江苏省2015届高三数学第四次联考试题 文.doc

江 苏 大 联 考 2015届高三第四次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共160分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前3次联考内容+立体几何+平面解析几何.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1.已知集合A=x|x22x,B=y|y>1,则AB等于. 2.若双曲线x2-ay2=1的离心率为,则正数a的值为. 3.一圆锥的侧面展开图是一半径为2的半圆,则该圆锥的体积为. 4.在下列四个图所表示的正方体中,能够得到ABCD的是. 5.若过点P(2,-1)的圆(x-1)2+y2=25的弦AB的长为10,则直线AB的方程是. 6.已知是第二象限角,且sin =,则tan(+)=. 7.已知椭圆+=1(m>n>0)的离心率为,且有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合,则椭圆的短轴长为. 8.设m,nR,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且坐标原点O到直线l的距离为,则AOB的面积S的最小值为. 9.在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a2-b2=c,且sin Acos B=2cos Asin B,则c=. 10.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于. 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=cos(x)+lox,则函数f(x)的零点个数为. 12.半径为1的球内最大圆柱的体积为. 13.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,渐近线分别为l1、l2,点P在第一象限内且在l1上,若PAl2,PBl2,则该双曲线的离心率为. 14.正四面体ABCD的棱长为1,其中线段AB平面,E,F分别是线段AD和BC的中点,当正四面体绕以AB为轴旋转时,线段EF在平面上的射影E1F1长的范围是. 二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体,平面ABC与半圆柱的下底面共面,且ACBC,P为上的动点.(1)证明:PA1平面PBB1;(2)设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1,V2,且AC=BC,求V1V2.16.(本小题满分14分)已知点C的坐标为(0,1),A,B是抛物线y=x2上不同于原点O的相异的两个动点,且·=0.(1)求证:;(2)若=(R),且·=0,试求点M的轨迹方程.17.(本小题满分14分)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,DD1平面ABCD,AB=AD,AD=A1B1,BAD=45°.(1)证明:BDAA1;(2)证明:AA1平面BC1D.18.(本小题满分16分)已知数列an中,a1=5,a2=2,且2(an+an+2)=5an+1.(1)求证数列an+1-2an和an+1-an都是等比数列;(2)求数列2n-3an的前n项和Sn.19.(本小题满分16分)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴的比是2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点,当|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=(aR).(1)求f(x)的极值;(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)=-1的图像在区间(0,e上有公共点,求实数a的取值范围.2015届高三第四次联考·数学试卷参 考 答 案1.x|1<x2因为A=x|x22x=x|0x2,B=y|y>1,所以AB=x|0x2y|y>1=x|1<x2.2.2双曲线x2-ay2=1的方程可化为x2-=1,得c2=1+,所以e2=1+=()2,解得a=2.3.设圆锥的高为h,底面半径为r,母线长为l,则l=2,2r=l,得r=1,所以h=,所以圆锥的体积为V=r2h=.4.对于,通过平移AB到右边的平面,可知ABCD,所以中ABCD;对于,通过作右边平面的另一条对角线,可得CD垂直AB所在的平面,所以中ABCD;对于,可知AB与CD所成的角60°对于,通过平移CD到下底面,可知AB与CD不垂直.所以能够得到ABCD的是和.5.x+y-1=0因为圆的直径为10,所以弦AB为圆的直径,因为圆心为C(1,0),且直线AB过点P(2,-1),由直线方程的两点式得=,即x+y-1=0.6.是第二象限角,sin =,tan =-,tan(+)=.7.8由已知得=,所以4n=3m,因为抛物线y2=16x的焦点为(4,0),而椭圆的右焦点为(c,0),所以c=4,得m-n=42=16,解得m=64,n=48,所以椭圆的短轴长为2=2=8.8.3由坐标原点O到直线l的距离为,可得=,化简可得m2+n2=,令x=0,可得y=,令y=0,可得x=,故AOB的面积S=·|=3,且当仅当|m|=|n|=时,取等号.9.3由sin Acos B=2cos Asin B得·=2··,所以a2+c2-b2=2(b2+c2-a2),即a2-b2=,又a2-b2=c,解得c=3.10.设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2,0),如图过A、B分别作AMl于M,BNl于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,则|OB|=|AF|,|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,故点B的坐标为(1,2),k=.11.7当x>0时,函数f(x)=cos(x)+lox=cos(x)-log2x的零点个数,即函数y=cos(x)与函数y=log2x的交点个数,如图所示有3个交点,又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数为3×2+1=7.12.设圆柱的底面半径为r,高为h,则有()2+r2=12,所以圆柱的体积为V=r2h=(1-)h=(-+h),而V'=(-h2+1),易知当h=时,V取最大值(-+h)=-()3+=.13.2依题意有A(-a,0),B(a,0),渐近线方程分别为l1:y=x,l2:y=-x,设P(x,y).由PBl2得=-,因为点P在直线y=x上,于是解得P点坐标为P(,),因为PAl2,所以·(-)=-1,即·(-)=-1,所以b2=3a2,因为a2+b2=c2,所以有c2=4a2,即c=2a,得e=2.14.,如图,取AC中点为G,连接EG、FG,E,F分别是线段AD和BC的中点,GFAB,GECD,在正四面体中,ABCD,GEGF,EF=,当四面体绕AB旋转时,GF平面,GE与GF的垂直性保持不变,当CD与平面垂直时,GE在平面上的射影长最短为0,此时EF在平面上的射影E1F1的长取得最小值;当CD与平面平行时,GE在平面上的射影长最长为,E1F1取得最大值;射影E1F1长的取值范围是,.15.证明:(1)在半圆柱中,BB1平面PA1B1,所以BB1PA1.因为A1B1是底面圆的直径,所以PA1PB1,因为PB1BB1=B1,PB1平面PBB1,BB1平面PBB1,所以PA1平面PBB1.6分(2)因为ACBC,AC=BC,所以ABC是等腰直角三角形,且AB2=BC2+AC2=2AC2.所以半圆柱的体积V1=(AB)2·AA1=AC2·AA1.多面体ABB1A1C是以矩形ABB1A1为底面,以C为顶点的四棱锥,其高为点C到底面ABB1A1的距离,设这个高为h,在RtABC中,易得AB·h=AC·BC,所以h=,所以V2=·AA1·AB·=·AA1·AC·BC=AA1·AC2.所以=.14分16.解:(1)设A(x1,),B(x2,),x10,x20,x1x2,因为·=0,所以x1x2+=0,又x10,x20,所以x1x2=-1.因为 =(-x1,1-),=(-x2,1-),且(-x1)(1-)-(-x2)(1-)=(x2-x1)+x1x2(x2-x1)=(x2-x1)-(x2-x1)=0,所以.7分(2)由题意知,点M是直角三角形AOB斜边上的垂足,又定点C在直线AB上,OMB=90°,所以点M在以OC为直径的圆上运动,其运动轨迹方程为x2+(y-)2=(y0).14分17.证明:(1)因为AB=AD,BAD=45°,在ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos 45°=AD2,所以AD2+BD2=AB2,因此ADBD,因为DD1平面ABCD,且BD平面ABCD,所以DD1BD,又ADDD1=D,所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1,所以BDAA1.7分(2)连结AC、A1C1,设ACBD=E,连结EC1,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AE=AC,由棱台的定义及AB=AD=2A1B1知,A1C1AE,且A1C1=AE,所以四边形A1C1EA是平行四边形,因此AA1EC1,又因为EC1平面BC1D,AA1平面BC1D,所以AA1平面BC1D.14分18.解:(1)由2(an+an+2)=5an+1得an+2=an+1-an,所以an+2-2an+1=an+1-an-2an+1=an+1-an=(an+1-2an).又因为a2-2a1=2-2×5=-8,所以数列an+1-2an是首项为-8,公比为的等比数列.同理an+2-an+1=an+1-an-an+1=2an+1-an=2(an+1-an),又a2-a1=2-=-,所以数列an+1-an是首项为-,公比为2的等比数列.8分(2)由(1)知an+1-2an=-8×()n-1=-2-n+4,an+1-an=-×2n-1=-2n-2,将以上两式相减得到an=(nN+),所以2n-3an=2n-3×=(nN+),所以Sn=-(4-1+40+41+42+4n-2)=.16分19.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意.解得a2=16,b2=12.所以椭圆C的方程为+=1.6分(2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为+=1,故-4x4.因为=(x-m,y),所以|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12×(1-)=x2-2mx+m2+12=(x-4m)2+12-3m2.因为当|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,即当x=4m时,|2取得最小值,而x-4,4,故有4m4,解得m1.又点M在椭圆的长轴上,即-4m4.故实数m的取值范围是m1,4.16分20.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e1+a,当x(0,e1+a)时,f'(x)<0,f(x)是减函数;当x(e1+a,+)时,f'(x)>0,f(x)是增函数.所以当x=e1+a时,f(x)取得极小值,即极小值为f(x)=-e-1-a,无极大值.6分(2)当e1+a<e,即a<0时,由(1)知,f(x)在(0,e1+a)上是减函数,在(e1+a,e)上是增函数,当x=e1+a时,f(x)取得最小值,即f(x)最小值=-e-1-a,又当x=ea时,f(x)=0,当x(0,ea)时,f(x)>0,当x(ea,e)时,f(x)(-e-1-a,0),所以f(x)的图像与函数g(x)=-1的图像在区间(0,e上有公共点,等价于-e-1-a-1,解得a-1,又a<0,所以a-1.当e1+ae,即a0时,f(x)在(0,e上是减函数,f(x)在(0,e上的最小值为f(e)=,所以,原问题等价于-1,得a1-e<0,又a0,所以不存在这样的实数a.综上知实数a的取值范围是a-1.16分7