考点28 空间几何体外接球讲义（含答案解析）.docx

考点28空间几何体的外接球【思维导图】外接球前提J T圆锥、顶点的投影为底面的外心（正棱锥）说明：R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为体高应选：A.【点睛】此题考查了几何体的外接球、球的外表积公式，解题的关键是作出外接球 的球心，需熟记公式，考查了考生的空间想象能力，属于中档题.考法五矩形模型（2020 新疆维吾尔自治区）.在四面体45CD中，ABf，DA = DB = CA = CB = 1,那么四面体A3CO的外接球的外表积为A.冗B. 27rC. 3冗D. 4%【答案】B【解析】【分析】取的中点O,连接OC,。，由题意可得O为外接球的球心，利用球的外表积 公式即可求解.【详解】由=五，DA = DB = CA = CB = U 所以次+函二4夕，AD2 + BD2 = AB2A可得 /ACB = ZADB = 90°,所以。A = O3 = OC = OO =交,2即。为外接球的球心，球的半径/?=克2所以四面体A3CD的外接球的外表积为：S = 47rH2 = 4/rx = 27r .2应选：B【点睛】此题考查了多面体的外接球的外表积，需熟记球的外表积公式，属于基础 题.（2020 黑龙江省哈尔滨三中）.四面体S4BC中，AC±BC, S4J_平面A3C, SA = 46, AC = S ,BC = C，那么该四面体外接球的外表积为（）32%L 3【答案】C【解析】32%L 3【答案】C【解析】16万 B.C. 16D. 32【分析】先利用几何法找出外接球的球心，计算出外接球的半径，然后得出外表积;【详解】如下图:s由可得SA3与S3。为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为S3的中点 0,因为AC = J7,3C =石，且4。_15。,所以43=可，所以 S3 = y/s+AB2 = V6 + 10 = 4，所以四面体&由。的外接球半径R = 2，那么外表积S = 47rH2 =m乃.故答案选：C【点睛】此题考查几何体的外接球问题，难度一般，解答时找准球心，计算得出半 径是关键.考法六七模型（2020黑龙江省铁人中学高三）.在四棱锥A-3CDE中，ABC是边长为6的正三角形，8CDE是正方形，平面A3C_L平面8CD£,那么该四棱锥的外接球的体积为（）A. 21V217T B. 84冗C. 7岳iD. 28向兀【答案】D【解析】【分析】取BC的中点为Mb分别是正三角形A5C的中心和正方形BCQE的中心，根据条件可得板，平面A6C, AM_L平面8CQE,过M尸分别做AM的平行线交于。，那么。为球心，求出QV,即可求出外接球的半径，即可求解.【详解】取3c的中点为M, N是正三角形ABC的中心，方为正方形BCQE的中心，连接那么有Mb_L8C,AM ±BC,平面 ABC J_ 平面 BCD石，平面 A3CD 平面 3CZ)E=BC,及牛，平面AM，平面BCDE,过N/分别做4/M/,IJ/AM ,那么 4,平面 A3C,平面 8CQE,，交于 0,那么。为球心，OF/MN.ON/MF, MN IMF 所以四边形。RIW为矩形，ON = MF = 3,AN = -AM = 2区 OA = y/ON2 + AN2 =祈 + （2后=回 所以外接球的体积为4亚亚）3 = 2801.3应选:D【点睛】此题考查多面体与球的“接”“切”问题，解题的关键是根据球的性质确定球 心，考查空间想象能力，属于中档题.2冗13 .三棱锥PA5c 中，NAPB = 1, PA = PB = 6 AC = 5, 3C = 4,且平面B4B_L平面ABC,那么该三棱锥的外接球的外表积为（）A. 16B. 287rC. 24D. 32兀【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到C3 JL平面K4B,再将三棱锥P-ABC放入直三棱柱中, 求其外接球半径，计算外表积即可.【详解】在PA5中，由余弦定理得= 13 + 3 2x百xgxcos与=3,X AC2 = AB2 + BC2,所以ABC为直角三角形，CB±AB.又平面PAB，平面ABC且交于AB，所以C8,平面B4B.将三棱锥P-ABC放入直三棱柱中，如下图：。1，。2分别为上下底面外接圆的圆心，0为三棱锥P-ABC外接球的球心，且为。I，。2的中点.所以。«=33。=2.2r =0= 2x/3设RW的外接圆半径为小那么一.2兀一，所以二6.sin 3设几何体的外接球半径为R ,那么R2=22+ （百产=7,所求外接球的外表积S = 4iR2 =281.应选：B【点睛】此题主要考查三棱锥的外接球，将三棱锥放入直三棱柱中为解题的关键， 属于中档题.考点七麻花模型（2020 四川省眉山市彭山区第二中学）.在四面体 ABCD中，假设 AB = CD = 5 AC = BD = 2, AD = BC = 5 那么四 面体ABC。的外接球的外表积为（A. 2"B. 4C. 6/rD. 8乃【答案】C【解析】【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解 外接球的外表积.【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体A8C。的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以g，2,逐为三边的三角形作为底面，且以分别 %, y, z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为, y, z 的长方体，并且1+9=3, x2+z2 = 5, y2+z2=4,那么有（27?） 2=x2+y2+z2=6 （H 为球 的半径），得2叱=3,所以球的外表积为S=4ttR2=6兀.故答案为6".【点睛】此题考查几何体的外接球的外表积的求法，割补法的应用，判断外接球的 直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一.一般外接球需要求球心和半径，首 先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确 定几何体中局部点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面 的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的 各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是 其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离， 构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱 锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.考点八最值问题（2020 河南省高三三模）15.三棱锥S-ABC的底面是等边三角形，且SA = S8 = SC =6，那么当三棱锥S-ABC的体积最大时，其外接球的外表积为（）A. 9B. 12%C. 18/rD. 27【答案】C【解析】【分析】根据三棱锥s-ABC的体积最大，可得三棱锥的SA, SB, SC三条棱两两垂直，三 棱锥的外接球是以弘，SB, SC为长宽高的长方体的外接球，进而求得外接球半径, 求出其外表积.【详解】解：在AC上找中点。，连接06, SD,如下列图所示，因为三棱锥S-ABC的底面是等边三角形，即是等边三角形，所以又因为S4 = SC,所以QSLAC.设NASC = e, S3与平面SAC所成的角那么VVS-ABCVVS-ABCSA x SC 义 sin 8 x S3 x sin °,当x x 5A x SC x sin 8 x BD = ix x 3 23 27T夕二° =不时，匕-8C最大，此时SA, SB , SC两两垂直,所以三棱锥的外接球即为以弘，SB, SC为长宽高的长方体的外接球，如下列图,因为 SA = S3 = SC =逐,所以外接球的半径口_1 所以外接球的半径口_1 那么其外接球的外表积为S = MR?=18%.3V|.2应选：C.【点睛】此题考查空间几何体的线面关系以及体积和外表积的求法，考查直观想 象、数学运算的核心素养，属于中档题.16.点A, B, C,。均在球。的球面上，AB = BC = , ACf，假设三棱锥。-ABC体积的最大值是;，那么球。的外表积为【答案】8U16【解析】【分析】设ABC的外接圆的半径为人可得ABC为直角三角形，可求出厂=走,2由得。到平面ABC的最大距离3设球。的半径为A ,那么R2=/+（/2_r）2,由此能求出A ,从而能求出球。的外表积.【详解】设ABC的外接圆的半径为人; AB = BC = 1, AC = C，那么 A3? += AC?,.A5C为直角三角形，且厂=变 2S/BC = Xlxl = 5,/三棱锥D - ABC体积的最大值是1,/三棱锥D - ABC体积的最大值是1,A , B, C,。均在球。的球面上, D到平面ABC的最大距离h =-0 D到平面ABC的最大距离h =-03V ABC3xi _3=22设球。的半径为R,那么尺2=/+（ 尺）2,设球。的半径为R,那么尺2=/+（ 尺）2,、2Q+ (2 R)2,解得R = 7,0（o球。的外表积为S = 4 -（o球。的外表积为S = 4 -、28116,z AA 8tc故答案为：10【点睛】此题考查球的外表积的求法，考查球内接几何体问题的求解，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平.外接球（小r：墨两个建面的外接01半径1是两个垂面的文畿）幡僮有两个平面为H角三角形且命边为同一边,斜边却是 球良校Rjma为*三翕牛1）制幺）说明，R为外播球华柱.r为底面外接留半径.h为体高【常见考法】考法一汉堡模型（2020 广州市广夕卜）.各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2,体积为8,那么这个球的外表积是（）A. 16B. 2兀C. 10万D. 8【答案】B【解析】【分析】先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，即为外接球的直径，然 后求出球的外表积.【详解】因为正四棱柱高为2,体积为8,所以它的底面边长是2,所以它的体对角线的长是26，因此它的外接球的直径是2出，所以这个球的外表积是：S = 44a2=3.应选：B.【点睛】此题考查正四棱柱的外接球的外表积，考查学生的计算能力，属于简单 题.（2020 辽宁省高三）.如图，在三棱锥 A-5CZ）中，平面 ADC BD=1, AB=2, BC=3, AC= 而，那么三棱锥A-BCD外接球的体积为（）A. 47rB. 3tiC. 2 G 乃D. 4 6兀【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面垂直的性质可得BOJ_AD, BD±DC,通过勾股定理可 得AO_LOC,再根据以D4、DB、OC为棱的长方体与三棱锥A - 5CD具有相同 的外接球可得球的半径，从而可得体积.【详解】因为BO_L平面AQC,所以BDLDC,所以 3 = a2 -5=4 -1 = 3 , DC2 = 9 -1 = 8 ,所以4。2=4。2 +。2,所以 a。，。，所以以DA、DB、OC为棱的长方体与三棱锥A-BCD具有相同的外接球，所以该外接球的直径为Jd+d笈+dcz = J3 + 1 + 8 =2百,半径为石，那么该外接球的体积为=4昌应选：D.【点睛】此题考查了直线与平面垂直的性质，考查了长方体的对角线长定理.，考查 了球的体积公式，属于基础题.考法二墙角模型（2020 天津高考真题）.假设棱长为2g的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为（）A. 2冗B. 24C. 36D. 144【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的外表积公式，即 可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即J（2卜26+（2之K = 52所以，这个球的外表积为S = 47rH2= 4"x32 =36.应选：C.【点睛】此题考查正方体的外接球的外表积的求法，求出外接球的半径是此题的解 题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三 条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径， 求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称 性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3） 如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交 点为几何体的球心.（2019 绥德中学）4.球面上有A民。,。四个点，假设A氏两两垂直，且=那么该球的外表积为A.B. 32C. 427rD. 483【答案】D【解析】【详解】【分析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其外表积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R,由题意可得：（27?）2 =42 +42 +42,据此可得：R2 =12,外接球的外表积为：5 = 4乃我2 =4万xl2 = 48万.此题选择。选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图 形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图， 如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球 外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.（2020 兴化市板桥高级中学）5.棱长为2G的正方体ABC。-44cA的8个顶点在同一个球面上，那么这个球的体积与外表积的比值为【答案】1【解析】【分析】正方体的外接球的直径就是其对角线，用（2厂）2=/+人2+。2求球半径即可 求解.【详解】解：该球的直径就是正方体的对角线，设球的半径为一，那么（2x 3 = 36, r = 3 ,4%/上=5 4/3故答案为：1【点睛】考查正方体的外接球体积和外表积的求法，基础题.考法三斗笠模型（2020 秦皇岛市抚宁区第一中学）.正三棱锥S-的侧棱长为4百，底面边长为6,那么该正三棱锥外接球的外表积是.【答案】64【解析】【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径, 再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的外表积公式求出表 面积.【详解】解析：过点s作S£_L平面ABC于点E,记球心为。.S.在正三棱锥S-ANC中，底面边长为6,侧棱长为4月，=x6 = 2a/3 ,3 2二 SE = y/SB2-BE2 =6.球心。到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长A ,A OB = R, OE = 6-R.在RG8O£中，OB2 = BE2+OE2 ,即 R2=i2 +（6 解得H = 4,*外接球的外表积为S = 4ttR2 = 64.故答案为：647r.【点睛】此题主要考查正三棱锥的外接球的外表积以及计算能力，属于中档题.7.正四棱锥的顶点都在同一球面上，假设该棱锥的高为4,底面边长为2,那么该球的外表积为（）8UB. 16C. 9兀277rD.4【答案】A【解析】【详解】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上, 记为 O, PO=AO=R,尸Q=4, 0a =4-R,在 Rs40« 中，AO=°,9 g由勾股定理R2 =2 + (4 H)-得R =,QI，球的外表积s =一"，应选A.4考点：球的体积和外表积考法四怀表模型（2020 广东省高三）.在三棱锥中，A8Q与均为边长为2的等边三角形，且二面角A-BO-C的平面角为120。，那么该三棱锥的外接球的外表积为（）A. 7兀B. 7兀C. 8兀-287rD.【答案】D【解析】【分析】如图，取中点儿 连接AH, CH,那么NAHC为二面角。的平 面角，即乙4"。=120。，分别过£,方作平面A3。，平面BCO的垂线，那么三棱锥的 外接球一定是两条垂线的交点，记为。，连接A。，HO,那么由对称性可得/。“石=60°,进而可求得R的值.【详解】解：如图，取5。中点H,连接AH, CH因为 ABD与 CBD均为边长为2的等边三角形所以CHLBD,那么为二面角A - 8。-。的平面角，即NA”O= 120°设 45。与 C5Z）外接圆圆心分别为E F那么由 a”=2x走=6可得a£=2ah=2g, EH=-AH=-23333分别过E,尸作平面ABD,平面BCD的垂线，那么三棱锥的外接球一定是两条垂线 的交点记为O,连接AO, HO,那么由对称性可得NOHE=60。所以。£=1,那么H=OA = Ja石2 +石。2 =叵3那么三棱锥外接球的外表积4万代=4万*1=等 应选：D【点睛】此题考查三棱锥的外接球，球的外表积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中 档题.（2020 南昌市八一中学）.如下图，三棱锥S - A3C中， A3C与ASBC都是边长为1的正三角形，二 27r面角A-BC-S的大小为丁，假设S, A, B,。四点都在球。的外表上，那么球。的 外表积为（A. 7iB. 一兀C. 7iD. 3兀333【答案】A【解析】【分析】取线段的中点。，连结A。，SD,由题意得AQ_L3C, SDLBC, ZADS 27r是二面角A - BC - S的平面角,ZADS=-,由题意得平面ADS,分别取A。，SQ的三等分点E, F,在平面ADS内，过点E,歹分别作直线垂直于AO, SD,两 条直线的交点即球心。，连结04那么球。半径H=|Q4,由此能求出球。的外表 积.【详解】解：取线段5C的中点。，连结AD SD,由题意得 AD_L3C, SDLBC,27r/. ZADS是二面角A-BC-S的平面角， ZADS=,3由题意得平面AOS,分别取AD, SO的三等分点石，F,在平面ADS内，过点石，尸分别作直线垂直于AD, SD,两条直线的交点即球心O,连结。4,那么球。半径R=|O4|,由题意知 BD=g, AD=B, DE= = AD =叵,AE=-AD 22363连结 0。，在 RtZkO。石中，/ODE, 0E=8dE= , 327：.OA1=OE1+A = ,1277r二球0的外表积为S=4兀叱=飞_ .