江苏省2015届高三数学第三次联考试题 文.doc
江 苏 大 联 考 2015届高三第三次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共160分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前2次联考内容+数列+不等式.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1.设集合M=x|x2+x-6<0,N=x|1x3,则MN=. 2.已知数列an为等差数列,其前9项和为S9=54,则a5=. 3.用12米的绳子围成一个矩形,则这个矩形的面积最大值为. 4.在等比数列an中,a1=2,若a1,2a2,a3+6成等差数列,则an= . 5.若tan =1,则cos 2=. 6.已知在等比数列an中,a3+a6=4,a6+a9=,则a10+a13=. 7.已知a>0,b>0,ab=4,当a+4b取得最小值时,=. 8.已知平面向量a、b,|a|=3,|b|=2且a-b与a垂直,则a与b的夹角为. 9.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+3y的最小值与最大值的和为. 10.若对于任意的x>0,不等式a恒成立,则实数a的取值范围为. 11.已知在各项为正的等比数列an中,a2与a8的等比中项为8,则4a3+a7取最小值时首项a1=. 12.下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第16个图形中小正方形的个数是. 13.在数列an中,若存在一个确定的正整数T,对任意nN*满足an+T=an,则称an是周期数列,T叫做它的周期.已知数列xn满足x1=1,x2=a(a1),xn+2=|xn+1-xn|,若数列xn的周期为3,则xn的前100项的和为. 14.当x,y满足条件|x-1|+|y+1|<1时,变量u=的取值范围是. 二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2+ax+6.(1)当a=5时,解不等式f(x)<0;(2)若不等式f(x)>0的解集为R,求实数a的取值范围.16.(本小题满分14分)已知等差数列an满足a2=3,a4+a5=16.(1)求an的通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和Tn.17.(本小题满分14分)已知向量m=(2cos x,sin 2x),n=(cos x,1),函数f(x)=m·n.(1)求f(x)的解析式和函数图象的对称轴方程;(2)在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且满足a+c>2b,求f(B)的取值范围.18.(本小题满分16分)某公司新研发了甲、乙两种型号的机器,已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元,劳动力5人,可获利润6万元,生产一台乙种型号的机器需资金20万元,劳动力10人,可获利润8万元.若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器,那么每周这两种机器各生产多少台,才能使周利润达到最大,最大利润是多少?19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=(ax2-1)·ex,aR.(1)若函数f(x)在x=1时取得极值,求a的值;(2)当a0时,求函数f(x)的单调区间.20.(本小题满分16分)已知等差数列an、等比数列bn满足a1+a2=a3,b1b2=b3,且a3,a2+b1,a1+b2成等差数列,a1,a2,b2成等比数列.(1)求数列an和数列bn的通项公式;(2)按如下方法从数列an和数列bn中取项:第1次从数列an中取a1,第2次从数列bn中取b1,b2,第3次从数列an中取a2,a3,a4,第4次从数列bn中取b3,b4,b5,b6,第2n-1次从数列an中继续依次取2n-1个项,第2n次从数列bn中继续依次取2n个项,由此构造数列cn:a1,b1,b2,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6,a5,a6,a7,a8,a9,b7,b8,b9,b10,b11,b12,记数列cn的前n项和为Sn,求满足Sn<22014的最大正整数n.2015届高三第三次联考·数学试卷参考答案1.x|1x<2由题知集合M=x|-3<x<2,所以MN=x|1x<2.2.6因为S9=9a5=54,所以a5=6.3.9设矩形的一边长为x,则矩形面积S=x(6-x)2=9,当且仅当x=6-x,即x=3时取等号.4.2n4a2=a1+a3+6,8q-8-2q2=0,q=2,an=2×2n-1=2n.5.0cos 2=0.6.=q3=,q=,a10+a13=(a6+a9)q4=×=.7.4a+4b2=8,当且仅当a=4b时取等号,结合a>0,b>0,ab=4,所以a=4,b=1,=4.8.因为 a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0,所以a·a=b·a,所以cosa,b=,所以a,b=.9.30作出可行域,如图所示:当目标函数z=2x+3y经过x+y=3与2x-y=3的交点(2,1)时,有最小值2×2+3=7,经过x-y+1=0与2x-y=3的交点(4,5)时,有最大值2×4+3×5=23,其最值和为30.10.,+)=,所以要使a恒成立,则a,即实数a的取值范围为a.11.2由题意知a2a8=82=,即a5=8,设公比为q(q>0),所以4a3+a7=+a5q2=+8q22=32,当且仅当=8q2,即q2=2时取等号,此时a1=2.12.136a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,所以a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n,等式两边同时累加得an-a1=2+3+n,即an=1+2+n=,所以第16个图形中小正方形的个数是136.13.67由xn+2=|xn+1-xn|,得x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4=|x3-x2|=|1-2a|,因为数列xn的周期为3,所以x4=x1,即|1-2a|=1,解得a=0或a=1.当a=0时,数列为1,0,1,1,0,1,所以S100=2×33+1=67.当a=1时,数列为1,1,0,1,1,0,所以S100=2×33+1=67.14.(-,)u=表示点M(1,2)与点P(x,y)两点连线的斜率的倒数.画出可行域如图,当点P为区域内的点(0,-1)时,umax=,当点P为区域内的点(2,-1)时,umin=-.15.解:(1)当a=5时,f(x)=x2+5x+6.由f(x)<0,得x2+5x+6<0,即(x+2)(x+3)<0,所以-3<x<-2.8分(2)若不等式f(x)>0的解集为R,则有=a2-4×6<0,解得-2<a<2,即实数a的取值范围是(-2,2).14分16.解:(1)设数列an的公差为d,由题意得,解得a1=1,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-1,即an的通项公式为an=2n-1.6分(2)由(1)知bn=22n-2,b1=1,=4,所以数列bn是以1为首项,4为公比的等比数列,其前n项和Tn=(4n-1).14分17.解:(1)由已知可得:f(x)=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=2sin(2x+)+1,函数的解析式为f(x)=2sin(2x+)+1,函数图象的对称轴方程为x=+(kZ).7分(2)由题意可得:cos B=>=,当且仅当 a=c时等号都成立,B(0,).由(1)知f(B)=2sin(2B+)+1,又B(0,),2B+(,).f(B)(2, 3.14分18.解:设每周生产甲种机器x台,乙种机器y台,周利润z万元,则目标函数为z=6x+8y.作出不等式组表示的平面区域,且作直线l:6x+8y=0,即3x+4y=0,如图:8分把直线l向右上方平移至l3的位置时,直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大,即z取最大值,解方程组(x0,y0,x,yZ)得,所以点M坐标为(4,9),将x=4,y=9代入目标函数z=6x+8y得最大值z=6×4+8×9=96(万元).所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时,公司可获得最大周利润为96万元.16分19.解:(1)f'(x)=(ax2+2ax-1)·ex,xR.2分依题意得f'(1)=(3a-1)·e=0,解得a=.经检验符合题意.4分(2)f'(x)=(ax2+2ax-1)·ex,设g(x)=ax2+2ax-1.当a=0时,f(x)=-ex,f(x)在(-,+)上为单调减函数.6分当a<0时,方程g(x)=ax2+2ax-1=0的判别式为=4a2+4a,令=0, 解得a=0(舍去)或a=-1.1°当a=-1时,g(x)=-x2-2x-1=-(x+1)20,即f'(x)=(ax2+2ax-1)·ex0,且f'(x)在x=-1两侧同号,仅在x=-1时等于0,则f(x)在(-,+)上为单调减函数.10分2°当-1<a<0时,<0,则g(x)=ax2+2ax-1<0恒成立,即f'(x)<0恒成立,则f(x)在(-,+)上为单调减函数.12分3°a<-1时,=4a2+4a>0,令g(x)=0,得x1=-1+,x2=-1-,且x2>x1.所以当x<-1+时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(-,-1+)上为单调减函数;当-1+<x<-1-时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(-1+,-1-)上为单调增函数;当x>-1-时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(-1-,+)上为单调减函数.14分综上所述,当-1a0时,函数f(x)的单调减区间为(-,+);当a<-1时,函数f(x)的单调减区间为(-,-1+),(-1-,+),函数f(x)的单调增区间为(-1+,-1-).16分20.解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,依题意,得解得a1=d=1,b1=q=2.故an=n,bn=2n.7分(2)将a1,b1,b2记为第1组,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6记为第2组,a5,a6,a7,a8,a9,b7,b8,b9,b10,b11,b12记为第3组,以此类推,则第n组中,有2n-1项选取于数列an,有2n项选取于数列bn,前n组共有n2项选取于数列an,有n2+n项选取于数列bn,记它们的总和为Pn,并且有Pn=+-2.10分P45-22014=+22071-22014-2>0,P44-22014=-21981(233-1)-2<0.当Sn=+(2+22+22012)时,Sn-22014=-22013-2+<0.13分当Sn=+(2+22+22013)时,Sn-22014=-2+>0.可得到符合Sn<22014的最大的n=452+2012=4037.16分6
