中考几何真题易错题题库（含答案）.docx

中考几何真题易错题题库(含答案)学校:姓名：班级：考号：一、解答题1.如图，AC是。的直径，BC, 8。是。的弦，M为的中点，。“与交于点F,过点。作交3c的延长线于点E,且CD平分NACE(1)求证：。石是。的切线；(2)求证：ZCDE = ZDBE；2(3)假设 DE=6 , tanZ.CDE =,求 B/7 的长.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) %叵6【分析】(1)连接。，A。，根据直径所对的圆周角为直角得出NADC=90。，再综合角平分线 的定义以及圆的基本性质，推出NCOE=NA。，从而推出NAQC=NOOE,即可得证；(2)在(1)的基础之上，结合同弧所对的圆周角相等，即可得证；2(3)由tan/CDE1,求出C£=4, BE=9,即可得BC=5,由加为8C的中点，可得525OMLBC, BM=RdBFM中,根据tan/D8E = ,求出/M二,再用勾股定理即 233得答案，BF = Jbm2 + FM?=豆亘6【详解】(1)如图，连接。，AD,AC为直径，ZAZ)C=90°,。平分NACE,，ZACD=ZECD,VDE±BC,四边形OCEG为矩形.V ZfiAC = 15°, 04 = 2, ZBAE = 2ZOAC = 30° ,J OG = -OA = i , 2 AG = S曾-OG =5。6_1_4后于点6, 0A=0F=2,: GF = AG = 6 ZFAO=ZAFO=30°, ? OC/AE,：.ZCOF=ZAFO=30°,：.矩形 OCEG 面积为 OC.OG = 2x1 = 2, OG厂面积为，ogGb= 'xlx6 =走，222扇形CO/面积为迎它二工"3603阴影局部面积=矩形OCEG面积- OG尸面积-扇形。/面积=2-走-2 3【点睛】此题为圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积等知识，综合性较强, 熟练掌握相关定理并根据题意添加辅助线是解题的关键.7.在ACO中，。是的中点，B是4。延长线上的一点，连结(1)如图 1,ZACB = 90°,ZCAD = 60°, BD = AC, AP = 73 ,求 5c 的长.(2)过点。作。石AC,交AP延长线于点E,如图2所示.假设/。= 60。,3。= 4。, 求证：BC = 2AP.(3)如图3,假设NCW = 45。，是否存在实数2,当加4。时，BC = 2AP ?假设存在,试卷第10页，共102页? ZCOM=ZCOD,:.丛COMs XDOC,.DC _ PCCM'OM '. DC V5 =，21，cd = ?5(3)过点E作上N_LAB于点N,连接OE,/ CM LAB, EN LAB,.MFCMsFEN, EN FE NF ICM- CF - A/F - 2 '由(2)得 CM=2, 0M=,：.EN=OM=,9： OC=OE,：.RtA COMRtA OEN,：.0N=CM=2,:MN=3,. NF _ 1 MF2"：FM=2,? OM=1,，OF=1,: BF=OB+OF,，BF = 1+ 布.【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解答 此题需要我们熟练掌握各局部的内容，要注意将所学知识贯穿起来.50.如图，在ABC中，AB = AC,以A3为直径的交5C于点。，交84 的延长线于点£,交AC于点?试卷第100页，共102页(1)求证：。石是的切线；(2)假设 AC = 6,tanE = m ,求 AF 的长.4【答案】(1)证明见解析；(2) AF = 【分析】(1)要证明。E是。的切线，只要证明NODE = 90。即可.连接。根据条件证明OD/AC,那么可推导出NODE = 90、(2)根据条件，在RtODE中,求出。石的长，然后证明AE£ODE,从而根据 相似比求解即可.【详解】(1)证明：如以下图，连接0。AB = AC,OB = OD,：.ZB = /C,ZB = /ODB,：.ZODB = ZC,，OD/AC,ZODE = ZCFD,又DEJ_AC,，ZCFD = 90°,工 ZODE = 90°, JOE是O。的切线.(2)解：VAC=6, OD = OB = -AB = -AC = 3 9 22在 Rt/ODE 中，tan £ =,ED 4#- ED = 4, OE = yOD2+ED2 =732+42 =5，AE = OEOB = 5 3 = 2,又 /AEF = /OED, NAFE = ZODE = 90°,J 4AFE ODE,.【点睛】 此题考查的是切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的相似，勾股定理等相关知识点, 根据题意数形结合是解题的关键.试卷第102页，共102页 请直接写出机的值；假设不存在，请说明理由.【答案】(1) 2a/3; (2)见解析；(3)存在，m = V2【分析】(1)先解直角三角形ABC得出A5 = 2AC,从而得出AOC是等边三角形，再解直角三 角形AC尸即可求出AC的长，进而得出3c的长；(2)连结砥，先利用A4s证出"404。匹£,得出AE=2PE, AC=DE,再得出ADC 是等边三角形，然后由SAS得出CMgziEBA,得出AE=8C即可得出结论；(3)过点。作。E/AC,交AP延长线于点E,连接BE,过。作CGJ_AB于G,过E 作 ENJ_A8 于 N,由(2) W AE=2AP, DE=AC9 再证明AEN会4BCG,从而得出 C452得出DE=BE,然后利用勾股定理即可得出m的值.【详解】(1)解 / ZACB = 90°, ZCAD = 60° ,ArAB= =2ACfcos60°<BD = AC,AD = AC.“OC是等边三角形， . ZACD = 60°0是CD的中点，.AP±CD,在心APC中，AP = 6:.AC= AP =2, sin 60°. BC = ACtan 60° = 273 .(2)证明：连结防，.DEIIAC, . ZCAP = ZDEP, CP = DP, ZCPA = ZDPE,:.aCPADPE(AAS),. AP = EP = -AE,DE = AC, .BD = AC,BD - DE，又：DE/AC, ZBDE = ZCAD = 60° ,瓦汨是等边三角形， . BD = BE, ZEBD = 60°BD = AC,AC = BE,又 ZCAB = ZEBA = 60°, AB = BA9. CABEBA(SAS),，AE = BC, .BC = 2AP.(3)存在这样的"2,加=夜.过点D作DEI/AC,交AP延长线于点E ,连接BE,过。作CGLAB于G,过£作ENLAB于 N,那么 ZBZ)£ = NC4Z) = 45。，/.CG = AC x sin 45°, EN = DE x sin 45°由(2)得 AE=2AP, DE=AC,：.CG=EN,? BC = 2AP,：.AE=BC,? /ANE=NBGC=90。,/.A£2V=a5CG 9：.ZEAN=ZCBG9：AE=BC, AB=BA9：AC=BE,:DE=BE,：./EDB=/EBD=45°, ：.NO仍=90。,试卷第12页，共102页； BD = CaC，? BD = niAC m = y/2【点睛】 此题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形 和等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度.8.在等腰ABC中，AB = AC,点。是3c边上一点(不与点8、C重合)，连结(I)如图1,假设NC = 60°,点。关于直线A3的对称点为点E,结DE,那么/皿迫=(2)假设NC = 60。，将线段绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,连结房.在图2中补全图形；探究与的的数量关系，并证明；ah r)(3)如图3, - = - = k9且/4DE = /C,试探究属、BD、AC之间满足的数 BC DE量关系，并证明.【答案】(1) 30°； (2)见解析；CD = BE；见解析；(3) AC = k(BD+BE),见解析【分析】(1)先根据题意得出AABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可(2)按要求补全图即可先根据条件证明ABC是等边三角形，再证明zMEB且ADC,即可得出CD = BEAr(3)先证明 f = 再证明ACBsade,得出/K4C = N£4Z),从而证明 AD DEAEBAADC,得出 3D+BE = 3C,从而证明 AC =-30 +BE)【详解】解：(1) 9： AB = AC. ZC = 60°.ABC是等边三角形 ZB=60°丁点D关于直线AB的对称点为点E：.ABA.DE,：./BDE = 30°故答案为：30°；(2)补全图如图2所示；。与属的数量关系为：CD=BE；证明：AB = AC, ZBAC = 60°.ABC为正三角形，又丁 AO绕点A顺时针旋转60。，A AD = AE. ZEAD = 60° ,V ZBAD+ZDAC = 6O09 ZBAD + ZBAE = 60°,：./BAE = ZDAC,J AAEBAADC,，CD = BE.(3)连接AE.试卷第14页，共102页.丝=四，回AC,，江二BC DEBC DE又 ZADE = ZC,，ACBsMDE,A ZBAC = ZEAD. V AB = AC, ：. AE = AD,：./BAD + ZDAC = /BAD + /BAE , ZDAC = /BAE,：.AAEBAADC9 CD=BE./ BD+DC = BC,：.BD+BE = BC.AC BC.AC = k(BD + BE).【点睛】 此题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称, 熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点ZA = ZD,ZA = ZD,【答案】证明见解析AC与。8相交于点。，求证：ZOBC = ZOCB.【分析】根据全等三角形的性质，通过证明A5O也OCO,得OB = OC,结合等腰三角形的 性质，即可得到答案.【详解】ZA = ZD ( ZAOB = /DOC ,AB = DC：.AABOADCO (AAS),：OB = OC,：.ZOBC = ZOCB.【点睛】 此题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰 三角形的性质，从而完成求解.10 .如图，四边形A8CZ）为平行四边形，连接AC,且AC = 243 ,请用尺规完成基本 作图：作出44。的角平分线与8C交于点区 连接3。交AE于点尸，交AC于点。， 猜测线段3尸和线段。尸的数量关系，并证明你的猜测.（尺规作图保存作图痕迹，不写【答案】作图见解析，猜测：DF=3BF,证明见解析.【分析】根据角平分线的作法作出。的角平分线即可；由平行四边形的性质可得出49 = 8. 50 =。0,由人。=248得出入。=45,由等腰三角形的性质得出3/=。b=：5。，从而可 得出结论.【详解】解：如图，AE即为AC的角平分线，证明：四边形A3C。是平行四边形：.AO=CO, BO=DO：.AC = 2AO9：AC=2AB：.AO=AB,，AE是。的角平分线/. BF = OF = -BO2试卷第16页，共102页BF = OF = -DO2，DF = BO+OF = 2BF + BF = 3BF.【点睛】此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相关性 质是解答此题的关键.11 .在= ®ZABE = ZACD9所=RS这三个条件中选择其中一个，补充 在下面的问题中，并完成问题的解答.问题：如图，在45C中，=点。在A3边上（不与点A,点3重合）,点E在AC边上（不与点A,点C重合），连接3石，CD, 3E与CO相交于点八假设, 求证：BE = CD.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】见解析【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可.【详解】解：选择条件的证明：因为 NA3C = /AC8,所以=又因为AD = AE, ZA = ZA,所以AAB石也所以BE = CD.选择条件的证明：因为 N4BC = ZAC5,所以AB = AC,又因为NA = NA, ZABE = ZACD,所以八钻石也AC。, 所以BE = CD.选择条件的证明：因为FB = FC,所以/FBC = NRR又因为NABC = /ACB, BC = CB,所以CBEBCD,所以BE = CD【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法，证明两个三角形全等的方法有：SSS, AAS, SAS, ASA, HL12 .如图，锐角三角形ABC内接于O。，的平分线AG交O。于点G,交BC边 于点歹，连接BG.G求证：aABG sAAFC.M=a, AC = AF = b,求线段方G的长(用含“，b的代数式表示).(3)点E在线段A/上(不与点A,点尸重合)，点O在线段4E上(不与点A,点E重合)，ZABD = NCBE ,求证：BG2=GE GD.【答案】(1)见解析；Q)FG = a-b； (3)见解析【分析】(1)由题目角平分线相等得到两个相等，同弧所对的两个圆周角相等，从而证明两三 角形相似；(2)由(1)中的相似可以得到线段成比例，再由尸G = AG-A尸即可求得；要证BG2=G4GO即证DGBsbg石，条件有一对角相等，利用外角关系可 以证明/BDG = N£3G,从而得证.【详解】因为AG平分C,所以 N84G = NE4C,又因为NG = NC,试卷第18页，共102页所以ABG s'npc.(2)由(1),知嘴二桨AF AC所以AG = AB,所以 FU = AGAb = 一b.(3)因为 NC4G = NC3G,又因为 NB4G = NC4G,所以/BAG = /C8G,因为 ZABD = NCBE,所以 ZBDG = /BAG+ZABD = /CBG+/CBE = ZEBG,又因为 NDGB = /BGE,所以 aDGBsbGE,GO BG 所以而=区, 所以BG? =GEGD.【点睛】 此题考查了圆的圆周角概念，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点, 解题关键是要根据条件找到相似的两个三角形并通过角度的转换从而证明相似.13 .如图，抛物线y = o?+"+ 2经过A(-1,0), 3(4,0)两点，与>轴交于点C,连接3C.图2图3(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2,直线/： > =依+ 3经过点A,点P为直线/上的一个动点，且位于x轴的上 方，点。为抛物线上的一个动点，当PQ/)轴时，作QMLPQ,交抛物线于点M (点 M在点。的右侧)，以R2, QM为邻边构造矩形PQMN ,求该矩形周长的最小值；(3)如图3,设抛物线的顶点为。，在(2)的条件下，当矩形尸QMN的周长取最小值/DEC=90。, ：./CAD=/CDE,ZCAD=ZADO,：.NADO=/CDE,：.ZADO+ Z ODC= Z ODC+ Z CDE,即：/ADC=NODE,：.ZOZ)E=90°,。为半径，OE是。的切线；(2)如(1)图，可得NCQ£=NC4O,根据同弧所对的圆周角相等，可得/CAD=NDBE,ZCDE=ZDBE；2(3)解：RsCDE 中,DE=6, tanZCDE=-,.CE 2=，63J C£=4,由(2)知/CDE=/DBE, 2RtBDE 中,DE=6, tan Z DBE-,6 _2 一 ， BE 3：.BE=9,：.BC=BE-CE=5,M为8C的中点，：.OM±BC, BM=-BC = , 2252RtBFM 中,BM , tan /DBE =, 23试卷第2页，共102页 时，抛物线上是否存在点b，使得NC3b=/OQM?假设存在，请求出点尸的坐标；假设 不存在，请说明理由.I oq / c 28、【答案】y =彳12+工+2； （2） ； （3）存在，/（一1,0）或尸.2241 J ，J【分析】（1）直接将A（-1,0）, 3（4,0）两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点P的坐标，接着表示出。点和M 点的坐标后，求出线段PQ和。加的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求 出其最小值；（3）先利用锐角三角函数证明出ncba=/QQM,进而得到尸点的其中一个位置，在8c另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出8尸与y轴的交 点，进而求出3尸的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定厂点的坐标.【详解】 解：（1） ;抛物线广+法+ 2经过A（-1,0）, 3（4,0）两点,。一人 + 2 = 016 + 4"2 = 0解得：，b = - 213该抛物线的函数表达式为：），=-5/+2；（2）y = Ax+3经过点4,，一攵+ 3 = 0, :k = 3,直线/： y = 3x+3；(13、设尸(。3，+ 3),那么。t9t2 +t + 2 ,V 227323;抛物线对称轴为： =1K = 5，且。点和"点关于对称轴对称,2x -乙I 2J3 点横坐标为2x-f = 3-/,QM - 3 t t = 3 2z ；(13 3又 PQ = 3/ + 3r2+-z + 2 = -t2+-t + 1,22J 22试卷第20页，共102页2(PQ + QM)= 213(t H1 + 1 + 3 2/ 二产-1 + 8= t1)2;31+十i31当，=n寸，2（尸Q + QM）的值最小，为了;31该矩形周长的最小值为T5（3）存在，尸（1,0）或尸5 y1 21、由（2）可知，Q彳丘 k 2 o13;抛物线的函数表达式为：y = -5/+5X + 2；4x且一x2-4xIV 2>25=一,f 3 25顶点。坐标为彳，/、2 o如图4,作。E_LQM,图425 21 13 1因为。石=-,QE =1,8 8 2 22 2/. tan Z.DQE =；又：抛物线与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,：.C（0,2）3令 +§x+2 = 0 ,解得：=_,工2=4： OC = 2,OB = 4,当/点在点A处时，能使得/。5/=/。加，此时尸（1,0）;如图 5,在 BC 另一侧，当时，ZCBH = ZCBA ,过C点作CNLBH,垂足为点M图5由角平分线的性质可得：CN=C0=2,:BN=B0=4,由勾股定理可得：CH? = CN? + NH?且OH? + OB? = BH?,即 C”2=22 + N"2,且(C + 2)2+42=(N” + 4)2；1 AQ解得：ch = - 9 nh = c；,H U,I 3 J设直线3”的函数解析式为:设直线3”的函数解析式为:y = px+q,16 q=s ,4p + q = 04p = 一一 316 'q = 一3直线3H的函数解析式为:416y = 一x+一，33联立抛物线解析式与直线BH的函数解析式，得:416y =x + 331 2 30y =x + x+222解得:x = 4尸。（与B点重合，故舍去），或5 x =328，y =9（5 28、 3可试卷第22页，共102页(、28 )综上可得，抛物线上存在点尸，使得NCBF=/DQM ,尸(-1,0)或尸.【点睛】此题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数 的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容,解决此题的关键是能结合图形理解题意， 能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，此题计算量较大，对学生的综合分析思维能力 要求也较高，属于压轴题类型，此题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思想等.14.：在圆。内，弦与弦8c交于点GA。= C氏M,N分别是C3和A。的中点， 联结MN,OG.(1)求证：OG1MN；(2)联结AC,AM,CN,当CN/OG时，求证：四边形AC/VM为矩形.【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)连结OM,ON,由M、N分别是和A。的中点，可得。M_L3C, ONLAD,由AB = CD,可得 OM = ON ,可证 RtEOPRtAFOP(HL), MG = NG, ZMGO = ZNGO, 根据等腰三角形三线合一性质OG1MN ;(2)设 OG 交 于 E,由 RtEOPRt/FOP ,可得 MG = NG ,可得 4CMN = ZANM ,CM =-CB = -AD = AN ,可证CMN会4VM可得 AW = OV,由 CNOG,可得 22ZAMN = ZCNM =90° ,由 NAMN+NCNM=180。可得 AMCN,可证 ACNM 是平行四边形，再由/4MN = 900可证四边形ACNM是矩形.【详解】证明：(1)连结OM,QN, /A/、N分别是C3和AZ)的中点，/. OM, ON为弦心品巨，A OMLBC, ON LAD,. ZGMO = ZGNO = 90° ,在 OO 中，AB = CD,:.OM = ON,在 RtOMG 和 RtONG 中,OM= ONOG = OG ' RtAGOMRtGON ( HL),:MG = NG, ZMGO = ZNGO, :.OGA.MN(2)设OG交MN于E,., RtAGOMRtAGON( HL),:.MG = NG,：.ZGMN = ZGNM ,即 = CM =-CB = -AD = AN, 22在a CMN和 AMW中CM = ANZCMN = /ANM ,MN = NM.,.CMN冬MNM , . AM = CN, /AMN = ZCNM ,: CNOG, . ZCNM = ZGEM = 90° ,. ZAMN = ZCNM =90° , NAMN"CNM = 900+90°=180° , :.AMCN,试卷第24页，共102页ACNU是平行四边形,.ZAMN = 90°,四边形ACNM是矩形.【点睛】此题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性 质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平 行线判定与性质，矩形的判定是解题关键.15 .如图，在梯形A3CO中，是对角线AC的中点， 联结8。并延长交边CD或边AZ)于E.ADBC(1)当点E在边C。上时，求证：aDACsaOBC ；An假设8E_LCD,求0的值；(2)假设 DE = 2,OE = 3,求 8的长.【答案】(1)见解析；;；(2) 1 +后或3 + M【分析】(1)根据条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推 导，/DAC = /DCA = NOBC = NOCB,由此可得Z)ACsZiOBC；假设比 J_CD,那么在中，由 N2 = N3 = N4.可得 N2 =/3 =/4 = 30。，作DHLBC于H.设那么BH = AD = 2m.根据30。所对直角边是斜边的An一半可知C" = 2,由此可得0的值. jdC(2)当点E在AD上时，可得四边形A8CE是矩形，设AO = CD = x,在R3ACE和RtVOCE中，根据废2=废2,列方程62-(x-2尸=f22求解即可.当点E在C0上时，设AD = CD = x，由ZMCsoC,得空，所以± 二 等， OC BC m BCrrru OC x2日 EO EC OC J 3x-2 OC所以 万二工一;由aEOCs石。5付不不=, 所以 > 解出xBC 2mEC EB CB x-2 m + 3 CB的值即可.【详解】(1)由 AD = CD,得 N1 = N2.由 AO/8C,得N1 = N3.因为8。是。斜边上的中线，所以03 = 00.所以/3 = N4.所以 N1 = N2 = N3 = N4.所以 aDACsQBC .图2假设BE_LCD,那么在R35CE中，由N2 = N3 = N4.可得N2 = N3 = N4 = 30。.作。HJ_3C 于".设 4D = CD = 2m,那么 3” = AD = 22.在 RtZXDC"中，ZDCH = 60°, DC = 2m,所以 C" = m.所以 BC=BH + CH = 3m.AD 2m 2所以正，:3（2）如图5,当点£在AD上时，由A。/3co是AC的中点，可得OB = OE,所以四边形ABC石是平行四边形.又因为NABC = 90。，所以四边形A3CE是矩形,设A/) = CD = x,DE = 2,所以钻=x-2.OE = 3,所以AC = 6.在 RtACE和 RtVOCE 中，MJg CE2 = CE2,列方程62-2产 =加 一22.解得x = i + Ji§,或 =（舍去负值）.如图6,当点E在CD上时，设AD = CD = x,OE = 2,所以C£ = x2.x 20C 二匚 a OC x 所以力下所以蔽二五'设 OB = OC = m , OE = 3,那么 E3 = m+3.nr at一方面，由 zkD4cs意用。，W =, OC dC另一方面，由N2 = /4, ZBEC是公共角，得aEOCsECB.EO EC OC 3x-2 OC所以二二百二百'所以-r布r百等量代换，得j = = =由二7 二六x 2 m + 3 2mx 2 2mv2 _9Qr - 9将2 = =A代入展,整理，得V6x 10 = 0.6x-2 m + 3解得x = 3 +a/用，或x = 3-J历（舍去负值）.试卷第26页，共102页2 D2 D【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三 角形边的关系列方程是解题的关键.16 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=-/+云+。的图象与坐标轴相交于a、B、C三点，其中A点坐标为(3,0), 8点坐标为(TO),连接AC、BC.动点p从点A出 发,在线段AC上以每秒0个单位长度向点。做匀速运动；同时，动点Q从点笈出发， 在线段S4上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点 随之停止运动，连接PQ,设运动时间为/秒.(1)求、。的值；(2)在Q运动的过程中，当/为何值时，四边形8CPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点使aMPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？假设存在，请求出点"的坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】(1) b=2, c=3； (2)仁2,最小值为4； (3)(三姮，生姮)48【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)过点P作轴，垂足为E,利用形表示出四边形8CPQ的面积，求出，的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；(3)画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于区过M作轴的垂线，与“交于凡证明尸M也得至"MF=PE=3 PF=QE=42,得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出1值，即可算出M的坐标.【详解】解：(1) ;抛物线产-/+区+。经过点A (3, 0), B (-1, 0),0 = 9 + 3b + c0 = -l-/7 + c解得:(2)由(1)得：抛物线表达式为产-/+2x+3, C (0, 3), A (3, 0), .OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知:AP=4 ,过点。作轴，垂足为£：.AE=PE=：.AE=PE=3 即 E (3-6 0), S 四边形BCPQS4ABC-SaAPQ=x4x3 x 3-(-1 + /)/=-r-2t + 62当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动,AC=132 + 寸=36,A5=4,/. 0</<3,-2当仁2x=2时,2四边形3cPQ的面积最小，即为Jx222x2 + 6=4；(3) 点M是线段AC上方的抛物线上的点, 如图，过点尸作x轴的垂线，交x轴于E,过M作y轴的垂线，与EP交于F,.,PM。是等腰直角三角形，PM=PQ, NMPQ=90。,试卷第28页，共102页A ZMPF+ZQPE=90°,又/MPF+NPMF=90°,：./PMF=/QPE,在4以力/和 QE尸中，ZF = ZQEP< NPMF = ZQPE , PM = PQ工PFMQAQEP (A4S),工 MF=PE=t, PF=QE=42,. EQ4-2什仁4",又 0E=3",点M的坐标为（32, 4-力,丁点M在抛物线）=-f+2x+3上,解得：仁吃姮或巴姮解得：仁吃姮或巴姮4-U- (3-20 2+2 (32) +3,8点的坐标为（3 + V1723 + V17 xZ 8此题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解此题的关键.17 .如图，四边形ABCZ）是菱形，点£、尸分别在边AB、AD的延长线上，且防=。9.连 接CE、 CF.求证：CE = CF.FM 2,丁 二 3， 2 FM3 BF = dBM? + FM? =.6【点睛】此题考查圆的综合应用，涉及圆的切线、圆周角定理、解直角三角形及勾股定理等知识， 解题的关键是熟练应用圆的性质，转化相关角及线段.22.将一物体（视为边长为一米的正方形ABC。）从地面R2上挪到货车车厢内.如图所71示，刚开始点B与斜面所上的点E重合，先将该物体绕点3（号按逆时针方向旋转至正 方形43和2的位置，再将其沿斯方向平移至正方形482c2。2的位置（此时点当与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上.MG/PQ, /FBP = 30。,过点尸作产于点"，米，£尸=4米.6史（1）求线段尸G的长度;（2）求在此过程中点A运动至点A?所经过的路程.2【答案】（1） q米；（2） 4米. *【分析】（1）利用直角三角形RS”即可求解;（2）连接A/A2,那么必过点。/,分别求出A/2和4A的长，即可求出点A经过的路程.【详解】解：（1） 9：MG/PQ,：./FGM=/FBP=300.：.在 Rt/FGH 中,FG = 2FH = 2x- = -（米）.3 3【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到8C=CO, ZADC=ZABC,根据SAS证明 5EC也。bC,可得 CE=CF.【详解】解：四边形ABCD是菱形，：BC=CD, /ADC=/ABC,：.ZCDF=ZCBE,在 BECA。尸。中，BE = DF<ZCBE = ZCDF, BC = CD:BECQADFC (SAS), CE=CF.【点睛】此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全 等的条件.18.如图，是O。的直径，点尸在上，NE4尸的平分线AE交于点E,过点 £作EDJ_A尸，交AF的延长线于点。，延长。£、A3相交于点C.(1)求证：是的切线;试卷第30页，共102页（2）假设OO的半径为5, tan ZEAD = 1,求BC的长.【答案】（1）见解析；（2） y【分析】（1）连接OE,由题意可证OEH,且DE±AF,即OE上DE,那么可证CD是。的切线；ATy AE DEi（2）连接 BE,证明 ADEs/AEB,得到=，根据 tanZEAD=,在 ABEAE AB BE2中，利用勾股定理求出B石和AE,可得AO和。区再证明 COEs/xcAO,得到孚二包, CA AD设BC=x,解方程即可求出【详解】解：（1）连接。区*. OA=OE,：.ZOAE=ZOEA,TAE平分/朋/，：/OAE=/DAE,：/OEA=/EAD,：.OE/AD,9：ED±AF,：.OELDE,CO是。的切线；(2)连接.A3为直径，A ZAEB=90°=ZD,又/DAE=/BAE,：.AADEsAAEB, AD AE DE标一布一法又 tan ZEAZ)=,乙.DE BE 1 rl,.7H = 彳F = 3，那么 A£=23E,又 A8=10,ZJlJL-Z ZlJLj /在 ABE 中，AE2+BE2=AB2, BP QBE) 2+BE2=102,解得：BE=2逐,那么AE=46,.AD 445 _ DE9 475 10 - 2近解得：AO=8, DE=4,? OE/AD,:.XCOEs XCAD,.CO OE9caad设 BC=x,解得:10x 二一经检验：户与是原方程的解, 故8c的长为号.【点睛】 此题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义, 作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是此题的关键.19.在平面直角坐标系中，。为原点，043是等腰直角三角形，ZOBA =