【高考数学专题】专题03 函数的单调性和最值解题模板B-高中数学解题模板.docx

函数的单调性和最值解题模板B解题方法模板四：图象法使用情景：图像比较容易画出的函数类型解题模板：第一步 通过题目条件画出函数图像；第二步 从图像中读出函数的单调区间.例4 求函数的单调区间.【答案】答案见解析【解析】解题模板选择：本题中所给的函数解析式可以将函数写成分段函数的形式然后绘制函数图像，故选取解题方法模板四图像法进行解答.解题模板应用：第一步 通过题目条件画出函数图像；由题意可得：，在平面直角坐标系中绘制函数图像如图所示：第二步，由图像得出函数的单调区间：结合函数图像，可得函数的单调递增区间为：.单调递减区间为：.【名师点睛】函数的同种单调区间之间不用“”连接，用“，”隔开.【典型例题】1. 函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据单调函数的定义直接得到答案【详解】由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是故选：C【点睛】本题考查根据函数图象求函数单调区间.属于基础题2. 已知,则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式作出的图象，由图象得到的单调性，列出关于的不等式求解出的范围即为不等式解集.【详解】的图象如下图所示：由图象可知：在上单调递增，因为，所以，所以即，所以解集为：.故选：C.【点睛】本题考查根据函数的单调性解不等式，着重考查了数形结合思想，难度一般.已知函数的单调性，可将函数值之间的不等关系转变为自变量之间的不等关系，从而求解出相应自变量的取值范围.3. 已知，函数，记的最小值为，则（ ）A. 在上是增函数，在上是减函数B. 在上是减函数，在上是增函数C. 在上是奇函数D. 在上是偶函数【答案】D【解析】【分析】根据题意，得到，令，分别讨论，或，三种情况，画出对应函数图像，结合图像，即可得出结果.【详解】函数，令，当时，的图象如图所示，且在上单调递减，在上单调递增当或时，的图象如图所示，在点或处取得， 根据图形的对称性知，且当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增所以的最小值在上是偶函数故选：D【点睛】本题主要考查求函数的最值，以及判断函数单调性，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.4. 由方程所确定的x,y的函数关系记为,给出如下结论:是R上的单调递增函数；的图象关于直线对称；对于任意恒成立.其中正确的为_(写出所有正确结论的序号).【答案】【解析】【分析】由题设可得，分类讨论后可得其图象，根据图象可判断、正确与否，再通过计算，故正确.【详解】.的图象如图所示，所以正确，不正确.，正确，故答案为：.【点睛】本题考查含绝对值函数的图象与性质，其中单调性的讨论可根据函数图象的上升与下降，注意意味着函数图象关于点对称，本题属于中档题.5. 函数，在区间上的增数，则实数t的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，数形结合可得结果.【详解】解:函数的图像如图.由图像可知要使函数是区间上的增函数，则.故答案为【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目.解题方法模板五：抽象函数的单调性使用情景：题中没有给出具体函数的解析式，只给出函数的性质，需要利用所给的性质证明函数的单调性.解题模板：第一步 确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意x1，x2D，且x1<x2；第二步 结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.例5 已知定义在上的函数满足： 对任意，有.当时，.试判定函数的单调性.【答案】函数为减函数【解析】解题模板选择：本题中没有给出具体函数的解析式，故选取解题方法模板五抽象函数的单调性进行解答.解题模板应用：第一步 确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意x1，x2D，且x1<x2；令，令，.则函数是奇函数.设，则，第二步 结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.上减函数.【典型例题】6. 函数的定义域为，并满足以下条件：对任意，有；对任意，有；.（1）求的值；（2）求证：在上是单调增函数；（3）若，且，求证：.【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题中，赋值，得到的值；（2）利用单调性的定义，结合赋值法，证明函数的单调性；（3）赋值得，再用均值不等式可证明得.【详解】（1）令得：，因为，所以； （2）任取且，设，则因为，所以，所以在上是单调增函数；（3）由（1）（2）知，因为又，所以所以【点睛】本题考查了抽象函数的理解与应用，利用定义证明函数的单调性，赋值法的应用，基本不等式证明不等式，考查了学生分析理解能力，逻辑推理能力.7. 已知定义域为,对任意,都有,当时, ,.（1）求; （2）试判断在上的单调性,并证明;（3）解不等式:.【答案】（1）（2）在上单调递减，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）令，得，令，得，即可求解的值；（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数为上单调递减函数，得到结论. （3）令，得，进而化简得，再根据函数的单调性，得到不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，令，得，解得令，得，所以. （2）函数在上单调递减，证明如下：任取，且，可得，因为，所以，所以即，所以在上单调递减. （3）令，得，又在上的单调且，.，即不等式解集为.【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值问题，以及函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟练应用抽象函数的赋值法求值，以及熟记函数的单调性的定义证明及应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8. 定义在上的函数满足：对任意实数、，总有，且当时，.（1）判断的单调性；（2）设，若，试确定的取值范围.【答案】（1）减函数；（2）.【解析】【分析】（1）先令，求出，再令得出，进而得出当时，由此得出对任意的，然后任取，利用单调性的定义结合等式即可证明出函数在上的单调性；（2）由题意可知，集合表示一个以原点为圆心、半径等于的圆面（不包含边界），集合表示一条过点的直线.根据圆和直线相切或相离，可得出关于实数的不等式，解出即可.【详解】（1）先令，则，由题意得，令，则，设，则，则，所以.由上可知，对任意的，.任取、且，则，此时，则，因此，函数在上为减函数；（2），表示一个以原点为圆心、半径等于的圆面（不包含边界），表示一条过点的直线.，则圆和直线相切或相离，故有，整理得，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断和证明，直线和圆的位置关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9. 设函数对任意、都有，且当时，.（1）证明为奇函数；（2）证明在R上是减函数；（3）若，求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）令求得的值，再令可得出，由此可得出结论；（2）任取，利用题干中的等式以及该函数的奇偶性可得出，得出与的大小关系，由此可得出结论；（3）计算出和的值，利用（2）中的结论可得出结果.【详解】（1）由于函数对任意、都有，该函数的定义域为，令，可得，再令，可得，即，因此，函数为奇函数；（2）设，则，则，所以，因此，函数在上是减函数；（3）因为函数在上是减函数，所以，函数在上也是减函数，所以，函数在上的最大值和最小值分别为和，而，因此，函数在上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查抽象函数奇偶性和单调性的证明，同时也考查了抽象函数在区间上最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10. 设是定义在R上的函数,对任意的,恒有，且当时, . (1)求的值;(2)求证:对任意,恒有.(3)求证:在R上是减函数.【答案】（1）;（2）证明见解析；（3）证明见解析；【解析】【分析】(1)应用取特殊值法.令,根据当时,可以求出的值;(2)当时,应用,再根据当时,可以证明此时,再结合(1)的结论,可以证明对任意,恒有.(3)运用定义法证明在R上是减函数.在证明过程中结合(2)中的结论,和已知当时,这一条件.【详解】(1) 令,有,当时,所以有,于是有；(2)当时,有,因为,所以,已知当时,所以,由(1)可知,所以有；已知当时,；由(1)可知,故对任意,恒有；(3)设且,所以有,而已知当时,因此有,而,由(2)的证明过程可知：,于是由可得,所以有,根据(2)的性质可知：,所以有,因此在R上是减函数.【点睛】本题考查了抽象函数的单调性的证明,考查了抽象函数正负性的证明,充分使用已知的等式和已知给的函数性质是解题的关键.解题方法模板六：原型法使用情景：题中没有给出具体函数的解析式，但是可以根据所给的函数特征确定函数模型，属于抽象函数的内容延伸和实例化.解题模板：第一步 由函数的解析式确定函数所属的模型；常见函数模型包括：若f(mn)=f(m)f(n)，可认为函数为幂函数f(x)=xa(a的范围或数值需要其他条件确定)；若f(mn)=f(m)+f(n)，可认为函数为对数函数f(x)=logax(a的范围或数值需要其他条件确定)；若f(m+n)=f(m)f(n)，可认为函数为指数函数f(x)=ax(a的范围或数值需要其他条件确定)；若f(m+n)=f(m)+f(n)，可认为函数为正比例函数f(x)=kx；若，可认为函数为正切函数f(x)=tanx；若，可认为是余弦函数.第二步 结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性.例6 定义域为R的函数f(x)满足：f(m+n)=f(m)+f(n)，若x>0时，f(x)<0.试证明：(1)f(0)=0，(2)f(x)是R的奇函数，(3)f(x)在R上单调递增.【答案】答案见解析【解析】解题模板选择：本题中所给函数的性质具有明显反比例函数的性质，故选取解题方法模板六原型法进行解答.解题模板应用：第一步 由函数的解析式确定函数所属的模型；联想符合f(m+n)=f(m)+(n)的一个原型f(x)=kx(k0)，x>0时，f(x)<0，故k<0，结合它性质尝试有下解：第二步 结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性.(1)f(0+0)=f(0)+(0)，即f(0)=0.(2)f(xx)=f(x)+f(x)=f(0)，即f(x)=f(x)，所以，f(x)是R上的奇函数.(3)任取x1，x2R且x1<x2，则x2x1>0.由已知得，f(x1x2)<0，又因为f(x2)(x1)=(x2x1+x1)f(x1)=f(x2x1)<0，f(x2)<f(x1)，即f(x)在R上单调递减.【名师点睛】许多抽象函数都有函数原型，解题时若能由性质和结构捕捉到有类似性质结构的原型，由原型的单调性去猜想抽象函数的单调性，就能为用定义证明作好准备.解题方法模板七：结论法(函数性质法)使用情景：将所给的函数进行“庖丁解牛”后每一部分都是一个很明显可以判断单调性的函数.解题模板：第一步：确定所给函数是由哪些可以判断单调性的简单函数组合而成的.第二步：结合函数的性质即可确定函数的单调性.常见的结论(函数性质)包括：(1)f(x)与f(x)+C单调性相同.(C为常数)(2)当k>0时，f(x)与kf(x)具有相同的单调性；当k<0时，f(x)与kf(x)具有相反的单调性(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与其有相反的单调性.(4)当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数时，则f(x)+g(x)在D上是增(减)函数.(5)当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数，且两者都恒大于0时，f(x)g(x)在D上是增(减)函数；当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数，且两者都恒小于0时，f(x)g(x)在D上是减(增)函数.(6)设y=f(x)，xD为严格增(减)函数，则函数必有反函数，且反函数在其定义域D上也是严格增(减)函数.(7)奇(或偶)函数的单调性：由奇偶函数定义易知：奇函数在对称的区间上有相同的单调性；偶函数在对称的区间上有相反的单调性.(8)周期函数的单调性：若f(x)是周期为T的函数，且f(x)在(a，b)单调递增或单调递减，则f(x)在(a+kT，b+kT)(kZ)上单调递增或单调递减.例7 判定函数在区间上的单调性【答案】单调增函数【解析】解题模板选择：本题中所给的函数明显可以看做两个单调递增函数之和，故选取解题方法模板七函数性质法进行解答.解题模板应用：第一步：确定所给函数是由哪些可以判断单调性的简单函数组合而成的.函数均是区间上的单调递增函数，第二步：结合函数的性质即可确定函数的单调性.函数是区间上的单调递增函数.解题方法模板八：零点法使用情景：利用函数单调性的定义作差变形之后需要确定函数单调区间的端点.解题模板：第一步 取值定大小：设任意x1，x2D，且x1<x2；第二步 作差：f(x1)f(x2)并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；第三步 利用零点法确定函数单调区间的端点.第四步 定符号，得出结论.例8