广东省2013年高考数学第二轮复习 专题二 函数与导数第3讲 导数及其应用 文.doc
-1-专题二专题二函数与导数第函数与导数第 3 3 讲讲导数及其应用导数及其应用真题试做真题试做1(2012辽宁高考，文 8)函数y12x2lnx的单调递减区间为()A(1,1B(0,1C1，)D(0，)2(2012辽宁高考，文 12)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为 4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A1B3C4D83(2012广东高考，文 21)设 0a1，集合AxR R|x0，BxR R|2x23(1a)x6a0，DAB.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)2x33(1a)x26ax在D内的极值点4(2012天津高考，文 20)已知函数f(x)13x31a2x2axa，xR R，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；(3)当a1 时，设函数f(x)在区间t，t3上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)M(t)m(t)，求函数g(t)在区间3，1上的最小值考向分析考向分析文科用从近三年高考来看，该部分高考命题有以下特点：从内容上看，考查导数主要有三个层次：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现热点例析热点例析热点一导数的几何意义【例 1】设函数f(x)ax1xb(a，bZ Z)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求yf(x)的解析式；(2)证明曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x1 和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值规律方法规律方法 1.导数的几何意义：函数yf(x)在x0处的导数f(x0)的几何意义是：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)2求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点xx0的导数f(x0)，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；(2)已知或求得切点坐标P(x0，f(x0)，由点斜式得切线方程为yy0f(x0)(xx0)特别提醒：当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为xx0；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解变式训练变式训练 1 1(1)设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线 2xy60 平行，则a_；(2)设f(x)xlnx1，若f(x0)2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为_热点二利用导数研究函数的单调性-2-【例 2】已知函数f(x)x2alnx.(1)当a2 时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)f(x)2x在1，)上单调，求实数a的取值范围规律方法规律方法 利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f(x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)0 或f(x)0.若已知函数的单调性求参数，只需转化为不等式f(x)0 或f(x)0 在单调区间内恒成立问题求解解题过程中要注意分类讨论；函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想变式训练变式训练 2 2已知函数f(x)x2xa(2lnx)，a0.讨论f(x)的单调性热点三利用导数研究函数极值和最值问题【例 3】已知函数f(x)x3ax23x，(1)若f(x)在区间1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x13是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)bx的图象与函数f(x)的图象恰有3 个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由规律方法规律方法 利用导数研究函数极值的一般步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求函数f(x)的导数f(x)；(3)若求极值，则先求出方程f(x)0 的根，再检验f(x)在方程根左右边f(x)的符号，求出极值当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0 根的大小或存在情况，从而求解变式训练变式训练 3 3 设aR R，函数f(x)ax33x2.(1)若x2 是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若函数g(x)f(x)f(x)，x0,2在x0 处取得最大值，求a的取值范围思想渗透思想渗透转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题转化与化归常用的方法是等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的【典型例题】已知函数f(x)x(lnxm)，g(x)a3x3x.(1)当m2 时，求f(x)的单调区间；(2)若m32时，不等式g(x)f(x)恒成立，求实数a的取值范围解：解：(1)当m2 时，f(x)x(lnx2)xlnx2x，定义域为(0，)，且f(x)lnx1.由f(x)0，得 lnx10，所以xe.由f(x)0，得 lnx10，所以 0 xe.故f(x)的单调递增区间是(e，)，递减区间是(0，e)(2)当m32时，不等式g(x)f(x)，即a3x3xxlnx32 恒成立-3-由于x0，所以a3x21lnx32，即a3x2lnx12，所以a3lnx12x2.令h(x)3lnx12x2，则h(x)6lnxx3，由h(x)0 得x1.且当 0 x1 时，h(x)0；当x1 时，h(x)0，即h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以h(x)在x1 处取得极大值h(1)32，也就是函数h(x)在定义域上的最大值因此要使a3lnx12x2恒成立，需有a32，此即为a的取值范围1.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3xf(1)x2，则f(1)()A1B2C1D22曲线ysinxsinxcosx12在点M4，0处的切线的斜率为()A12B.12C22D.223(2012广东深圳高级中学月考，文 9)已知f(x)lnx(x0)，f(x)的导数是f(x)，若af(7)，bf12，cf13，则a，b，c的大小关系是()AcbaBabcCbcaDbac4函数f(x)的定义域为 R R，f(1)2，对任意xR R，f(x)2，则f(x)2x4 的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)5三次函数f(x)，当x1 时有极大值 4；当x3 时有极小值 0，且函数图象过原点，则f(x)_.6已知函数f(x)x33x29xa(a为常数)在区间2,2上有最大值 20，那么此函数在区间2,2上的最小值为_7(2012广东华南师大附中月考，文 20)已知二次函数f(x)x2x，若不等式f(x)f(x)2|x|的解集为C.(1)求集合C；(2)若方程f(ax)ax15(a0，a1)在C上有解，求实数a的取值范围；(3)记f(x)在C上的值域为A，若g(x)x33txt2，x0,1的值域为B，且AB，求实数t的取值范围参考答案参考答案命题调研命题调研明晰考向明晰考向-4-真题试做真题试做1B解析：解析：对函数y12x2lnx求导，得yx1xx21x(x0)，令x21x0，x0，解得x(0,1因此函数y12x2lnx的单调递减区间为(0,1故选B.2C解析：解析：如图所示，由已知可设P(4，y1)，Q(2，y2)，点P，Q在抛物线x22y上，422y1，(2)22y2，y18，y22，P(4,8)，Q(2,2)，又抛物线可化为y12x2，yx，过点P的切线斜率为y|x44，过点P的切线为y84(x4)，即y4x8.又过点Q的切线斜率为y|x22，过点Q的切线为y22(x2)，即y2x2.联立y4x8，y2x2，解得x1，y4，点A的纵坐标为4.3解：解：(1)令g(x)2x23(1a)x6a，9(1a)248a9a230a93(3a1)(a3)当 0a13时，0，方程g(x)0 的两个根分别为x13a3 9a230a94，x23a3 9a230a94，所以g(x)0 的解集为，3a3 9a230a943a3 9a230a94，.因为x1，x20，所以DAB0，3a3 9a230a943a3 9a230a94，.-5-当13a1 时，0，则g(x)0 恒成立，所以DAB(0，)，综上所述，当 0a13时，D0，3a3 9a230a943a3 9a230a94，；当13a1 时，D(0，)(2)f(x)6x26(1a)x6a6(xa)(x1)，令f(x)0，得xa或x1.当 0a13时，由(1)知D(0，x1)(x2，)，因为g(a)2a23(1a)a6aa(3a)0，g(1)23(1a)6a3a10，所以 0ax11x2，所以f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，a)a(a，x1)(x2，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)的极大值点为xa，没有极小值点当13a1 时，由(1)知D(0，)，所以f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，a)a(a,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值点为xa，极小值点为x1.综上所述，当 0a13时，f(x)在D内有一个极大值点xa，没有极小值点；当13a1 时，f(x)在D内有一个极大值点xa，一个极小值点x1.4解：解：(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点当且仅当f(2)0，f(0)0，3b0，b7 且b3.存在满足条件的b值，b的取值范围是b7 且b3.【变式训练 3】解：解：(1)f(x)3ax26x3x(ax2)因为x2 是函数yf(x)的极值点，所以f(2)0，即 6(2a2)0，因此a1.经验证，当a1 时，x2 是函数yf(x)的极值点(2)由题设，g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)当g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)时，g(0)g(2)，即 020a24，得a65.反之，当a65时，对任意x0,2，g(x)65x2(x3)3x(x2)3x5(2x2x10)3x5(2x5)(x2)0，而g(0)0，故g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)综上，a的取值范围为，65.创新模拟创新模拟预测演练预测演练文科用 1.A解析：解析：f(x)3f(1)2x，令x1，得f(1)3f(1)2，f(1)1.故选 A.2B解析：解析：对ysinxsinxcosx12求导得ycosx(sinxcosx)sinx(cosxsinx)(sinxcosx)21(sinxcosx)2，当x4时，y|x412222212.-9-3B解析：解析：f(x)1x，f12 2，f13 3，即b2，c3.又af(7)ln 7，e7e2，f(7)ln 72.综上，abc，故选 B.4B解析：解析：设h(x)f(x)(2x4)，则h(x)f(x)20，故h(x)在 R R 上单调递增，又h(1)f(1)20，所以当x1 时，h(x)0，即f(x)2x4.5x36x29x解析：解析：设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc.由题意，有f(1)0，f(3)0，f(1)4，f(3)0，f(0)0，即3a2bc0，27a6bc0，abcd4，27a9b3cd0，d0.解得a1，b6，c9，d0.故f(x)x36x29x.67解析：解析：f(x)3x26x90，得x1 或x3(舍去)f(2)2a，f(1)5a，f(2)a22，a2220，a2.故最小值为f(1)7.7解：解：(1)f(x)f(x)2x2，当x0 时，2x22x0 x1；当x0 时，2x22x1x0.集合C1,1(2)f(ax)ax150(ax)2(a1)ax50，令axu，则方程为h(u)u2(a1)u50，且h(0)5.当a1 时，u1a，a，h(u)0 在1a，a上有解，则h1a1a211a50，h(a)a2(a1)a50a5.当 0a1 时，ua，1a，h(u)0 在a，1a上有解，则h(a)0，h1a00a12.当 0a12或a5 时，方程在C上有解，且有唯一解(3)A14，2，g(x)3x23t.-10-当t0 时，g(x)0，函数g(x)x33txt2在x0,1单调递增，函数g(x)的值域Bt2，152t.AB，t214，2152t，解得t12，t25，即t12.当t1，g(x)0，函数g(x)在区间0,1单调递减，B152t，t2.AB，152t14，t22.又t1，所以t4.当 0t1 时，令g(x)0 得xt(舍去负值)，当xt，1时，g(x)0，当x0，t时，g(x)0.函数g(x)在t，1单调递增，在0，t单调递减，g(x)在xt取到最小值要使AB，则g(0)2 或g(1)2，g(t)14t4 或t25，8(t)32(t)210.无解综上所述：t的取值范围是，12 4，)
