【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第5篇 第4节 数列求和及综合应用课时训练 理.doc
【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第5篇 第4节 数列求和及综合应用课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号公式法、分组法求和1、6、7、11并项法求和2、5裂项相消法求和8、12错位相减法求和4、15、16数列的综合问题3、10、13、15、16数列的实际应用9、14基础过关一、选择题1.数列1+2n-1的前n项和为(C)(A)1+2n(B)2+2n(C)n+2n-1(D)n+2+2n解析:由题意令an=1+2n-1,所以Sn=n+=n+2n-1,故选C.2.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100等于(B)(A)-100(B)100(C)-1020(D)1020解析:当n为奇数时,an=n2-(n+1)2=-(2n+1).当n为偶数时,an=-n2+(n+1)2=2n+1.a1+a2+a3+a100=-3+5-7+9-199+201=(-3+5)+(-7+9)+(-199+201)=2×50=100.3.已知幂函数f(x)=x的图象过点(4,2),令an=f(n+1)+f(n),nN*,记数列的前n项和为Sn,则Sn=10时,n的值是(B)(A)10(B)120(C)130(D)140解析:幂函数f(x)=x过点(4,2),4=2,=,f(x)=,an=f(n+1)+f(n)=+,=-.Sn=(-1)+(-)+(-)=-1.又Sn=10,-1=10,n=120.故选B.4.Sn=+等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:由Sn=+, 得Sn=+, -得,Sn=+-=-,Sn=.5.数列an的通项an=sin ,前n项和为Sn,则S2015等于(B)(A)(B)0(C)1(D)-解析:由an=sin ,知数列an是以6为周期的数列,且a1+a2+a6=0,则S2015=(a1+a2+a6)+(a2005+a2010)+a2011+a2015=a1+a2+a5=0.故选B.6.数列1,1+2,1+2+4,1+2+22+2n-1,的前n项和Sn>1020,那么n的最小值是(D)(A)7(B)8(C)9(D)10解析:an=1+2+22+2n-1=2n-1.Sn=(21-1)+(22-1)+(2n-1)=(21+22+2n)-n=2n+1-n-2.S9=1013<1020,S10=2036>1020.Sn>1020,n的最小值是10.二、填空题7.数列,的前n项和为. 解析:由于an=n+,前n项和Sn=+=(1+2+3+n)+（+）=+=-+1.答案:-+18.若已知数列的前四项是、,则该数列的前n项和为. 解析:因为通项an=,所以此数列的前n项和Sn=（1-）+（-）+（-）+（-）+（-）=-.答案:-9.(2013高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于. 解析:本题是等比数列前n项和的实际应用题,设每天植树的棵数组成的数列为an,由题意可知它是等比数列,且首项为2,公比为2,所以由题意可得100,即2n51,而25=32,26=64,nN*,所以n6.答案:610.(2014广东揭阳模拟)对于每一个正整数n,设曲线y=xn+1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99=. 解析:对y=xn+1求导得y=(n+1)xn,则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)·(x-1),令y=0,得xn=,则an=lg xn=lg ,所以a1+a2+a99=lg(×××)=lg =-2.答案:-2三、解答题11.(2014四川成都石室中学模拟)设an是公差大于零的等差数列,已知a1=2,a3=-10.(1)求an的通项公式;(2)设bn是以函数y=4sin2x的最小正周期为首项,以3为公比的等比数列,求数列an-bn的前n项和Sn.解:(1)设an的公差为d,且d>0,则解得d=2.所以an=2+(n-1)×2=2n.(2)y=4sin2x=4×=-2cos 2x+2其最小正周期为=1,故bn首项为1;因为公比为3,从而bn=3n-1.所以an-bn=2n-3n-1.故Sn=(2-30)+(4-31)+(2n-3n-1)=-=n2+n+-·3n.12.(2013高考新课标全国卷)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.解:(1)设数列an的公差为d,由已知可得解得a1=1,d=-1.故an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知=(-),从而数列的前n项和为(-+-+-)=.能力提升13.(2014山东菏泽模拟)数列an的通项公式为an=,其前n项和为,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为(B)(A)-10(B)-9(C)10(D)9解析:an=-,Sn=(1-)+（-）+（-）=1-=,由=得n=9,直线方程为10x+y+9=0,其在y轴上的截距为-9.14.某林场年初有森林木材存量S m3,木材以每年25%的增长率生长,而每年年末要砍伐固定的木材量为x m3,为实现经过两次砍伐后的木材存量增加50%,则x的值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:第一次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x=（S-x）m3;第二次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x(1+25%)-x=（）2S-x-xm3,所以()2S-x-x=S(1+50%),解得x=.15.(2014陕西商洛一模)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=.(1)当nN*时,求f(n)的表达式;(2)设an=n·f(n),nN*,求证:a1+a2+a3+an<2;(3)设bn=(9-n),nN*,Sn为bn的前n项和,当Sn最大时,求n的值.(1)解:令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)·f(1)=f(n),f(n)是首项为,公比为的等比数列,f(n)=()n.(2)证明:设Tn为an的前n项和,an=n·f(n)=n·()n,Tn=+2×()2+3×()3+n×()n,Tn=()2+2×()3+3×()4+(n-1)×()n+n×()n+1,两式相减得Tn=+()2+()n-n×()n+1,Tn=2-()n-1-n×（）n<2.(3)解:f(n)=（）n,bn=(9-n)=(9-n)=,当n8时,bn>0;当n=9时,bn=0;当n>9时,bn<0.当n=8或9时,Sn取得最大值.探究创新16.(2014高考四川卷)设等差数列an的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(nN*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列an的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.解:(1)由已知,b7=,b8=4b7,有=4×=,则a8=a7+2,解得d=a8-a7=2.所以,Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)由f(x)=2x,f(x)=2xln 2,过点(a2,b2),即(a2,),斜率为 ln 2,则函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-=(ln 2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意,a2-=2-,解得a2=2.所以,d=a2-a1=1.从而an=n,bn=2n,所以Tn=+,2Tn=+.因此,2Tn-Tn=1+-=2-=.所以,Tn=.9
