江苏省2015届高三数学第二次联考试题 文.doc
江 苏 大 联 考 2015届高三第二次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共160分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:第1次联考内容+三角函数与解三角形+平面向量.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.设集合M=x|-<x<,N=x|x2x,则MN=. 2.函数y=ln x-2x在点(1,2)处的切线方程为. 3.已知sin 2=sin ,(0,),则sin 2=. 4.设a=(,cos )与b=(-1,2cos )垂直,则cos 2=. 5.在正三角形ABC中,AB=3,D是BC上一点,且=3,则·=. 6.设函数f(x)=的最小值为-1,则实数a的取值范围是. 7.已知函数y=Asin(x+)+B的一部分图象如右图所示,如果A>0,>0,|<,则=. 8.若四边形ABCD满足:+=0,(+)·=0,则该四边形的形状是. 9.设ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且atan B=,bsin A=4,则a=. 10.已知非零向量a,b的夹角为60°,且满足|a-2b|=2,则a·b的最大值为. 11.若函数f(x)=sin x+cos x(xR,>0),又f()=-2,f()=0,且|-|的最小值为,则函数g(x)=f(x)-1在-2,0上零点的个数为. 12.已知ABC各角的对应边分别为a,b,c,且满足+ 1,则角A的取值范围是. 13.已知函数f(x)=,函数g(x)=asin(x)-2a+2(a>0),若存在x10,1,对任意x20,1都有f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是. 14.已知ABC的三边a,b,c和其面积S满足S=c2-(a-b)2,则tan C=. 二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知两个集合A=x|m<,B=x|lox>2,p:实数m为小于5的正整数,q:“xA”是“xB”的必要不充分条件.(1)若p是真命题,求AB;(2)若p且q为真命题,求m的值.16.(本小题满分14分)已知向量m=(sin x,cos x),n=(cos x,-cos x)(>0),函数f(x)=m·n的最小正周期为.(1)求的值;(2)设ABC的三边a、b、c满足:b2=ac,且边b所对的角为x,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实数解,求实数k的取值范围.17.(本小题满分14分)已知在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,ABC的面积S=,且bc=1.(1)求b2+c2的最大值;(2)当b2+c2最大时,若bsin(-C)-csin(-B)=a,求角B和C.18.(本小题满分16分)在平行四边形ABCD中,E是DC的中点,AE交BD于点M,|=4,|=2,的夹角为.(1)若=+,求+3的值;(2)当点P在平行四边形ABCD的边BC和CD上运动时,求·的取值范围.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)cos(x-),xR.(1)若对任意x-,都有f(x)a成立,求a的取值范围;(2)若先将y=f(x)的图象上每个点纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,然后再向左平移个单位得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)-在区间-2,4内的所有零点之和.20.(本小题满分16分)已知函数(x)=,a为常数.(1)若a=,求函数f(x)=ln x+(x)的单调增区间;(2)若g(x)=|ln x|+(x),对任意x1,x2(0,2,且x1x2,都有<-1,求a的取值范围.2015届高三第二次联考·数学试卷参考答案1.0,)由已知得:N=x|0x1,所以MN=x|0x<.2.x+y-3=0y'=-2,y'=-1,所以切线方程为y-2=-(x-1),化简为x+y-3=0.3.由已知得2sin cos =sin ,即cos =,(0,),sin =,sin 2=2××=.4.-根据题意得-+2cos2=0,cos2=,则cos 2=2cos2-1=2×-1=-.5.因为=3,所以=,所以·=·(+)=+·=32+×32cos 120°=.6.-,+)当x时,4x-3-1,当x<时,f(x)=-x+a-1,即-+a-1,得a-.7.由图知A=2,B=2.T=(-)×4=,则=2,将(,4)代入y=2sin(2x+)+2得=.8.菱形+=0,ABDC且AB=DC,即四边形ABCD是平行四边形,又(+)·=0,·=0,即BDAC,四边形ABCD是菱形.9.5atan B=,bsin A=4,=,即=cos B=,则tan B=,a=a=5.10.1a,b的夹角为60°,且|a-2b|=2,a2+4b2-4a·b=|a|2+4|b|2-2|a|·|b|=44|a|·|b|-2|a|·|b|=2|a|·|b|,即|a|·|b|2,a·b=|a|·|b|1.11.1|-|的最小值为,=,则T=3,又>0,=.令g(x)=f(x)-1=2sin(x+)-1=0,得x+=2k+或x+=2k+(kZ),即x=3k-或x=3k+(kZ).当且仅当k=0时,有x=-符合题意.12.(0,由已知得:b(a+b)+c(a+c)(a+c)(a+b),即b2+c2-a2bc,将不等式两边同除以2bc得,即cos A(0<A<),所以0<A.13.,1因为f(x)=,所以当x10,1时,f(x1)0,1,因为x20,1,所以x20,又a>0,所以asin(x2)0,a,所以g(x2)2-2a,2-a,因为若存在x10,1,对任意x20,1都有f(x1)=g(x2)成立,所以解得a,1.14.S=c2-(a2+b2)+2ab=-2abcos C+2ab=2ab(1-cos C)=absin C,=,=,tan=,tan C=.15.解:(1)由p为真命题,得0<m<5,mN+,则集合A=x|m<=x|0<x<,又B=x|lox>2=x|0<x<,当0<m<4,mN+时,BA,所以AB=B=x|0<x<.当m=4时,AB,所以AB=A=x|0<x<.6分(2)因为p且q为真命题,所以p为真命题,q为真命题,即“xA”是“xB”的必要不充分条件,所以集合B是集合A的真子集,所以>且0<m<5,mN+,所以m=1或m=2.14分16.解:(1)f(x)=m·n=sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos2x=sin 2x-=sin(2x-)-,T=,=2.6分(2)由余弦定理得cos x=,0<x,由 f(x)=k得sin(4x-)=k+,由函数y=sin(4x-)(0<x)的图象知,方程sin(4x-)=k+有两个不同的实数解等价于-<k+<1,所以-1<k<.14分17.解:(1)因为cos A=,又因为面积S=bcsin A,所以a2=2bcsin A,b2+c2=2bccos A+2bcsin A,又因为bc=1,所以b2+c2=2(cos A+sin A)=2sin(A+),当A=时b2+c2取得最大值2.6分(2)由bsin(-C)-csin(-B)=a,根据正弦定理得sin Bsin(-C)-sin Csin(-B)=sin A.sin B(cos C-sin C)-sin C(cos B-sin B)=,即sin Bcos C-cos Bsin C=1,sin(B-C)=1.0<B,C<,-<B-C<,B-C=,又A=,B+C=,解得B=,C=.14分18.解:(1)如图所示,易得ABM与EDM相似,且=2,=,又=+=+=+,=(+)=+,=+,=-,代入=+,得+=(+)+(-)=(+)+(-),解得=,=,+3=+3×=1.6分(2)如图所示,以A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.则A(0,0),B(4,0),C(5,),D(1,),E(3,).=(4,0)=,=(1,)=,=(3,),8分当点P位于边BC上时,设=m(0m1).则=+=+m=(4,0)+m(1,)=(4+m,m).·=(4+m,m)·(3,)=3(4+m)+3m=6m+12,0m1,126m+1218,·的取值范围12,18.12分当点P位于边CD上时,设=n(0n1).=+=+n=(1,)+n(4,0)=(1+4n,),·=(1+4n,)·(3,)=3(1+4n)+3=12n+6.0n1,612n+618.·的取值范围是6,18.综上可知:·的取值范围是6,18.16分19.解:(1)f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)cos(x-)=cos(2x-)+sin(2x-) =cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).4分若对任意x-,都有f(x)a成立,则只需fmin(x)a即可.-x, -2x-,当2x-=-,即x=-时,f(x)有最小值 -,故a-.8分(2)依题意可得g(x)=sin x,由g(x)-=0得sin x=,由图可知,sin x=在-2,4上有6个零点:x1,x2,x3,x4,x5,x6.根据对称性有=-,=,=,从而所有零点和为x1+x2+x3+x4+x5+x6=3.16分20.解:(1)由a=得f(x)=ln x+,f'(x)=-=,(x>0),令f'(x)>0,得x>2,或0<x<,函数f(x)的单调增区间为(0,)和(2,+).6分(2)<-1,+1<0,<0.设h(x)=g(x)+x,依题意,h(x)在(0,2上是减函数,所以h'(x)0.当1x2时,h(x)=ln x+x,h'(x)=-+1,令h'(x)0,得a+(x+1)2=x2+3x+3对x1,2恒成立,设m(x)=x2+3x+3,则m'(x)=2x+3-,1x2,m'(x)=2x+3->0,m(x)在1,2上是增函数,m(x)的最大值为m(2)=,a.10分当0<x1时,h(x)=-ln x+x,h'(x)=-+1,令h' (x)0,得a-+(x+1)2=x2+x-1,设t(x)=x2+x-1,则t'(x)=2x+1+>0,t(x)在(0,1上是增函数,t(x)t(1)=0,a0.综合,知a.16分6
