【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法（Ⅱ）-求空间角课后限时自测 理 苏教版.doc

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法（）-求空间角课后限时自测 理 苏教版 A级基础达标练一、填空题1已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则BC1与截面BB1D1D所成的角为_图7­7­10解析显然是面BB1D1D的法向量易知，60°(A1C1B为正三角形)，故所求角为90°60°30°.答案30°2已知正方体ABCD­A1B1C1D1如图7­7­11所示，则直线B1D和CD1所成的角为_图7­7­11解析以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则射线CD1，B1D的方向向量分别是(1,0,1)，(1,1，1)，cos，0，两直线所成的角为90°.答案90°3如图7­7­12，长方体ABCD­A1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则直线BD1和AB1所成的角的余弦值等于_；直线BD1和平面ACC1A1所成角的余弦值等于_图7­7­12解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，B1(2,2,1)，D1(0,0,1)所以(2，2,1)，(0,2,1)，从而cos，.故BD1和AB1所成的角的余弦值为.(2)易知：DB平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的一条法向量为(2,2,0)cos，.设为BD1和平面ACC1A1所成的角，则sin ，因此，cos .答案4(2012·陕西高考改编)如图7­7­13所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_图7­7­13解析不妨令CB1，则CACC12.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，>0.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案5如图7­7­14所示，若P为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1B1的中点，则二面角P­C1D­D1的正切值是_图7­7­14 解析以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建系设棱长为2，面DCC1D1的法向量是m(1,0,0)，求得面DPC1的法向量n，cosm，n.又该二面角为锐角，所以该二面角的余弦值为，正切值为2.答案26如图7­7­15，已知三棱锥O­ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OBOC2，E是OC的中点，则二面角A­BE­C的余弦值为_图7­7­15解析以O为原点，OB，OC，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系可求得平面ABE的一个法向量为n1(1,2,2)平面BEC的一个法向量为n2(0,0,1)cosn1，n2，故所求二面角余弦值为.答案7(2013·浙江温州二模)如图7­7­16所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为_图7­7­16解析作EHAD于H，连接BH，PA面ABCD，EHPA，故EH面ABCD，故EBH就是直线BE与平面ABCD所成的角，又EHPA1，BH，tanEBH.答案8(2014·常州期末)如图7­7­17，在三棱锥P­ABC中已知平面PAB平面ABC，ACBC，ACBCPA2a.点O，D分别是AB，PB的中点，POAB，连结CD，则异面直线PA与CD所成角的余弦值为_图7­7­17解析由题意可知PO平面ABC且OCAB，故可建立如图所示的空间直角坐标系A(0，a,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0,0，a)，D，从而(0，a，a)，cos，所以PA与CD所成角的余弦值为.答案二、解答题9.如图7­7­18，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4，E是PD的中点图7­7­18 (1)求证：平面PDC平面PAD；(2)求二面角E­AC­D的余弦值解以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，E(0,2,1)，P(0,0,2)(2,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)，(2,0,0)，(0,2,1)，(2,4,0)(1)证明：·0，CDAD.又·0，CDAP.APADA，CD平面PAD，而CD平面PDC.平面PDC平面PAD.(2)设平面AEC的法向量n(x，y，z)，令z1，则n(x，y,1)由即n.平面ABC的一个法向量(0,0,2)，cosn，.所以二面角E­AC­D所成平面角的余弦值是.10(2014·南通、扬州、泰州、宿迁高三调研)如图7­7­19，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，ADAA1AB，E是棱AB上一点，且.图7­7­19(1)证明：D1EA1D；(2)若二面角D1­EC­D的大小为，求实数的值解(1)如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系不妨设ADAA11，AB2，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)，因为，所以E，于是，(1,0，1)所以··(1,0，1)0.故D1EA1D.(2)因为D1D平面ABCD，所以平面DEC的法向量为n1(0,0,1)又，(0，2,1)设平面D1CE的法向量为n2(x，y，z)则n2·xy0，n2·2yz0.取y1，得平面D1CE的一个法向量为n2.因为二面角D1­EC­D的大小为，则解得±1，又因为E是棱AB上的一点，所以>0，故所求的值为1.B级能力提升练一、填空题1.(2014·南师附中模拟)如图7­7­20，在底面是直角梯形的四棱锥S­ABCD中，ABC90°，SA面ABCD，SAABBC1，AD.面SCD与面SBA所成的二面角的正切值为_图7­7­20 解析如图，以点A为坐标原点，方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)，.求得平面SCD的一个法向量为n(1,2,1)，易知是平面SBA的一个法向量，故cos，n，可得二面角正切值为.答案2(2014·天津高考改编)如图7­7­21，在四棱锥P­ABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点，则直线BE与平面PBD所成角的正弦值为_图7­7­21解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系得B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(1,1,1)，从而求得(1,2,0)，(1,0，2)，(0,1,1)，可求平面PBD的一个法向量n(2,1,1)，cos，n，所以直线与平面PBD所成角的正弦值为.答案二、解答题3.(2014·大纲全国卷)如图7­7­22，三棱柱ABC­A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB90°，BC1，ACCC12.图7­7­22(1)证明：AC1A1B；(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1­AB­C的大小的余弦值解以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内(1)设A1(a,0，c)，由题设有a2，A(2,0,0)，B(0,1,0)，则(2,1,0)，(2,0,0)，(a2,0，c)，(a4,0，c)，(a，1，c)由|2得 2，即a24ac20.于是·a24ac20，所以AC1A1B.(2)设平面BCC1B1的法向量m(x，y，z)，则m，m，即m·0，m·0.因为(0,1,0)，(a2,0，c)，故y0，且(a2)xcz0.令xc，则z2a，m(c,0,2a)，点A到平面BCC1B1的距离为|·|cosm，|c.又依题设，点A到平面BCC1B1的距离为，所以c.代入解得a3(舍去)或a1.于是(1,0，)设平面ABA1的法向量n(p，q，r)，则n，n，即n·0，n·0，pr0，且2pq0.令p，则q2，r1，n(，2，1)又p(0,0,1)为平面ABC的法向量，故cosn，p.所以二面角A1­AB­C的余弦值.9