【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第2篇 第11节 导数在研究函数中的应用课时训练 理.doc

【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第2篇 第11节 导数在研究函数中的应用课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号导数研究函数的单调性1、5、7、9、11导数研究函数的极值2、4、8、14导数研究函数的最值3、6、11导数研究实际应用问题12综合问题10、13、15、16基础过关一、选择题1.函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(D)(A)(-,0)(B)(0,+)(C)(-,-3)和(1,+)(D)(-3,1)解析:y=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由y>0x2+2x-3<0-3<x<1,函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(-3,1).故选D.2.(2014天津模拟)若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是(D)(A)(0,1)(B)(-,1)(C)(0,+)(D)(0,)解析:f(x)=3x2-6b,令f(x)=0得x2=2b,由题意知,0<<1,所以0<b<.3.(2014青岛模拟)函数y=ln x-x在x(0,e上的最大值为(C)(A)e(B)1(C)-1(D)-e解析:函数y=ln x-x的定义域为(0,+),又y=-1=,令y=0得x=1,当x(0,1)时,y>0,函数单调递增;当x(1,e)时,y<0,函数单调递减.当x=1时,函数取得最大值-1.4.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则导函数f(x)的图象不可能是(D)解析:若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则此函数在某点两侧的单调性相反,也就是说导函数f(x)在此点两侧的导函数值的符号相反,所以导函数的图象要穿过x轴,观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的,即f(x)的图象不可能是D.5.(2015洛阳调研)若f(x)=-(x-2)2+bln x在(1,+)上是减函数,则b的取值范围是(C)(A)-1,+)(B)(-1,+)(C)(-,-1(D)(-,-1)解析:由题意可知f(x)=-(x-2)+0,在x(1,+)上恒成立,即bx(x-2)在x(1,+)上恒成立,由于 (x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+)上的值域是(-1,+),故只要b-1即可.6.(2014福建厦门质检)若函数f(x)=x3-3x在(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是(C)(A)(-,1)(B)-,1)(C)-2,1)(D)(-,-2解析:f(x)=3x2-3=0,得x=±1,且x=1为函数的极小值点,x=-1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6-a2)上,则函数f(x)极小值点必在区间(a,6-a2)内,即实数a满足a<1<6-a2且f(a)=a3-3af(1)=-2.解a<1<6-a2,得-<a<1,不等式a3-3af(1)=-2,即a3-3a+20,即a3-1-3(a-1)0,即(a-1)(a2+a-2)0,即(a-1)2(a+2)0,即a-2.故实数a的取值范围是-2,1).故选C.二、填空题7.已知向量a=(ex+,-x),b=(1,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上存在增区间,则t的取值范围为. 解析:f(x)=ex+-tx,x(-1,1),f(x)=ex+x-t,函数在(-1,1)上存在增区间,故ex+xt,x(-1,1)时有解,故e+1t.答案:(-,e+18.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是. 解析:令f(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图,观察得-2<a<2时恰有三个不同的公共点.答案:(-2,2)9.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在t,t+1上不单调,则t的取值范围是. 解析:由题意知f(x)=-x+4-=-,由f(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.答案:(0,1)(2,3)10.(2014郑州模拟)已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n-1,1,则f(m)+f(n)的最小值是. 解析:f(x)=-3x2+2ax,根据已知=2,得a=3,即f(x)=-x3+3x2-4.根据函数f(x)的极值点,可得函数f(m)在-1,1上的最小值为f(0)=-4,f(n)=-3n2+6n在-1,1上单调递增,所以f(n)的最小值为f(-1)=-9.f(m)+f(n)min=f(m)min+f(n)min=-4-9=-13.答案:-13三、解答题11.(2014太原模拟)设f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在(,+)上存在单调递增区间,求a的取值范围;(2)当0<a<2时,f(x)在1,4上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.解:(1)由f(x)=-x2+x+2a=-(x-)2+2a,当x,+)时,f(x)的最大值为f()=+2a.令+2a>0,得a>-,所以当a>-时,f(x)在(,+)上存在单调递增区间.(2)令f(x)=0,得两根x1=,x2=.所以f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.当0<a<2时,有x1<1<x2<4,所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2).又f(4)-f(1)=-+6a<0,即f(4)<f(1),所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)=8a-=-,得a=1,x2=2,从而f(x)在1,4上的最大值为f(2)=.12.(2014泰安模拟)某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6<x<11),年销售为u万件,若已知-u与(x-)2成正比,且售价为10元时,年销量为28万件.(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式;(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.解:(1)设-u=k(x-)2,售价为10元时,年销量为28万件,-28=k(10-)2,解得k=2.u=-2(x-)2+=-2x2+21x+18.y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6<x<11).(2)y=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).令y=0,得x=2(舍去)或x=9,显然,当x(6,9)时,y>0;当x(9,11)时,y<0.函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的.当x=9时,y取最大值,且ymax=135,售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.能力提升13.(2014宜昌模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)=ln x-ax(a>),当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于(D)(A)(B)(C)(D)1解析:由题意知,当x(0,2)时,f(x)的最大值为-1.令f(x)=-a=0,得x=,当0<x<时,f(x)>0;当x>时,f(x)<0.f(x)max=f()=-ln a-1=-1,解得a=1.14.函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,则a的取值范围是. 解析:f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,即函数f(x)恰有两个极值点,即f(x)=0有两个不等实根.f(x)=ax3+x,f(x)=3ax2+1.要使f(x)=0有两个不等实根,则a<0.答案:(-,0)15.(2014广东六校联考)已知f(x)=3x2-x+m(xR),g(x)=ln x.(1)若函数f(x)与g(x)的图象在x=x0处的切线平行,求x0的值;(2)求当曲线y=f(x)与y=g(x)有公共切线时,实数m的取值范围;(3)在(2)的条件下,求函数F(x)=f(x)-g(x)在区间,1上的最值(用m表示).解:(1)f(x)=6x-1,g(x)=(x>0),由题意知6x0-1=(x0>0),即6-x0-1=0,解得x0=或x0=-,又x0>0,x0=.(2)若曲线y=f(x)与y=g(x)相切且在交点处有公共切线,由(1)得切点横坐标为,f()=g(),-+m=ln ,即m=-ln 2,数形结合可知,m>-ln 2时,f(x)与g(x)有公共切线,故m的取值范围是(-ln 2,+).(3)F(x)=f(x)-g(x)=3x2-x+m-ln x,故F(x)=6x-1-=,当x变化时,F(x)与F(x)在区间,1上的变化情况如表:x,)(,1F(x)-0+F(x)极小值又F()=m+ln 3,F(1)=2+m>F(),当x,1时,F(x)min=F()=m+ln 2(m>-ln 2),F(x)max=F(1)=m+2(m>-ln 2).探究创新16.(2014天津模拟)设函数f(x)=x2+ax-ln x.(1)若a=1,试求函数f(x)的单调区间.(2)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为1.(1)解:a=1时,f(x)=x2+x-ln x(x>0),所以f(x)=2x+1-=,x(0,),f(x)<0,x(,+),f(x)>0,所以f(x)的减区间为(0,),增区间为(,+).(2)证明:设切点为M(t,f(t),f(x)=2x+a-,切线的斜率k=2t+a-,又切线过原点k=,=2t+a-,即t2+at-ln t=2t2+at-1,所以t2-1+ln t=0,t=1满足方程t2-1+ln t=0,由y=1-x2,y=ln x图象可知x2-1+ln x=0有唯一解x=1,切点的横坐标为1.10