【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第2篇 第8节 函数与方程课时训练 理.doc

【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第2篇 第8节 函数与方程课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号函数零点(个数)2、3、4、7、9确定函数零点所在区间1、6利用函数零点个数确定参数的取值(范围)5、10、14、16函数零点的综合问题8、11、12、13、15基础过关一、选择题1.(2014广州模拟)在下列区间中,函数f(x)=3x-x-3的一个零点所在的区间为(B)(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)解析:由已知得f(0)=30-0-3=-2<0,f(1)=3-1-3=-1<0,f(2)=32-2-3=4>0,所以f(1)·f(2)<0,所以零点所在区间为(1,2).2.函数f(x)=ex+3x的零点个数是(B)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:易知f(x)=ex+3x在R上单调递增,又f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,函数只有一个零点,故选B.3.(2014荆门调研)已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的曲线,且有如下的对应值:x123456y124.435-7414.5-56.7-123.6则函数y=f(x)在区间1,6上的零点至少有(B)(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个解析:依题意,f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,故函数y=f(x)在区间1,6上的零点至少有3个.4.已知关于x的方程xln x=ax+1(aR),下列说法正确的是(B)(A)有两不等根(B)只有一正根(C)无实数根(D)不能确定解析:由xln x=ax+1(aR)知x>0,ln x=a+,作出函数y1=ln x与y2=a+的图象,易知选B.5.已知x>0,符号x表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=-a(x0)有且仅有3个零点,则a的取值范围是(A)(A)(,(B),(C)(,(D),解析:当0<x<1时,f(x)=-a=-a;1x<2时,f(x)=-a=-a;2x<3时,f(x)=-a=-a,f(x)=-a的图象是把y=的图象进行纵向平移而得到的,画出y=的图象,通过数形结合可知a(,.6.(2014郑州模拟)已知x0是函数f(x)=+ln x的一个零点,若x1(1,x0),x2(x0,+),则(D)(A)f(x1)<0,f(x2)<0(B)f(x1)>0,f(x2)>0(C)f(x1)>0,f(x2)<0(D)f(x1)<0,f(x2)>0解析:令f(x)=+ln x=0.从而有ln x=,此方程的解即为函数f(x)的零点.在同一坐标系中作出函数y=ln x与y=的图象如图所示.由图象易知,>ln x1,从而ln x1-<0,故ln x1+<0,即f(x1)<0.同理f(x2)>0.二、填空题7.(2014烟台模拟)函数f(x)=cos x-log8x的零点个数为. 解析:由f(x)=0得cos x=log8x,设y=cos x,y=log8x,作出函数y=cos x,y=log8x的图象,由图象可知,函数的零点个数为3.答案:38.(2014安徽安庆三模)若x1,x2是函数f(x)=x2+mx-2(mR)的两个零点,且x1<x2,则x2-x1的最小值是. 解析:由于=m2+8>0,故函数f(x)一定有两个不同的零点,且两个零点异号,故x2>0,x1<0,所以x2-x1=2.答案:29.(2014浙江协作体模拟)函数f(x)=则函数y=ff(x)+1的所有零点所构成的集合为. 解析:由ff(x)+1=0,得ff(x)=-1,由f(x)=-1得x=-2或x=,则函数y=ff(x)+1的零点就是使f(x)=-2或f(x)=的x值,解f(x)=-2得x=-3或x=;解f(x)=得x=-或x=,从而函数y=ff(x)+1的零点构成的集合为-3,-,.答案:-3,-,10.(2014河北邯郸一模)已知f(x)=且函数y=f(x)+ax恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是. 解析:当x<0时,f(x)=(x+1)2-,把函数f(x)在-1,0)上的图象向右平移一个单位即得函数y=f(x)在0,1)上的图象,继续右移可得函数f(x)在0,+)上的图象.如果函数y=f(x)+ax恰有3个不同的零点,即函数y=f(x),y=-ax的图象有三个不同的公共点,实数a应满足-a<-或-a<,即a>或-<a-.答案:(-,-(,+)三、解答题11.(1)m为何值时,函数f(x)=x2+2mx+3m+4有两个零点且均比-1大;(2)若函数(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.解:(1)法一设f(x)的两个零点分别为x1,x2,则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4.由题意,知-5<m<-1.故m的取值范围为(-5,-1).法二由题意,知即-5<m<-1.m的取值范围为(-5,-1).(2)令 (x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出g(x)、h(x)的图象.由图象可知,当0<-a<4,即-4<a<0时,g(x)与h(x)的图象有4个交点,即(x)有4个零点.故a的取值范围为(-4,0).12.已知函数f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+(x>0,其中e表示自然对数的底数).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)确定t的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.解:(1)法一g(x)=x+2=2e,等号成立的条件是x=e.故g(x)的值域是2e,+),因而只需m2e,则g(x)=m就有零点.法二解方程g(x)=m,得x2-mx+e2=0.此方程有大于零的根,故等价于故m2e.即m的取值范围为2e,+).(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)、f(x)的图象.f(x)=-x2+2ex+t-1=-(x-e)2+t-1+e2.其对称轴为x=e,开口向下,最大值为t-1+e2.故当t-1+e2>2e,即t>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.t的取值范围是(-e2+2e+1,+).能力提升13.若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:P,Q都在函数y=f(x)的图象上;P,Q关于原点对称.则称点对P,Q是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对P,Q与Q,P看作同一对“友好点对”).已知函数f(x)=则此函数的“友好点对”有(C)(A)0对(B)1对(C)2对(D)3对解析:函数f(x)=的图象及函数f(x)=-x2-4x(x0)的关于原点对称的图象如图所示,则A,B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)=-x2-4x(x0)的图象上,故函数f(x)的“友好点对”有2对,故选C.14.若方程=k(x-2)+3有两个不等的实根,则k的取值范围是. 解析:作出函数y1=和y2=k(x-2)+3的图象如图所示,函数y1的图象是圆心在原点,半径为2的圆在x轴上方的部分(包括端点),函数y2的图象是过定点P(2,3)的直线,点A(-2,0),kPA=.直线PB是圆的切线,由圆心到直线的距离等于半径得,=2,得kPB=.由图可知当kPB<kkPA时,两函数图象有两个交点,即原方程有两个不等实根.所以<k.答案:(,15.设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:(1)a>0且-2<<-1;(2)函数y=f(x)在(0,1)内有两个零点.证明:(1)因为f(0)>0,f(1)>0,所以c>0,3a+2b+c>0.由条件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;由条件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,2a+b>0,故-2<<-1.(2)抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的对称轴为x=-,在-2<<-1的两边乘以-,得<-<.又因为f(0)>0,f(1)>0,又f(-)=-=-<0,所以方程f(x)=0在区间(0,-)与(-,1)内分别有一实根.故函数y=f(x)在(0,1)内有两个零点.探究创新16.(2014北京模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x).当x0,1时,f(x)=2x.若在区间-2,2上方程ax+a-f(x)=0恰有三个不相等的实数根,则实数a的取值范围是. 解析:由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2.由ax+a-f(x)=0得f(x)=ax+a,设y=f(x),y=ax+a,作出函数y=f(x),y=ax+a的图象.如图,要使方程ax+a-f(x)=0恰有三个不相等的实数根,则直线y=ax+a=a(x+1)的斜率满足0a<kAB,由题意可知,A(-1,0),B(1,2),所以kAB=1,所以0a<1,即a0,1).答案:0,1)10