为(0,e).6分(2)由=1,当a=0时,方程无解;当a0时,=.令g(x)=(x>0),则g'(x)=.由g'(x)=0得x=,从而g(x)在(0,)上单调递增,在(,+)上单调递减.g(x)max=g()=.当x0时,g(x)-,当x+时,g(x)0.当0<<,即a>2e时,方程有两个不同解.当>,即0<a<2e时,方程有0个解.当=或<0即a=2e或a<0时,方程有唯一解.综上,当a>2e时,方程有两个不同解;当0<a<2e时,方程有0个解;当a=2e或a<0时,方程有唯一解.16分7