【名师伴你行】（新课标）2016高考数学大一轮复习 解答题专题突破（四）立体几何的热点问题课时作业 理.doc
课时作业(四十七)高考解答题专题突破(四)立体几何的热点问题1(2015·临沂二模)如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，EDFB，ED平面ABCD，ADBD2，BF2DE2.(1)求证：AECF；(2)求二面角AFCE的余弦值解：(1)证明：证法一：在AEF中，AE，EF，AF2，AE2EF2AF2，AEEF.在AEC中，AE，EC，AC2，AE2EC2AC2，AEEC.又EFECE，AE平面ECF.又FC平面ECF，AECF.证法二：四边形ABCD是菱形，ADBD2，AOBD，AC2.ED平面ABCD，BD2，BF2DE2，故可以以O为坐标原点，以OA，OB所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(，0,0)，E(0，1，)，C(，0,0)，F(0,1,2)，(，1，)，(，1,2)，·3140，AECF.(2)由(1)，知(，1,2)，(2，0,0)，(0,2，)，(，1，)设平面AFC的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，由得令z11，得n1(0，2，1)设平面EFC的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，同理可得n2(，1，)设二面角AFCE的大小，则cos .2(2015·泰安二模)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°.(1)若点M，N分别是边A1B1，BC的中点，求证：MN平面ACC1A1；(2)证明：ABA1C；(3)若ABCB2，A1C，求二面角BACA1的余弦值解：(1)证明：如图，取AC的中点D，连接DA1，DN，N为BC的中点，在ABC中，ND綊AB.又M为A1B1的中点，A1B1AB，A1M綊AB，ND綊A1M，四边形A1MND为平行四边形MNA1D.又MN平面ACC1A1，A1D平面ACC1A1，MN平面ACC1A1.(2)证明：取AB的中点E，连接EC，EA1，在ABC中，CACB，ECAB.又在AA1B中，ABAA1，BAA160°，AA1B为正三角形，A1EAB，又A1EECE，AB平面A1EC，ABA1C.(3)CACB，ABCB2，ABC为边长为2的正三角形，且CE，易求A1E，又A1C，A1E2CE26A1C2，ECEA1.又ECAB，EA1ABE，EC平面AA1B.故以E为原点，EA所在直线为x轴，EA1所在直线为y轴，EC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，(1,0，)，(1，0)，(0，0)，EA1平面ABC，取为平面ABC的一个法向量，设平面AA1C的法向量为n(x，y,1)，则有即解得n(，1,1)，cosn，二面角BACA1的余弦值为.3(2015·烟台诊测)已知平行四边形ABCD中，AB6，AD10，BD8，E是线段AD的中点沿直线BD将BCD翻折成BCD，使得平面BCD平面ABD.(1)求证：CD平面ABD；(2)求直线BD与平面BEC所成角的正弦值解：(1)证明：平行四边形ABCD中，AB6，AD10，BD8，沿直线BD将BCD翻折成BCD，可知CD6，BCBC10，BD8，即BC2CD2BD2，CDBD.又平面BCD平面ABD，平面BCD平面ABDBD，CD平面BCD，CD平面ABD.(2)由(1)，知CD平面ABD，且CDBD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(8,6,0)，B(8,0,0)，C(0,0,6)，(8,0,0)E是线段AD的中点，E(4,3,0)在平面BEC中，(4,3,0)，(8,0,6)，设平面BEC的法向量为n(x，y，z)，即令x3，得y4，z4，故n(3,4,4)设直线BD与平面BEC所成角为，则sin |cosn，|.直线BD与平面BEC所成角的正弦值为.4(2015·威海模拟)已知矩形ABCD中，AB5，AD2，E，F分别在AB，CD上，且AE2，CF1，沿EF将四边形BEFC向上折起，使得平面BEFC平面ADFE.(1)求证：CD平面BAE；(2)求证：平面BDE平面BEF；(3)求二面角ABEF的平面角的余弦值解：(1)证明：四边形ABCD为矩形，BECF，AEDF，AEBEE，DFFCF，平面ABE平面DFC，CD平面DFC，CD平面BAE.(2)证明：如图，连接DE，在RtDAE中，DE2，EF2，DF4，DE2EF2DF2，DEEF.过B作BHEF，平面BEF平面AEF，BH平面AEF，DE平面AEF，BHDE.BHEFH，DE平面BEF.DE平面BDE，平面BDE平面BEF.(3)以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(2,2,0)，F(0,4,0)，B.设平面ABE的法向量为n1(x，y，z)，(0,2,0)，由得令x1，则所以n1，平面FBE的一个法向量为n2(2,2,0)，cosn1，n2，由(2)，可知二面角ABEF的平面角为钝角，二面角ABEF的平面角的余弦值为.5(2014·新课标全国)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60°，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积解：(1)证明：如图，连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，0)，E，.设B(m,0,0) (m>0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1.又n2(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设知|cosn1，n2|，即，解得m.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V××××.6
